第一章函數(shù)的極限與函數(shù)的連續(xù)性

1、第一章 函數(shù)的極限與函數(shù)的連續(xù)性一、學(xué)習(xí)目的與要求1、了解函數(shù)極限的定義，會(huì)用它證明一些簡(jiǎn)單函數(shù)的極限。2、了解無(wú)窮小，無(wú)窮大的概念。掌握無(wú)窮小的比較。3、掌握極限運(yùn)算法則；了解兩個(gè)極限存在準(zhǔn)則；會(huì)用兩個(gè)重要極限求極限。4、加深理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念，會(huì)討論函數(shù)的連續(xù)性，會(huì)判斷間斷點(diǎn)的類型。5、了解在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)函數(shù)極限的概念及計(jì)算三、內(nèi)容提要1、數(shù)列極限與函數(shù)極限（I）概念綜述類型定義式說(shuō)明趨于定值為有限值，為與之并趨于無(wú)窮大將“”換作“+”或“-”時(shí)，則得到正無(wú)窮大，負(fù)無(wú)窮大的定義。（II）極限的主要性質(zhì)設(shè)表示數(shù)列變量或函數(shù)變量，在同一個(gè)極限過(guò)程中該極限過(guò)程可以是

2、數(shù)列極限或函數(shù)極限中的任一種,A、B、是常數(shù)，則極限有以下性質(zhì)。運(yùn)算性質(zhì)線性規(guī)則：乘積規(guī)則：商規(guī)則：比較性質(zhì)（1）若，則（2）若，則在某個(gè)范圍X上有有界性質(zhì)（1）若收斂，則有界（2）若，則在某個(gè)范圍X上有界。存在性質(zhì)（1）單調(diào)有界準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必是收斂數(shù)列。（2）夾逼準(zhǔn)則：若，且、趨于A，則亦趨于A（三個(gè)變量、極限過(guò)程相同）。 注 的形式與極限過(guò)程相關(guān)，當(dāng)、是數(shù)列時(shí)，是某個(gè)自然數(shù)；當(dāng)、是函數(shù)變量，極限過(guò)程是時(shí)，極限過(guò)程是，其余類推。 （III）基本極限公式，不存在不存在， 不存在。 （IV）極限之間的聯(lián)系（1）（2）（3）對(duì)任意趨于的數(shù)列，有2無(wú)窮小量與無(wú)窮大量 （I）概念無(wú)窮小量 在指定

3、極限過(guò)程中以零為極限的變量無(wú)窮大量 在指定極限過(guò)程中趨于無(wú)窮大的變量 表示是較高階的無(wú)窮小量，即 表示與是同階的無(wú)窮小量，即是非零常數(shù)。 表示與是等價(jià)無(wú)窮小量，即無(wú)窮小的主部 設(shè)為常數(shù)，若，則說(shuō) 的主部，稱作基本無(wú)窮小，稱作關(guān)于的階數(shù)。（II）運(yùn)算性質(zhì)設(shè)、是無(wú)窮小量，為有界變量，為無(wú)窮大量，且在同一極限過(guò)程下考慮運(yùn)算，有（1）均是無(wú)窮小量。（2）均是無(wú)窮大量。（III）等價(jià)無(wú)窮小替換原理設(shè)，則。（IV）常用等價(jià)替換公式在尋求無(wú)窮小量的等價(jià)基本無(wú)窮小時(shí)，可依據(jù)以下公式與結(jié)果（其中、可以是函數(shù)變量如，也可以是數(shù)列，如等等）；積與商 若，則和常用公式 設(shè)，則3函數(shù)的連續(xù)性（I）概念在一點(diǎn)連續(xù) 函數(shù)在

4、的某個(gè)領(lǐng)域。 在一點(diǎn)左（右）連續(xù) 函數(shù)在的某個(gè)左（右）鄰域 上有定義，且 在連續(xù) 函數(shù)內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)連續(xù)。在上連續(xù) 函數(shù)在連續(xù)，且在左端點(diǎn)右連續(xù)，右端點(diǎn)左連續(xù)。間斷點(diǎn) 當(dāng)不成立時(shí)，稱于處間斷，間斷點(diǎn)可分為以下幾種類型： 名稱 特 征第一類可去間斷點(diǎn)與均存在不等跳躍間斷點(diǎn)第二類與至少有一個(gè)不存在（II）主要性質(zhì)（1）若均在點(diǎn)連續(xù)，則 也在點(diǎn)連續(xù)；若有定義，連續(xù)，在連續(xù)，則在連續(xù)。（2）局部保號(hào)性 若在連續(xù),的某鄰域（3）若的反函數(shù)為，且在連續(xù)，則 連續(xù)。（4）基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)，初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。（III）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則有（1）在上有界并取得最大值

5、與最小值（最值定理）。（2）若則存在（零點(diǎn)存在定理）。（3）若實(shí)數(shù)在之間，則存在（介值定值）。（4）上一致連續(xù)，即任給時(shí)便有。四、思考題1、在函數(shù)極限的定義中，回答下列問(wèn)題:（1）為什么要任意給定？（2）對(duì)于給定的，對(duì)應(yīng)的是否唯一？若不唯一，是否要找其中最小的？（3）定義中兩個(gè)不等式0<x-x0<,<各表示什么意思，它們之間有什么聯(lián)系？2、若極限存在，問(wèn)：（1）在x=x0處是否一定有定義？（2）在x=x0附近是否有界？3、若存在，不存在，問(wèn)：（1）是否一定不存在？（2）是否一定不存在？4、下列說(shuō)法是否正確，為什么？（1）若函數(shù)在點(diǎn)x0有極限，則在點(diǎn)x0連續(xù)；（2）函數(shù)在定義域

6、內(nèi)必處處連續(xù)；（3）函數(shù)在一點(diǎn)處左右極限都存在而且相等，則此點(diǎn)一定是函數(shù)的可去間斷點(diǎn)；（4）若函數(shù)在（a,b）連續(xù)，則在（a,b）內(nèi)函數(shù)存在著最大值和最小值。5、設(shè)和在x0點(diǎn)處連續(xù)，問(wèn)和在x0點(diǎn)是否連續(xù)？五、典型例題分析例1 設(shè)，求的最大值.解 這道題用作圖法最簡(jiǎn)單，如圖所示，在同一坐標(biāo)系下，作三直線，從圖上可見(jiàn)，因此，的最大值是 例2 利用定義證明分析 ，為使<，只需<，即<2，取=2即可。證 對(duì)于任給的>0，存在=2，當(dāng)0<<時(shí)恒成立，所以 例3 求分析 在極限運(yùn)算中，運(yùn)用恒等變換是個(gè)重要的手段，尤其是分子分母的極限都是零時(shí)（稱型），或都是無(wú)窮大時(shí)（稱型

7、），不能直接用極限運(yùn)算法則，總要先作恒等變換。本題是“”型的極限，可將原分子、分母有理化，再消去極限為零的因子。解 =例4 求分析 這是屬于“”型的極限，不能直接用極限的四則運(yùn)算法則，而往往利用通分、乘共軛因式或三角恒等變形等方法，變?yōu)椤啊毙突颉啊毙?，再求極限。解 =例5 判斷函數(shù)當(dāng)x0時(shí)極限的存在性分析 當(dāng)x0時(shí)，是以任何方式趨于零，所以應(yīng)考慮x0-，x0+兩種情況，才能作出判斷。解 當(dāng)x0-時(shí)，于是當(dāng)x0+時(shí)，于是，所以不存在例6 求a的值，使函數(shù)在x=0處的極限存在。分析 函數(shù)當(dāng)xx0時(shí)極限存在的充要條件是左極限和右極限各自存在且相等，即這一結(jié)論是求極限以及證明極限不存在的有力工具，特別

8、是求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限時(shí)用得較多。解 因?yàn)椋?當(dāng)a=1時(shí)，例7 求分析 由于極限過(guò)程是x0，分式含三角函數(shù)，屬“”型，因而想到應(yīng)用重要極限。解 =在以上解題過(guò)程中，運(yùn)用了等價(jià)無(wú)窮小替代以求極限，應(yīng)熟記以下公式：當(dāng)x0時(shí)，sinxxtanxarcsinxln(1+x)ex-1，1-cosx，另外必須注意的是，應(yīng)該用分子或分母的整體或部分因子的等價(jià)無(wú)窮小進(jìn)行代替。例8 求分析 極限過(guò)程是x，屬“”型，因而容易想到應(yīng)用重要極限。解法1 =解法2 = =例9 求分析 此題屬“”型，可先作恒等變換將其化為“”型或“”型，再求極限。解 = =例10 求分析 當(dāng)x-時(shí)，arctanx，所以極限屬“

9、”型，一時(shí)不知如何下手。如果利用變量代換為三角函數(shù)的極限，也許有可能求得極限。解 令actanx=y，則x=tany。當(dāng)x時(shí)，y。 = =1·（-1）= -1例11 求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，并指出間斷點(diǎn)的類型：（1）； （2）分析 如何求一個(gè)函數(shù)的間斷點(diǎn)？如果所考慮的函數(shù)是初等函數(shù)，則其無(wú)定義的點(diǎn)（在此點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)總有異于它而屬于函數(shù)定義域的點(diǎn)）就是間斷點(diǎn)；如果是分段函數(shù)，則分段點(diǎn)可能為間斷點(diǎn)。如何判斷間斷點(diǎn)的類型？對(duì)于分段函數(shù)的分段點(diǎn)，常用左、右極限去判斷；如果間斷點(diǎn)是使函數(shù)表達(dá)式中分式的分母為零的點(diǎn)，則要注意該點(diǎn)是否也使分子為零，如果是這樣，該點(diǎn)很可能是可去間斷點(diǎn)。解（1）在=0處

10、，無(wú)定義，在=0的任何鄰域內(nèi)均有異于0而屬于的定義域的點(diǎn)，所以=0是的間斷點(diǎn)。由于 ， 所以x=0是的第一類不可去間斷點(diǎn)，即跳躍間斷點(diǎn)。（2）這是一個(gè)分段函數(shù)，x=0是分段點(diǎn)。由于 ，所以x=0是的第一類不可去間斷點(diǎn)，即跳躍間斷點(diǎn)。當(dāng)x>0時(shí)，它在x=2的任何鄰域內(nèi)均有異于x=2 而屬于函數(shù)定義域的點(diǎn)，所以x=2是函數(shù)的間斷點(diǎn)。又由不存在，所以x=2是函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)。當(dāng)x<0時(shí)，顯然= -1，-3，-5，是函數(shù)的間斷點(diǎn)，又由于 ，所以x= -1是的可去間斷點(diǎn)，又由于當(dāng)x0= -3，-5，時(shí)，所以x= -3，-5，都是函數(shù)的無(wú)窮間斷點(diǎn)。例12 討論函數(shù)的連續(xù)性，若有間斷點(diǎn)試判別其

11、類型。分析 由于函數(shù)是在時(shí)的表達(dá)式，因此在求極限時(shí)，需要考慮x的取值情況，然后再考慮有無(wú)間斷點(diǎn)。解下面判別函數(shù)的間斷點(diǎn)。 因?yàn)?所以x=1是的第一類不可去間斷點(diǎn)。 因?yàn)?所以x= -1是的第一類不可去間斷點(diǎn)。例13 若函數(shù)在a,b上連續(xù)，a<x1<x2<<xn<b，則在x1,xn上必有一點(diǎn)，使得 分析 因?yàn)樵赼,b上連續(xù)，所以在x1,xn上連續(xù)，且在x1,xn上取得最大值和最小值，并且 ，將以上各式對(duì)應(yīng)相加，運(yùn)用介值定理即可得到證明。證 設(shè)在x1,xn上的最大值為，最小值為，則M, m,。將這個(gè)不等式對(duì)應(yīng)相加，得即 因?yàn)楹瘮?shù)在x1,xn上連續(xù)，由介值定理推論得知，在x1,xn上必有一點(diǎn)，使。例14 證明方程 x=sinx+2至少有一個(gè)不超過(guò)3的正根。分析 若能找到a,b兩點(diǎn)，使，則利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理，可知必有一點(diǎn)(a,b)，使f()=0，就是方程=0的根。本題可取=x-sin