采用極坐標(biāo)求解彈性力學(xué)平面問題基本問題

1、一、內(nèi)容介紹在彈性力學(xué)問題的處理時(shí)，坐標(biāo)系的選擇從本質(zhì)上講并不影響問題的求解，但是坐標(biāo)的選取直接影響邊界條件的描述形式，從而關(guān)系到問題求解的難易程度。對于圓形，楔形，扇形等工程構(gòu)件，采用極坐標(biāo)系統(tǒng)求解將比直角坐標(biāo)系統(tǒng)要方便的多。本章的任務(wù)就是推導(dǎo)極坐標(biāo)表示的彈性力學(xué)平面問題基本方程，并且求解一些典型問題。二、重點(diǎn)1、基本未知量和基本方程的極坐標(biāo)形式；2、雙調(diào)和方程的極坐標(biāo)形式；3、軸對稱應(yīng)力與厚壁圓筒應(yīng)力；4、曲梁純彎曲、楔形體和圓孔等典型問題1 平面問題極坐標(biāo)解的基本方程學(xué)習(xí)思路:選取極坐標(biāo)系處理彈性力學(xué)平面問題，首先必須將彈性力學(xué)的基本方程以及邊界條件通過極坐標(biāo)形式描述和表達(dá)。本節(jié)的主要工

2、作是介紹基本物理量，包括位移、應(yīng)力和應(yīng)變的極坐標(biāo)形式；并且將基本方程，包括平衡微分方程、幾何方程和本構(gòu)關(guān)系轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)形式。由于仍然采用應(yīng)力解法，因此應(yīng)力函數(shù)的極坐標(biāo)表達(dá)是必要的。應(yīng)該注意的是坐標(biāo)系的選取與問題求解性質(zhì)無關(guān)，因此彈性力學(xué)直角坐標(biāo)解的基本概念仍然適用于極坐標(biāo)。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量；2、極坐標(biāo)平衡微分方程；3、極坐標(biāo)下的應(yīng)變分量；4、幾何方程的極坐標(biāo)表達(dá)；5、本構(gòu)方程的極坐標(biāo)表達(dá)；6、極坐標(biāo)系的Laplace算符；7、應(yīng)力函數(shù)。1、極坐標(biāo)下的應(yīng)力分量為了表明極坐標(biāo)系統(tǒng)中的應(yīng)力分量，從考察的平面物體中分割出微分單元體ABCD，其由兩個(gè)相距dr 的圓柱面和互成 dj 的兩個(gè)

3、徑向面構(gòu)成，如圖所示在極坐標(biāo)系中，用sr 表示徑向正應(yīng)力，用sj 表示環(huán)向正應(yīng)力,tjr 和trj 分別表示圓柱面和徑向面的切應(yīng)力，根據(jù)切應(yīng)力互等定理，tjr trj 。首先推導(dǎo)平衡微分方程的極坐標(biāo)形式。考慮到應(yīng)力分量是隨位置的變化，如果假設(shè)AB面上的應(yīng)力分量為sr 和tjr,則CD面上的應(yīng)力分量為如果AD面上的應(yīng)力分量為sj 和trj ，則BC面上的應(yīng)力分量為。同時(shí)，體力分量在極坐標(biāo)徑向r 和環(huán)向 j 方向的分量分別為Fbrj 和Fbj 。2、極坐標(biāo)平衡微分方程設(shè)單元體的厚度為1，如圖所示考察其平衡首先討論徑向的平衡，注意到 ，可以得到簡化上式，并且略去三階微量，則同理，考慮微分單元體切向平

4、衡，可得簡化上式，可以得到極坐標(biāo)系下的平衡微分方程，即3、極坐標(biāo)下的應(yīng)變分量以下推導(dǎo)極坐標(biāo)系統(tǒng)的幾何方程。在極坐標(biāo)系中，位移分量為ur，uj ，分別為徑向位移和環(huán)向位移。極坐標(biāo)對應(yīng)的應(yīng)變分量為：徑向線應(yīng)變er，即徑向微分線段的正應(yīng)變；環(huán)向線應(yīng)變ej 為環(huán)向微分線段的正應(yīng)變；切應(yīng)變grj為徑向和環(huán)向微分線段之間的直角改變量。首先討論線應(yīng)變與位移分量的關(guān)系，分別考慮徑向位移環(huán)向位移ur，uj 所引起的應(yīng)變。如果只有徑向位移ur，如圖所示借助于與直角坐標(biāo)同樣的推導(dǎo)，可以得到徑向微分線段AD的線應(yīng)變?yōu)?；環(huán)向微分線段AB=rdj 的相對伸長為 ；如果只有環(huán)向位移uj 時(shí)，徑向微分線段線沒有變形，如圖所示

5、環(huán)向微分線段的相對伸長為 ；將上述結(jié)果相加，可以得到正應(yīng)變分量,4、幾何方程的極坐標(biāo)表達(dá)下面考察切應(yīng)變與位移之間的關(guān)系。設(shè)微分單元體ABCD在變形后變?yōu)锳'B'C'D'，如圖所示因此切應(yīng)變?yōu)間rj =h + (b - a) 上式中h 表示環(huán)向微分線段AB向 r 方向轉(zhuǎn)過的角度，即 ；b 表示徑向微分線段AD向j 方向轉(zhuǎn)過的角度，因此 ；而 a 角應(yīng)等于A點(diǎn)的環(huán)向位移除以該點(diǎn)的徑向坐標(biāo)r，即 。將上述結(jié)果回代，則一點(diǎn)的切應(yīng)變?yōu)椤＞C上所述，可以得到極坐標(biāo)系的幾何方程為 5、本構(gòu)方程的極坐標(biāo)表達(dá)由于討論的物體是各向同性材料的，因此極坐標(biāo)系的本構(gòu)方程與直角坐標(biāo)

6、的表達(dá)形式是相同的，只要將其中的坐標(biāo) x 和 y 換成 r 和j 就可以了。對于平面應(yīng)力問題，有對于平面應(yīng)變問題，只要將上述公式中的彈性常數(shù)E，n 分別換為， 就可以。6、極坐標(biāo)系的Laplace算符平面問題以應(yīng)力分量形式表達(dá)的變形協(xié)調(diào)方程在直角坐標(biāo)系中為 。由于s x+s y= s r+s j 為應(yīng)力不變量，因此對于極坐標(biāo)問題，僅需要將直角坐標(biāo)中的Laplace算符轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)的形式。因?yàn)?，x=rcosj， y=rsinj ，即。將r 和j 和分別對x和y求偏導(dǎo)數(shù)，可得根據(jù)上述關(guān)系式，可得以下運(yùn)算符號則將以上兩式相加，簡化可以得到極坐標(biāo)系的Laplace算符。另外，注意到應(yīng)力不變量，因此在極

7、坐標(biāo)系下，平面問題的由應(yīng)力表達(dá)的變形協(xié)調(diào)方程變換為 7、應(yīng)力函數(shù)如果彈性體體力為零，則可以采用應(yīng)力函數(shù)解法求解。不難證明下列應(yīng)力表達(dá)式是滿足平衡微分方程的這里(r，j)是極坐標(biāo)形式的應(yīng)力函數(shù)，假設(shè)其具有連續(xù)到四階的偏導(dǎo)數(shù)。將上述應(yīng)力分量表達(dá)式代入變形協(xié)調(diào)方程，可得 顯然這是極坐標(biāo)形式的雙調(diào)和方程?？偠灾?，用極坐標(biāo)解彈性力學(xué)的平面問題，與直角坐標(biāo)求解一樣，都?xì)w結(jié)為在給定的邊界條件下求解雙調(diào)和方程。在應(yīng)力函數(shù)解出后，可以應(yīng)用應(yīng)力分量表達(dá)式求解應(yīng)力，然后通過物理方程和幾何方程求解應(yīng)變分量和位移分量。§7.2 軸對稱問題的應(yīng)力和相應(yīng)的位移學(xué)習(xí)思路:如果彈性體的結(jié)構(gòu)幾何形狀、材料性質(zhì)和邊界條

8、件等均對稱于某一個(gè)軸時(shí)，稱為軸對稱結(jié)構(gòu)。軸對稱結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分量與j 無關(guān)，稱為軸對稱應(yīng)力。如果位移也與j 無關(guān)，稱為軸對稱位移問題。本節(jié)首先根據(jù)應(yīng)力分量與j 無關(guān)的條件，推導(dǎo)軸對稱應(yīng)力表達(dá)式。這個(gè)公式有3個(gè)待定系數(shù)，僅僅根據(jù)軸對稱應(yīng)力問題的邊界條件是不能確定的。因此討論軸對稱位移，根據(jù)胡克定理的前兩式，得到環(huán)向位移和徑向位移公式，然后代入胡克定理第三式，確定待定函數(shù)。軸對稱問題的實(shí)質(zhì)是一維問題，因此對于軸對稱問題，均可以得到相應(yīng)的解答。應(yīng)該注意的問題是如何確定軸對稱問題。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、軸對稱應(yīng)力分量；2、軸對稱位移；3、軸對稱位移函數(shù)推導(dǎo)；4、軸對稱位移和應(yīng)力表達(dá)式。1、軸對稱應(yīng)力分量考察彈性體

9、的應(yīng)力與j 無關(guān)的特殊情況，如圖所示。即應(yīng)力函數(shù)僅為坐標(biāo)r 的函數(shù)。這樣，變形協(xié)調(diào)方程即雙調(diào)和方程成為常微分方程如將上式展開并在等號兩邊乘以r4，可得這是歐拉方程，對于這類方程，只要引入變換r =et，則方程可以變換為常系數(shù)的微分方程，有其通解為注意到 t = ln r，則方程的通解為將上式代入應(yīng)力表達(dá)式則軸對稱應(yīng)力分量為上述公式表達(dá)的應(yīng)力分量是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱分布的，因此稱為軸對稱應(yīng)力。2、軸對稱位移現(xiàn)在考察與軸對稱應(yīng)力相對應(yīng)的變形和位移。對于平面應(yīng)力問題，將應(yīng)力分量代入物理方程可得應(yīng)變分量根據(jù)上述公式可見，應(yīng)變分量也是軸對稱的。將上式代入幾何方程可得位移關(guān)系式 對上述公式的第一式積分，可得

10、其中f（j）為j的任意函數(shù)。將上式代入公式的第二式則積分后可得這里g(r)為 r 的任意函數(shù)。3、軸對稱位移函數(shù)推導(dǎo)將徑向位移和環(huán)向位移的結(jié)果代入公式的第三式則或者寫作上式等號左邊為r 的函數(shù)，而右邊為j 的函數(shù)。顯然若使上式對所有的r 和j 都成立，只有其中F為任意常數(shù)。以上方程第一式的通解為這里H為任意常數(shù)。為了求出f(j)，將方程的第二式對j求一次導(dǎo)數(shù)，可得其通解為。另外將上述公式分別代入位移表達(dá)式可得位移分量的表達(dá)式4、軸對稱位移和應(yīng)力表達(dá)式位移分量的表達(dá)式中的A，B，C，H，I，K都是待定常數(shù)，其取決于邊界條件和約束條件。上述公式表明應(yīng)力軸對稱并不表示位移也是軸對稱的。但是在軸對稱應(yīng)

11、力中，假如物體的幾何形狀和外力，包括幾何約束都是軸對稱的，則位移也應(yīng)該是軸對稱的。這時(shí)，物體內(nèi)各點(diǎn)的環(huán)向位移均應(yīng)為零，即不論r 和j 取什么值，都應(yīng)有uj0。因此,B = H = I = K = 0 。所以，軸對稱應(yīng)力表達(dá)式可以簡化為而位移表達(dá)式簡化為上述公式當(dāng)然也可以用于平面應(yīng)變問題，只要將E，n分別換為即可。§7.3 圓筒受均勻分布壓力的作用學(xué)習(xí)思路:本節(jié)介紹典型的軸對稱問題，厚壁圓筒作用均勻壓力的求解。問題的主要工作是通過邊界條件確定軸對稱應(yīng)力公式中的待定系數(shù)。除了厚壁圓筒作用內(nèi)外壓力，還分析了作用內(nèi)壓力的圓筒應(yīng)力分布。這個(gè)解答工程上稱為拉梅（Lamé）解答，是厚壁圓

12、筒等工程問題的經(jīng)典解答。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、厚壁圓筒內(nèi)外作用均勻壓力；2、厚壁圓筒受內(nèi)壓力1、厚壁圓筒內(nèi)外作用均勻壓力設(shè)有圓筒或圓環(huán)，如圖所示內(nèi)半徑為a，外半徑為b，受內(nèi)壓力q1及外壓力q2的作用。顯然，問題的應(yīng)力是軸對稱的，如果不計(jì)剛體位移，則其位移也是軸對稱的。將軸對稱應(yīng)力公式代入本問題的邊界條件求解可得聯(lián)立求解上述公式，可得將上述所得的A，C回代軸對稱應(yīng)力公式可得Lamé 解答2、厚壁圓筒受內(nèi)壓力當(dāng)外壁壓力q2為零時(shí)，即圓筒僅受內(nèi)壁壓力的作用，則圓筒應(yīng)力為 根據(jù)上述分析，容易看到徑向應(yīng)力小于零，為壓應(yīng)力；而環(huán)向應(yīng)力大于零，為拉應(yīng)力。最大應(yīng)力為發(fā)生在內(nèi)壁的拉應(yīng)力，其值為§7.

13、4 曲梁純彎曲學(xué)習(xí)思路:本節(jié)介紹曲梁純彎曲問題。對于曲梁，其幾何形狀并不具有軸對稱性質(zhì)，但是對于純彎曲問題，其任意橫截面的內(nèi)力具有軸對稱性質(zhì)。因此這是一個(gè)典型的軸對稱應(yīng)力問題。由于問題屬于軸對稱應(yīng)力，但是卻不是軸對稱位移，因此應(yīng)該注意選取的應(yīng)力和位移表達(dá)式。問題性質(zhì)確定后，主要工作仍然是通過邊界條件確定軸對稱應(yīng)力表達(dá)式的待定系數(shù)。除了曲梁純彎曲應(yīng)力分布分析，本節(jié)還討論了曲梁的變形和位移。根據(jù)分析，曲梁純彎曲的橫截面是保持平面的，但是彎曲應(yīng)力sj 沿橫截面高度按雙曲線分布，這與直梁的彎曲應(yīng)力是不同的。因此，平面假設(shè)用于曲梁是不準(zhǔn)確的。 學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、曲梁純彎曲邊界條件；2、曲梁彎曲應(yīng)力；3、曲梁

14、純彎曲位移與平面假設(shè)1、曲梁純彎曲邊界條件設(shè)有矩形截面的曲梁，如圖所示其內(nèi)半徑為a，外半徑為b，兩端受彎矩作用，設(shè)單位寬度的彎矩為M。取曲率中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，從梁的一端量取j 。由于梁的所有徑向截面上的彎矩均相同， 因此可以認(rèn)為各個(gè)截面的應(yīng)力分布是相同的，也就是說應(yīng)力分布是軸對稱的。其應(yīng)力分量滿足軸對稱應(yīng)力公式根據(jù)邊界條件可以確定待定常數(shù)A，B，C。本問題的邊界條件為將軸對稱應(yīng)力分量代入上述邊界條件，可以得到2、曲梁彎曲應(yīng)力上述公式的第三式是第一，第二式線性組合的必然結(jié)果。將其余三個(gè)方程聯(lián)立求解。可以得到其中將上述系數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式，不難看出則上述應(yīng)力分量表達(dá)式稱為克洛文解。應(yīng)力分布如圖所

15、示在內(nèi)邊界，即r = a，彎曲應(yīng)力sj 最大。中性軸，即sj =0 處，在靠近內(nèi)邊界一側(cè)。擠壓應(yīng)力sr 的最大值較中性軸更靠近內(nèi)邊界一側(cè)。3、曲梁純彎曲位移與平面假設(shè)對于曲梁的彎曲位移，可將系數(shù)A, B, C代入軸對稱應(yīng)力的位移表達(dá)式而其余待定常數(shù)H，K，I 將由梁的約束條件來確定。假設(shè)， 和即認(rèn)為P點(diǎn)的位移為零，而且該點(diǎn)的徑向微分線段沿j 方向的轉(zhuǎn)角也為零，如圖所示將軸對稱位移據(jù)表達(dá)式代入上述位移邊界條件，則將上述待定系數(shù)回代軸對稱應(yīng)力的位移表達(dá)式則可得曲梁的位移。以下討論平面截面的假設(shè)，為此考慮曲梁的環(huán)向位移曲梁橫截面上的任一徑向微分線段的轉(zhuǎn)角a 為對于曲梁的任一橫截面，j 為常數(shù)，因此橫

16、截面上的所有微分線段的轉(zhuǎn)角a 均相等。這也就是說，曲梁的橫截面保持平面。這與材料力學(xué)關(guān)于梁的彎曲變形平面假設(shè)是一致的。但是，彎曲應(yīng)力sj 按雙曲線分布顯然與直梁的彎曲應(yīng)力是不同的，而且假設(shè)徑向應(yīng)力sr = 0 和 trj =0，就是認(rèn)為縱向纖維僅受簡單的環(huán)向拉壓的假設(shè)對于曲梁是不成立的。但是，由于平面假定的正確，所以對于曲率不大的曲梁，這個(gè)誤差并不是特別顯著。因此，材料力學(xué)彎曲應(yīng)力sj 的計(jì)算公式在工程中廣泛應(yīng)用。§7.5 曲梁受徑向集中力學(xué)習(xí)思路:本節(jié)討論曲梁作用徑向集中力問題。曲梁在集中力作用下，已經(jīng)不是軸對稱應(yīng)力問題。對于彈性力學(xué)問題的求解，重要的問題是確定應(yīng)力函數(shù)的形式。對于

17、曲梁作用徑向集中力，借助于邊界彎矩與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系，找到應(yīng)力函數(shù)的基本形式，然后根據(jù)變形協(xié)調(diào)方程得到應(yīng)力函數(shù)。對于應(yīng)力函數(shù)中的待定系數(shù)，則根據(jù)邊界條件確定。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、曲梁徑向集中力問題的應(yīng)力函數(shù)；2、邊界條件；3、曲梁應(yīng)力1、曲梁徑向集中力問題的應(yīng)力函數(shù)設(shè)有矩形截面的曲梁，如圖所示其內(nèi)半徑為a，外半徑為b，一端固定而另一端受徑向力F作用，設(shè)其為單位寬度。取曲率中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，從梁的一端量取j 。根據(jù)曲梁受力分析，任一橫截面的內(nèi)力，彎矩與 sinj 成正比。因此根據(jù)應(yīng)力函數(shù)的性質(zhì)，假設(shè)問題的應(yīng)力函數(shù)也與 sinj 成正比，即將上式代入變形協(xié)調(diào)方程可以得到f(r)所需要滿足的方程這個(gè)方程可以

18、轉(zhuǎn)換為常系數(shù)的常微分方程，其通解為將其代入應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式 ，則2、邊界條件根據(jù)極坐標(biāo)應(yīng)力分量表達(dá)式可得曲梁應(yīng)力分量為現(xiàn)在的問題是利用面力邊界條件確定待定常數(shù)A, B和D。本問題的面力邊界條件為將曲梁應(yīng)力分量代入面力邊界條件，可得3、曲梁應(yīng)力求解上述方程，可以得到其中將上述計(jì)算所得的待定常數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式則曲梁的應(yīng)力分量為§7.6 帶圓孔平板的均勻拉伸學(xué)習(xí)思路:平板受均勻拉力q作用，平板內(nèi)有半徑為a的小圓孔。圓孔的存在，必然對應(yīng)力分布產(chǎn)生影響?？卓诟浇膽?yīng)力將遠(yuǎn)大于無孔時(shí)的應(yīng)力，也遠(yuǎn)大于距孔口稍遠(yuǎn)處的應(yīng)力。這種現(xiàn)象稱為應(yīng)力集中?？卓诘膽?yīng)力集中，根據(jù)局部性原理，影響主要限于孔口附近區(qū)

19、域。根據(jù)上述分析，在與小圓孔同心的厚壁圓筒上，應(yīng)力可以分為兩部分：一部分是沿外圓周作用的不變的正應(yīng)力，另一部分是以三角函數(shù)變化的法向力和切向力。對于前者是軸對稱問題；或者根據(jù)問題性質(zhì)可以確定應(yīng)力函數(shù)后求解。孔口應(yīng)力分析表明，孔口應(yīng)力集中因子為3。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、帶圓孔平板拉伸問題；2、厚壁圓筒應(yīng)力函數(shù)；3、應(yīng)力與邊界條件；4、孔口應(yīng)力。1、帶圓孔平板拉伸問題設(shè)平板在x方向受均勻拉力q作用，板內(nèi)有一個(gè)半徑為a的小圓孔。圓孔的存在，必然對應(yīng)力分布產(chǎn)生影響，如圖所示。孔口附近的應(yīng)力將遠(yuǎn)大于無孔時(shí)的應(yīng)力，也遠(yuǎn)大于距孔口稍遠(yuǎn)處的應(yīng)力。這種現(xiàn)象稱為應(yīng)力集中。孔口的應(yīng)力集中，根據(jù)局部性原理，影響主要限于孔口附

20、近區(qū)域。隨著距離增加，在離孔口較遠(yuǎn)處，這種影響也就顯著的減小。根據(jù)上述分析，假如b與圓孔中心有足夠的距離，則其應(yīng)力與無圓孔平板的分布應(yīng)該是相同的。因此上述公式表明在與小圓孔同心的，半徑為b的圓周上，應(yīng)力可以分為兩部分：一部分是沿外圓周作用的不變的正應(yīng)力，其數(shù)值為；另一部分是隨j 變化的法向力cos2j 和切向力sin2j。對于沿厚壁圓筒外圓周作用的不變的正應(yīng)力，其數(shù)值為。 由此產(chǎn)生的應(yīng)力可用軸對稱應(yīng)力計(jì)算公式計(jì)算。則這里，將均勻法向應(yīng)力作為外加載荷作用于內(nèi)徑為a，外徑為b的厚壁圓筒的外圓周處。使得問題成為一個(gè)典型的軸對稱應(yīng)力。2、厚壁圓筒應(yīng)力函數(shù)對于厚壁圓筒的外徑作用隨2j 變化的法向外力co

21、s2j 和切向外力sin2j ，如圖所示根據(jù)面力邊界條件，厚壁圓筒的應(yīng)力分量也應(yīng)該是2j 的函數(shù)。由應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量的關(guān)系可以看出，由此產(chǎn)生的應(yīng)力可以由以下形式的應(yīng)力函數(shù)求解，即將上述應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式代入變形協(xié)調(diào)方程可得 f（r）所要滿足的方程即上述方程是歐拉(Euler)方程，通過變換可成為常系數(shù)常微分方程，其通解為 因此，將其代入公式 ，可得應(yīng)力函數(shù)為3、應(yīng)力與邊界條件因此，應(yīng)力分量為應(yīng)力分量表達(dá)式中的待定常數(shù)A，B，C，D可用邊界條件確定，本問題的面力邊界條件為將應(yīng)力分量代入上述邊界條件，則聯(lián)立求解上述方程，并且注意到對于本問題，a/b0, 可得4、孔口應(yīng)力將計(jì)算所得到系數(shù)代入應(yīng)力分量公

22、式則將隨j 變化的法向力cos2j 和切向力 sin2j 的計(jì)算所得結(jié)果與沿外圓周作用的不變的正應(yīng)力結(jié)果相疊加，則上述應(yīng)力分量表達(dá)式表明，如果r 相當(dāng)大時(shí)，上述應(yīng)力分量與均勻拉伸的應(yīng)力狀態(tài)相同。對于孔口應(yīng)力，即r =a 時(shí)，有最大環(huán)向應(yīng)力發(fā)生在小圓孔的邊界上的j =p/2 和j =3p/2 處，其值為sj max = 3q這表明，當(dāng)板很大而孔很小時(shí)，則圓孔的孔口將有應(yīng)力集中現(xiàn)象。通常把最大應(yīng)力與平均應(yīng)力的比值用于描述應(yīng)力集中的程度。即K 稱為應(yīng)力集中因子。對于平板受均勻拉伸問題，K=3。§7.7 楔形體頂端受集中力或集中力偶學(xué)習(xí)思路:本節(jié)將推導(dǎo)有關(guān)楔形體的幾個(gè)有實(shí)用價(jià)值的解答。對于彈

23、性力學(xué)問題的求解，重要的問題是確定應(yīng)力函數(shù)的形式。由于楔形體幾何形狀的特殊性，本身沒有任何描述長度的幾何參數(shù)，借助于幾何特性，可以找到應(yīng)力函數(shù)的基本形式，然后根據(jù)變形協(xié)調(diào)方程得到應(yīng)力函數(shù)。楔形體彈性力學(xué)解答可以推廣為半無限平面應(yīng)力的解答，這對于工程問題的求解具有指導(dǎo)意義。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、楔形體作用集中力問題的應(yīng)力函數(shù)；2、楔形體邊界條件；3、楔形體應(yīng)力；4、半無限平面作用集中力；5、楔形體受集中力偶作用；6、楔形體受集中力偶作用的應(yīng)力。1、楔形體作用集中力問題的應(yīng)力函數(shù)設(shè)有一楔形體，其中心角為a，下端可以認(rèn)為是伸向無窮遠(yuǎn)處。首先討論楔形體在其頂端受集中力作用，集中力與楔形體的中心線成b 角。設(shè)楔

24、形體為單位厚度，單位厚度所受的力為F，極坐標(biāo)系選取如圖所示通過量綱分析可以確定本問題應(yīng)力函數(shù)的形式。由于楔形體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力分量將與F 成正比，并與a， b，r 和j 有關(guān)。由于F的量綱為MT-2，r的量綱為L-1，而a， b 和j 是無量綱的，因此各個(gè)應(yīng)力分量的表達(dá)式只能取r 的負(fù)一次冪。而根據(jù)應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式其r的冪次應(yīng)比各應(yīng)力分量r 的冪次高兩次。因此可以假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為j 的某個(gè)函數(shù)乘以 r 的一次冪。有將上述應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式代入變形協(xié)調(diào)方程可得 f ( j ) 所要滿足的方程。即求解上式，可得其中A，B，C和D為待定常數(shù)，將上式代入應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式可得由于過且過 為線性項(xiàng)，不影響應(yīng)力分量的計(jì)

25、算，因此可以刪去。因此應(yīng)力函數(shù)為2、楔形體邊界條件由應(yīng)力分量表達(dá)式，可得楔形體的應(yīng)力分量 現(xiàn)在的問題是利用面力邊界條件確定待定常數(shù)。楔形體左右兩邊的面力邊界條件為已經(jīng)自然滿足。此外還有一個(gè)應(yīng)力邊界條件：在楔形體頂端附近的一小部分邊界上有一組面力，它的分布沒有給出，但已知它在單位寬度上的合力為F。如果取任意一個(gè)截面，例如圓柱面ab，如圖所示則該截面的應(yīng)力分量必然和上述面力合成為平衡力系，因此也就必然和力F形成平衡力系。于是得出由應(yīng)力邊界條件轉(zhuǎn)換而來的平衡條件3、楔形體應(yīng)力將應(yīng)力分量表達(dá)式代入上式，則積分可得即將常數(shù)C和D代入應(yīng)力分量表達(dá)式則本問題的解答為上述楔形體應(yīng)力在r等于0時(shí)，將趨于無限大。即在載荷作用點(diǎn)的應(yīng)力無限大，解答是不適用的。但是如果外力不是作用于一點(diǎn)，而是按照上述應(yīng)力分布作用于一個(gè)小圓弧區(qū)域，上述解答則為精確解。根據(jù)圣維南原理，除了力的作用點(diǎn)附近，解答是有足夠精度的。4、半無限平面作用集中力在上述楔形體問題中，如果令ap，b0，則轉(zhuǎn)化為彈性半無限平面作用集中力問題。將ap，b0代入楔形體應(yīng)力表達(dá)式則彈性半無限平面作用集中力作用的應(yīng)力表達(dá)式為彈性半無限平面作用集中力作用的應(yīng)力場具有以下特點(diǎn)：1、sr為主應(yīng)力,其余主應(yīng)力為0。2、在直徑為d，圓心在x 軸并且與y 軸相切于原點(diǎn)O的圓上，由于該圓上任意一點(diǎn)滿足r = dcosj ，所以，圓上任意一點(diǎn)應(yīng)力為 sr=-