分形概念及其在構造地質(zhì)研究中的應用

1、分形理論作為研究不規(guī)則形體的自相似性及其 復雜程度的理論 , 為構造地質(zhì)學的研究提供了一種 新方法 , 拓寬了構造地質(zhì)的研究領域 , 分維值作為評 價斷裂復雜程度的指標具有更為明顯的優(yōu)越性。近 年來 , 隨著分形幾何學等非線性理論的發(fā)展及其在 地質(zhì)學中的廣泛應用 , 為斷裂構造空間分布和幾何 結構特征的定量表征提供了新的手段 , 同時也為斷 裂構造及其與油氣空間分布關系研究提供了新的思 路。1分形的概念及分形維數(shù)的計算方法1.1分形的定義分形理論產(chǎn)生于 20世紀 70年代 , 是非線性科 學的一個分支。 最初 , 分形理論是研究自然界和非線 性系統(tǒng)中的不光滑和不規(guī)則的幾何形體 , 后來人們 發(fā)

2、現(xiàn)在人類的社會經(jīng)濟活動中存在大量的現(xiàn)象也可 以用分形理論來解釋。 至于什么是分形 , 目前對分形 還沒有嚴格的數(shù)學定義 , 只能給出描述性的定義 , 粗 略地說 , 分形是對沒有特征長度 (所考慮幾何對象所 含有的各種長度的代表者 但具有一定意義下的自 相似圖形和結構的總稱3, 4。原則地說 :分形是一些簡單空間上的一些 " 復 雜 " 的點的集合 , 這種集合具有某些特殊性質(zhì) , 首先 它是所在空間的緊子集 , 并且具有下面列出的典型 的幾何性質(zhì)的部分或全部。 分形集都具有任意小尺度下的比例細節(jié) , 或者說它具有精細的結構 ; 分形集不能用傳統(tǒng)的幾何語言來描述 , 它既不

3、是滿足某些條件的點的軌跡 , 也不是某些簡單方 程的解集 ; 分形集具有某種自相似的形式 , 可能是近似的自相似或者統(tǒng)計的自相似 ; 一般 , 按本章節(jié)的方式定期義的分形集的“ 分 形維數(shù)” , 嚴格大于它相應的拓撲維數(shù) ; 在大多數(shù)令人感興趣的情形下 , 分形集由非常簡單的方法定義 , 可以變換的迭代產(chǎn)生。分形集是一類不能用經(jīng)典幾何方法描述的 “ 不 規(guī)則” 集 , 它們基本上滿足 , 但在自相似程度 上可以有很大的差別。 而分形幾何正是研究所謂“ 簡 單” 空間上這樣一類“ 復雜” 子集的一門新興的數(shù)學 分支 3。1.2分形維數(shù)實際上 , 分數(shù)維并不是近些年才有的新概念。 早 在 1919

4、年 , 德國數(shù)學家 Hausdorff 就提出了維數(shù)應 該可以取分數(shù)的思想 , 并創(chuàng)立了以他名字命名的測 度和維數(shù)。 分形維數(shù)是定量刻畫分形特征的參數(shù) , 在 一般情況下是一個分數(shù) (包括整數(shù) , 它表征了分形 體的復雜程度 , 分形維數(shù)越大 , 其客體就越復雜 , 反 之亦然。至今數(shù)學家們已經(jīng)展出了十多種不同的維 數(shù) , 如 Hausdorff 維數(shù)、 相似維數(shù)、 盒維數(shù)、 容量維數(shù)、 信息維數(shù)、 關聯(lián)維數(shù)、 填充維數(shù)、 Lyapunov 維數(shù)等等5, 6。在斷裂構造研究中應用較為廣泛的主要是具有自相似性的分形 , 即線性分形。 分維 (也叫分形維 是 用來定量描述這種自相似性的參數(shù) , 有

5、許多種不同 的定義 , 但在斷裂構造的研究中 , 主要采用下述三種 定義 , 即容量維、 信息維、 相似維 5。1.2.1容量維數(shù)設 (x , d 為 一 距 離 空 間 , 4(x 為 非 空 緊 子 集 , 對每一 ->0, 設 N (A , 表示覆蓋 A 所需要的半 分形概念及其在構造地質(zhì)研究中的應用張飛燕 , 陳曉山(中國礦業(yè)大學資源與地球科學學院 , 江蘇 徐州 221008摘 要 :分形理論是現(xiàn)代非線性科學中的一個重要的分支 , 是科學研究中一種重要的數(shù)學工具和手段。 分維值可以定 量描述斷裂分布的復雜性 , 它是斷層數(shù)量、 規(guī)模、 發(fā)育程度、 組合方式的綜合體現(xiàn) , 分維值

6、越高 , 則構造越復雜 , 對煤 礦生產(chǎn)的影響越大。 簡述了分形基本概念和常用分形維數(shù)的幾種計算方法 , 通過實例重點介紹了分形理論在油氣構 造和礦井地質(zhì)構造研究領域中的應用狀況。 關鍵詞 :分形理論 ; 分形維數(shù) ; 構造地質(zhì) ; 應用狀況 中圖分類號 :O29文獻標識碼 :A作者簡介 :張飛燕 (1983 , 女 , 山東省臨沂市人 , 中國礦業(yè)大學研究生 , 助教 , 從事構造地質(zhì)方面的研究。收稿日期 :2007-12-12責任編輯 :唐錦秀文章編號 :1674-1803(2008 03-0016-04中 國 煤 炭 地 質(zhì)COAL GEOLOGY OF CHINAVol.20No.3M

7、ar. 2008第 20卷 3期 2008年 3月3期徑為 的最少的閉球個數(shù) , 如果下式存在 :D c (A =lim 0lnN (A , ln (#則稱 Dc 為 A 的容量維數(shù)。容量維數(shù)又稱為柯爾莫哥諾夫容量維 , 它首先 由 著 名 數(shù) 學 家 柯 爾 莫 哥 諾 夫 定 義 的 。 此 定 義 與Hausdorff 維數(shù)很相似。所不同的是 :假定所考慮的圖形是 d 維空間 R d 的有界集合。 容量維數(shù)是用半徑為 的同樣大小的 d 維球覆蓋 A 在 HaMsdorff 維數(shù) 中 , 覆蓋 A 的球不是同樣大小的 , 一般考慮大小比 還小的任意球。 所以容量維數(shù)是 Hausdorff

8、維數(shù)的特 殊情況一般 , Dc>DH 。1.2.2信息維數(shù)下面的定義是反映點集在分布上的信息。令 P i( 表示落在第 I 個半徑為 的球內(nèi)的概率。 總信息量可由下式求得 :I (=N (g i=1$P i ( ln 1i 其中 , N (g i $P i ( =1, N ( 為總的球數(shù) , 這個量也被稱為熵。 I (是 的函數(shù)。 令 A 為某一集合 , 定義 D l (A =lim 0I (ln (&=lim 0N (g i=1$P i(lnP i( ln ( ( *+ , -為 A 的信息維數(shù)。假如落入每一個球的粒子概 率相同 , 即 P i (=1, 則 I ( =lnN

9、( , 信息維數(shù) 即容量維數(shù) , 一般 D c D l 。 信息維數(shù)可以看作容量維 數(shù)的一個推廣。1.2.3相似維數(shù)像 Koch 曲線、 Sierpinski 墊片和 Cantor 集這些集合 , 其任意局部的形狀與整體是相似的 , 即只要將 每一個局部放大一定倍數(shù)就可得到與整體一致的圖 形 , 這種集稱為自相似集。若一個集 E 由 m 個與它相似的部分組成 , 且每 個部分與整體的相似比為 r , 則 E 的相似維數(shù)定義 為 :D s (E =lnm/ln (1/r =-lnm/lnr 。2分形理論在構造地質(zhì)研究中的應用地質(zhì)現(xiàn)象本身是不規(guī)則現(xiàn)象 , 構造格架等具有 相似性 , 所以分形理論在

10、構造地質(zhì)學中的應用將顯 示出廣闊的前景。2.1分形理論在油氣構造地質(zhì)中的應用近些年來 , 石油科技工作者積極地運用分形理論的概念和方法分形研究實際問題 , 取得了許多有 學術價值和顯著經(jīng)濟效益的成果。實際研究結果表 明 , 油氣藏體積頻度滿足冪律規(guī)律 , 具有相似性的 特點為分形分布。平田 (1987年 通過計算證明 , 巖石破裂時 , 空 間上具有自相似性 , 并隨破裂程度增加 , 其維數(shù)降 低。 張奇 (1992年 對川中地區(qū)百余個地面及潛伏構 造分維與 20個含油氣構造分布的分維進行對比 , 認 為全部構造的分維 D=1.27。 20個含油氣構造分布的 分維 D=1.21。兩者均具有很寬

11、的無標度區(qū)間 , 相關 系數(shù)檢驗均在 0.97以上 , 這一現(xiàn)象說明構造分布與 油氣分別具有相似性的分形結構 7。分形方法已引入研究油氣田的空間分布 , 運用 分形理論對四川盆地油氣田的空間分布特征進行了 研究 , 結果表明油氣田的空間分布具有自相似性 , 可 用分形幾何學描述油氣田的分布規(guī)律。應用盒維數(shù) 方法計算了油氣田空間分布的分維值 , 對不同區(qū)塊 的分維特征進行了比較。 探討了分維值的物理意義。 實際資料計算結果顯示 , 盒子數(shù)目與尺度有很好的 相關性 , 其相關值均達 0.99以上 8。探討斷層的分維值與含油面積和產(chǎn)能的關系。 將分形幾何學的原理和方法 , 應用于東營凹陷 T 2、

12、T 6和 T R 3個不同構造層的斷層體系的二維平面分布特 征研究。發(fā)現(xiàn)研究的標度范圍內(nèi)不僅具有統(tǒng)計自相 似性 , 并且同一構造層不同子區(qū)域具有不同的分維 值 D 。將之與油田分布特征對比 , 可發(fā)現(xiàn)分維值越 高 , 油田規(guī)模越大 9。應用分形理論定量研究柴達木盆地北緣斷裂構 造的空間展布特征及其對油氣分布的控制作用 , 認 為斷裂體系分數(shù)維值越大的地區(qū) , 有利于油氣藏的 分布 , 其單位面積內(nèi)的油氣地質(zhì)儲量越高。 這些研究 結果為該區(qū)油氣勘探提供了新的依據(jù) 10。2.2分形理論在礦井地質(zhì)構造中的應用礦井構造量化預測是借助數(shù)學理論和計算機技 術 , 從分析井田各種直接或間接地反映構造復雜程

13、度的指標及其相互關系入手 , 以等性單元為基本單 位 , 以綜合評判為主要手段 , 對礦井不同地段構造相 對復雜程度進行分級的預測方法 11。礦井中分維應 用的具體方法是 :首先把已有的斷裂資料投繪到透 明紙上 , 然后把研究區(qū)劃分為若干正方形塊段 , 在每 個塊段內(nèi) , 以邊長為 r0的正方形網(wǎng)格進行覆蓋 , 記 錄每個網(wǎng)格中的斷裂長度 Ii 及斷裂總長度 L , 則 Pi (r =Ii /L , 不斷縮小網(wǎng)格 , 使 r=r0/2、 r0/4、 r0/8, 得到 每一級別的 Pi (r 和 H (r , 把它們投放到 lgPi (r -lgr 坐標系中 , 所得擬合直線的斜率的絕對值即為該

14、塊張飛燕 , 等 :分形概念及其在構造地質(zhì)研究中的應用17第 20卷 中 國 煤 炭 地 質(zhì)段的信息維 Di (圖 1、 2 。相似維的求測方法較為簡單 , 統(tǒng)計過程中只需記錄每個級別中有斷層跡線穿過的網(wǎng)格的數(shù)目 N(r , 在 lgN (r -lgr 坐標系中可得到一條擬合直線 ,其斜率的絕對值即為該塊段的相似維 D S (圖 2 。其實從前人所做的工作來看 , D i 與 D S 的差別很小 , 而且兩者呈良好的線性相關關系。利用此方法進行斷裂構造分形定量化研究 , 可以做出整個研究區(qū)的分維等值線圖。在分維等值線圖中可以對構造簡單區(qū)與構造復雜區(qū)進一評價。王國華 (2006 等在研究唐山煤礦

15、斷層構造中 , 就做出了鐵三鐵四區(qū) 5煤斷裂分維等值線圖 , 進行了分形定量化研究 (圖 3 。用如下的經(jīng)驗公式表示 :式中 :N 為斷層條數(shù) ; H 為斷層落差 ; D 為分維值 ; K 為常數(shù)。因此 , 通過對井田內(nèi)已經(jīng)揭露的斷層資料進行統(tǒng)計 , 作出散點圖 , 并利用回歸分析的方法求解出上面公式中的待定系數(shù) , 就可以得出斷層條數(shù)的預測 公式。 由于預測公式是根據(jù)小斷層資料得出的 , 有一 定的適用范圍 , 不能任意外推到大中型斷層或節(jié)理。 根據(jù)統(tǒng)計資料分析 , 對于落差小于 10m 的斷裂進行 預測可靠性較高 12。通過此種方法的預測結果也在 實際的生產(chǎn)中得到了驗證。其實在 1997年

16、夏玉成等就在 霍州礦區(qū)斷層構 造的分形特征一文中將斷裂信息維引入礦井斷裂 構造研究 , 發(fā)現(xiàn)斷裂信息維可以表征礦井斷裂構造 的相對復雜程度 13, 于是 , 將斷裂信息維作為評價礦 井斷裂構造復雜程度的新指標 14。劉玉林 (2004 論 述了應用分形理論評價斷裂構造復雜程度的優(yōu)越 性 , 并對霍林河煤田的斷裂構造的復雜程度進行了 評價。分維值作為評價斷裂復雜程度的指標能夠很 好地解釋一些地質(zhì)現(xiàn)象的變化 , 并通過地質(zhì)理論的 分析 , 反映與其相關的地質(zhì)因素變化。 具有其它指標 無法比擬的優(yōu)點 , 是一種包含了斷裂長度、 密度、 方 向性和組合方式等信息的綜合性指標 , 與斷裂長度 的關系最為

17、密切 15。煤與瓦斯突出的分布具有分區(qū)分帶性的特點 , 地質(zhì)構造是控制突出分布的主導性因素 16。由于地 質(zhì)構造形態(tài)不規(guī)則 , 分布復雜 , 用傳統(tǒng)的數(shù)學手段難 以對其進行準確量化的描述 . 目前 , 對地質(zhì)構造與突 出關系的研究仍處于定性分析階段 . 由 Mandelbrot 創(chuàng)立并發(fā)展的分形幾何學理論 , 為定量描述不規(guī)則 事物及其變化規(guī)律提供了有力的工具 . 近年來的研 究已經(jīng)證實 , 斷層的分布服從分形規(guī)律 , 可以應用分 形理論研究井田內(nèi)的斷層構造對突出危險性的影 響 . 為了較為全面準確地量化表達地質(zhì)構造與瓦斯 突出的關系 , 必須在不同尺度上考察各類地質(zhì)構造圖 1分維值求測方法示

18、意圖Figure 1A schematic diagram of fractal dimension calculation圖 2相似維解算示意圖Figure 2A schematic diagram of similarity dimension solving圖 3鐵三鐵四區(qū) 5煤斷裂分維等值線圖 (據(jù)王國華 , 2006Figure 3Fractal dimension isogram of No.5coal seam fractures in T3and T4region (from Wang Guohua , 2006183期對突出危險性的影響 , 形成較為可靠的突出預測指 標 17

19、, 18。 何俊等 (2002 采用分形幾何手段 , 對全國范 圍內(nèi)若干煤田中的地質(zhì)構造分布特征和礦區(qū)突出危 險性的關系進行了分析 , 并對突出預測的構造分維 指標進行了優(yōu)化。指出各類突出礦區(qū)煤田中斷層和 褶曲構造的分布服從分形規(guī)律 , 煤田地質(zhì)構造分布 對突出危險性的影響可以用分維來描述 . 斷層分維 和褶曲分維與突出危險性之間存在正相關關系 , 二 者綜合所構成的構造分維和指標是一項較為良好的 突出區(qū)域預測指標 19。分形理論用于礦床勘探的一個重要特點 , 是隨 著工程控制程度提高 , 分維值逐步增大 , 增大的速率 與礦體形態(tài)復雜程度有關。 因此 , 可用分維值來刻畫 礦體形態(tài)復雜程度。

20、利用對其復雜程度的刻畫來定 量預測礦產(chǎn)儲量計算的精度 , 估計地質(zhì)勘探的工作 程 度 等 。 孟 憲 國 等 應 用 關 聯(lián) 維 數(shù) 對 云 南 西 部 1: 50000水系沉積物地球化學測量數(shù)據(jù)空間分布進行 研究 , 對找礦做出了預測 20。另外 , 分形理論還廣泛用于巖爆與地震的預測 , 地質(zhì)制圖、 地形地貌的研究、 航片解釋、 巖石孔隙度 研究、 巖體結晶程度、 成礦流體的運移等地質(zhì)領域。 隨著分形理論在實踐應用中不斷修正、 完善 , 必將為 構造地質(zhì)學提供新的研究線索和途徑 , 使得一些復 雜抽象的地質(zhì)現(xiàn)象變得簡單易解 , 并使得地質(zhì)向定 量地質(zhì)學發(fā)展邁向一個嶄新的領域。參考文獻 :1

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