第一 章 函數(shù)、極限與連續(xù)

1、第一 章 函數(shù)、極限與連續(xù)第1-5節(jié)：函數(shù)教學(xué)目的：理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的各種性態(tài)，為研究微積分做好準(zhǔn)備教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)的概念，函數(shù)的各種性態(tài)教學(xué)難點(diǎn)：反函數(shù)、分段函數(shù)的理解教學(xué)內(nèi)容：1. 函數(shù)的定義：設(shè)x和y是兩個(gè)變量，D是一個(gè)給定的數(shù)集，如果對(duì)于給定的每個(gè)數(shù)xD，變量y按照一定法則總有確定的數(shù)值和它對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)y是x的函數(shù)，記作y=f(x)，數(shù)集D叫做這個(gè)函數(shù)的定義域，x叫做自變量，y叫做因變量。y的取值范圍叫函數(shù)的值域。2. 定義域的求法原則（1）分母不為零（2）（3）（4）（5）同時(shí)含有上述四項(xiàng)時(shí)，要求使各部分都成立的交集例1求的定義域解：且 且或 定義域?yàn)?. 分段函數(shù)用兩個(gè)以上表達(dá)

2、式表達(dá)的函數(shù)關(guān)系叫分段函數(shù)如稱(chēng)為分段點(diǎn)4. 反函數(shù)設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?。?duì)于任意的，在上至少可以確定唯一的與對(duì)應(yīng)，且滿(mǎn)足。如果把看作自變量，看作因變量，就可以得到一個(gè)新的函數(shù)：。我們稱(chēng)這個(gè)新的函數(shù)為函數(shù)的反函數(shù)，而把函數(shù)稱(chēng)為直接函數(shù)。由于習(xí)慣上表示自變量，表示因變量，于是我們約定也是直接函數(shù)的反函數(shù)。反函數(shù)與，這兩種形式都要用到應(yīng)當(dāng)說(shuō)明的是函數(shù)與它的反函數(shù)具有相同的圖形。而直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形是關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的。5. 函數(shù)的性質(zhì)（1）有界性若有正數(shù)存在，使函數(shù)在區(qū)間上恒有，則稱(chēng)在區(qū)間上是有界函數(shù)；否則，在區(qū)間上是無(wú)界函數(shù)。（2）單調(diào)性設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的任意兩點(diǎn)，都有（或），則稱(chēng)在區(qū)間上為單調(diào)

3、增加（或單調(diào)減少）的函數(shù)。例如，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)減少的；在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)增加的。而函數(shù)在區(qū)間內(nèi)都是單調(diào)增加的。（3）奇偶性若函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上滿(mǎn)足（或）則稱(chēng)為偶函數(shù)（或奇函數(shù)）。偶函數(shù)的圖形是關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的；奇函數(shù)的圖形是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的。例如，在定義區(qū)間上都是偶函數(shù)。而、在定義區(qū)間上都是奇函數(shù)。（4）周期性對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)非零常數(shù),對(duì)一切的均有，則稱(chēng)函數(shù)為周期函數(shù)。并把稱(chēng)為的周期。應(yīng)當(dāng)指出的是，通常講的周期函數(shù)的周期是指最小的正周期。對(duì)三角函數(shù)而言，都是以為周期的周期函數(shù)，而、則是以為周期的周期函數(shù)。關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)，除了有界性與無(wú)界性之外，單調(diào)性、奇偶性、周期性都是函數(shù)的特殊性質(zhì)，

4、而不是每一個(gè)函數(shù)都一定具備的。6. 基本初等函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)和常數(shù)這6類(lèi)函數(shù)叫做基本初等函數(shù)。這些函數(shù)在中學(xué)的數(shù)學(xué)課程里已經(jīng)學(xué)過(guò)。圖1-1（1）冪函數(shù) 它的定義域和值域依的取值不同而不同，但是無(wú)論取何值，冪函數(shù)在內(nèi)總有定義。當(dāng)或時(shí)，定義域?yàn)椤３Ｒ?jiàn)的冪函數(shù)的圖形如圖1-1所示。（2）指數(shù)函數(shù) 它的定義域?yàn)?，值域?yàn)?。指?shù)函數(shù)的圖形如圖1-2所示（3）對(duì)數(shù)函數(shù) 定義域?yàn)?，值域?yàn)?。?duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。其圖形見(jiàn)圖1-3。在工程中，常以無(wú)理數(shù)e2.718 281 828作為指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底，并且記，而后者稱(chēng)為自然對(duì)數(shù)函數(shù)。（4）三角函數(shù)圖1-3圖1-2三角

5、函數(shù)有正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)、正割函數(shù)和余割函數(shù)。其中正弦、余弦、正切和余切函數(shù)的圖形見(jiàn)圖1-4。圖1-4（5）反三角函數(shù)反三角函數(shù)主要包括反正弦函數(shù)、反余弦函數(shù)、反正切函數(shù)和反余切函數(shù)等它們的圖形如圖1-5所示。6.常量函數(shù)為常數(shù) （為常數(shù)）定義域?yàn)椋瘮?shù)的圖形是一條水平的直線，如圖1-6所示。圖1-5圖1-6 小結(jié)：本節(jié)復(fù)習(xí)了中學(xué)學(xué)過(guò)的各種函數(shù)，應(yīng)該熟記六種基本初等函數(shù)的性態(tài)，為后繼課的學(xué)習(xí)作好準(zhǔn)備作業(yè)：第6-7節(jié)：函數(shù)教學(xué)目的：理解復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的概念教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的概念教學(xué)難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的理解，如何建立函數(shù)關(guān)系教學(xué)內(nèi)容：1. 復(fù)合函數(shù)若，當(dāng)?shù)闹涤蚵湓诘?/p>

6、定義域內(nèi)時(shí)稱(chēng)是由中間變量u復(fù)合成的復(fù)合函數(shù)。例1 可復(fù)合成注意：就不能復(fù)合。例2 可以看作是復(fù)合成的復(fù)合函數(shù)。2. 初等函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)和常數(shù)這6類(lèi)函數(shù)叫做基本初等函數(shù)。這些函數(shù)在中學(xué)的數(shù)學(xué)課程里已經(jīng)學(xué)過(guò)。通常把由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和有限次的復(fù)合步驟所構(gòu)成的并用一個(gè)解析式表達(dá)的函數(shù)，稱(chēng)為初等函數(shù)。例如，都是初等函數(shù)。初等函數(shù)雖然是常見(jiàn)的重要函數(shù)，但是在工程技術(shù)中，非初等函數(shù)也會(huì)經(jīng)常遇到。例如符號(hào)函數(shù)，取整函數(shù)等分段函數(shù)就是非初等函數(shù)。在微積分運(yùn)算中，常把一個(gè)初等函數(shù)分解為基本初等函數(shù)來(lái)研究，學(xué)會(huì)分析初等函數(shù)的結(jié)構(gòu)是十分重要的。3. 建立函數(shù)關(guān)系

7、舉例例3 將直徑為d的圓木料鋸成截面為矩形的木材，試建立矩形截面的兩條邊長(zhǎng)之間的函數(shù)關(guān)系.例4 已知一物體與地面的摩擦系數(shù)是，重量是P.設(shè)有一與水平方向成角的拉力F,使物體從靜止開(kāi)始移動(dòng).求物體開(kāi)始移動(dòng)是拉力F與角之間的函數(shù)關(guān)系.小結(jié)：本節(jié)介紹了復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的概念作業(yè)： 第9-10節(jié)：極限教學(xué)目的：理解極限的概念，理解左右極限的概念，為研究微積分作好工具準(zhǔn)備教學(xué)重點(diǎn)：各種趨勢(shì)下的極限定義，左右極限存在與極限存在的關(guān)系教學(xué)難點(diǎn)：極限概念的理解教學(xué)內(nèi)容：1. 數(shù)列的極限極限概念是由于求某些實(shí)際問(wèn)題的精確解答而產(chǎn)生的。例如，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽（公元3世紀(jì)）利用圓內(nèi)接正多邊形來(lái)推算圓面積的方法割

8、圓術(shù)，就是極限思想在幾何學(xué)上的應(yīng)用。在解決實(shí)際問(wèn)題中逐漸形成的這種極限方法，已成為高等數(shù)學(xué)中的一種基本方法，因此有必要作進(jìn)一步的闡明。先說(shuō)明數(shù)列的概念。如果按照某一法則，有第一個(gè)數(shù)，第二個(gè)數(shù)，這樣依次序排列著，使得對(duì)應(yīng)著任何一個(gè)正整數(shù)有一個(gè)確定的數(shù)，那么，這列有次序的數(shù)就叫做數(shù)列。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的項(xiàng)，第項(xiàng)叫做數(shù)列的一般項(xiàng)。例如：都是數(shù)列的例子，它們的一般項(xiàng)依次為。以后，數(shù)列也簡(jiǎn)記為數(shù)列。如果數(shù)列，當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列的取值能無(wú)限接近常數(shù)a，我們就稱(chēng)a是當(dāng)時(shí)的極限，或者稱(chēng)數(shù)列收斂于，記作或 。如果數(shù)列沒(méi)有極限，就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的。顯然2. 函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限我們知道，當(dāng)時(shí)越來(lái)越接近零。如果函數(shù)

9、當(dāng)無(wú)限增大時(shí)，取值和常數(shù)要多接近就有多接近，此時(shí)稱(chēng)是當(dāng)時(shí)的極限，記作。（當(dāng)）。注：若（1）是唯一的確定的常數(shù)；（2）既表示趨于，也表示趨于。如果時(shí)，取值和常數(shù)要多接近就有多接近，我們稱(chēng)是當(dāng)時(shí)的極限，記作。如果時(shí)，取值和常數(shù)要多接近就有多接近，我們稱(chēng)是當(dāng)時(shí)的極限，記作。顯然，存在的充分必要條件是3. 函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限滿(mǎn)足的的范圍稱(chēng)作以為中心的鄰域，滿(mǎn)足的范圍稱(chēng)作以為中心，以為半徑的去心鄰域，記作。現(xiàn)在考慮自變量的變化過(guò)程為。如果在的過(guò)程中，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限接近于確定的數(shù)值，那么就說(shuō)是函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限。當(dāng)然，這里我們首先假定函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)是有定義的。那么常數(shù)就叫做函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記作或（當(dāng)）

10、。注：若極限存在時(shí)（1）是唯一的確定的常數(shù)；（2）表示從的左右兩側(cè)同時(shí)趨于；（3）極限的存在與在有無(wú)定義或定義的值無(wú)關(guān)。顯然，上述時(shí)函數(shù)的極限概念中，是既從的左側(cè)也從的右側(cè)趨于的。但有時(shí)只能或只需考慮僅從的左側(cè)趨于（記作）的情形，或僅從的右側(cè)趨于（記作）的情形。在的情形，在的左側(cè)，。在的定義中，把改為，那么就叫做函數(shù)當(dāng)時(shí)的左極限，記作或。類(lèi)似地，在的定義中，把改為，那么就叫做函數(shù)當(dāng)時(shí)的右極限，記作或。根據(jù)時(shí)函數(shù)的極限的定義，以及左極限和右極限的定義，容易證明：函數(shù)當(dāng)時(shí)極限存在的充分必要條件是左極限及右極限各自存在并且相等，即。因此，即使和都存在，但若不相等，則不存在。例:函數(shù)圖1-7當(dāng)時(shí)的極限

11、不存在。證 當(dāng)時(shí)的左極限，而右極限，因?yàn)樽髽O限和右極限存在但不相等，所以不存在（圖1-7）小結(jié)：本節(jié)講述了各種趨勢(shì)下的極限的定義和無(wú)窮小、無(wú)窮大的概念作業(yè)： 第11節(jié)：無(wú)窮大與無(wú)窮小教學(xué)目的：理解無(wú)窮小量和無(wú)窮大量的概念，掌握無(wú)窮小量、無(wú)窮大量之間的關(guān)系，掌握它們的性質(zhì)教學(xué)重點(diǎn)：無(wú)窮小量和無(wú)窮大量的概念教學(xué)難點(diǎn)：無(wú)窮小量和無(wú)窮大量有關(guān)性質(zhì)教學(xué)內(nèi)容：1.無(wú)窮大與無(wú)窮小前面我們研究了 數(shù)列的極限、 函數(shù)的極限、 函數(shù)的極限、 函數(shù)的極限、函數(shù)的極限、 函數(shù)的極限、 函數(shù)的極限，這七種趨近方式。下面我們用表示上述七種的某一種趨近方式，即定義1 當(dāng)在給定的下，以零為極限，則稱(chēng)是下的無(wú)窮小量，即。定義2

12、 當(dāng)在給定的下，無(wú)限增大，則稱(chēng)是下的無(wú)窮大量，記作。顯然，時(shí)，都是無(wú)窮大量， 時(shí)，都是無(wú)窮小量。注：無(wú)窮大量、無(wú)窮小量的概念是反映變量的變化趨勢(shì)，因此任何常量都不是無(wú)窮大量，任何非零常量都不是無(wú)窮小，談及無(wú)窮大量、無(wú)窮小量之時(shí)，首先應(yīng)給出自變量的變化趨勢(shì)。關(guān)于無(wú)窮大、無(wú)窮小有如下一些結(jié)論：定理1 在自變量的同一變化過(guò)程（或）中，具有極限的函數(shù)等于它的極限與一個(gè)無(wú)窮小之和；反之，如果函數(shù)可表示為常數(shù)與無(wú)窮小之和，那么該常數(shù)就是這函數(shù)的極限。定理2 在自變量的同一變化過(guò)程中，如果為無(wú)窮大，則為無(wú)窮??；反之，如果為無(wú)窮小，且，則為無(wú)窮大。定理3 有限個(gè)無(wú)窮小的和也是無(wú)窮小。定理4 有界函數(shù)與無(wú)窮小的

13、乘積是無(wú)窮小。推論1 常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小。推論2 有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小。2.無(wú)窮小的比較當(dāng)在給定的趨勢(shì)下，變量、都是無(wú)窮小量，那么，它們誰(shuí)趨近于零的速度更快呢，我們給出如下定義：如果，就說(shuō)是比高階的無(wú)窮小，記作；如果，就說(shuō)是比低階的無(wú)窮小。如果，就說(shuō)是和同階無(wú)窮??；如果，就說(shuō)與是等價(jià)無(wú)窮小，記作。注：求極限過(guò)程中，一個(gè)無(wú)窮小量可以用與其等價(jià)的無(wú)窮小量代替，但只能在因式情況下使用，和、差情況不能用。小結(jié)：本節(jié)給出了無(wú)窮小量和無(wú)窮大量的概念和它們的相關(guān)性質(zhì)，注意不要錯(cuò)誤的利用這些性質(zhì)作業(yè)： 第12節(jié)：極限的運(yùn)算法則教學(xué)目的：掌握極限的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的極限法則教學(xué)重點(diǎn)：掌握不

14、同類(lèi)型的未定式的不同解法教學(xué)難點(diǎn)：計(jì)算教學(xué)內(nèi)容：在給定的趨勢(shì)下，和都存在的情況下，有如下運(yùn)算法則成立1.2.3. =A4.這些極限的運(yùn)算法則在實(shí)際運(yùn)算中未必逐一使用，例如是一目了然的，下面就將幾種常用的方法總結(jié)一下。1. 代入法：直接將的代入所求極限的函數(shù)中去，若存在，即為其極限，若不存在，我們也能知道屬于哪種未定式，便于我們選擇不同的方法。例如，就代不進(jìn)去了，但我們看出了這是一個(gè)型未定式，我們可以用以下的方法來(lái)求解。2. 分解因式，消去零因子法例如，。3. 分子（分母）有理化法例如， 又如，4. 化無(wú)窮大為無(wú)窮小法例如，實(shí)際上就是分子分母同時(shí)除以這個(gè)無(wú)窮大量。由此不難得出又如，（分子分母同除

15、）。再如，（分子分母同除）。5. 利用定理求極限例如，（無(wú)窮小量乘以有界量）。6. 復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算設(shè)函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限存在且等于，即，但在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)，又，則復(fù)合函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限也存在，且小結(jié)：本節(jié)介紹了不同類(lèi)型的未定式的不同解法，要熟練掌握這些方法作業(yè)： 第13節(jié)：極限存在準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限 教學(xué)目的：掌握兩個(gè)極限的存在準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限，掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法教學(xué)重點(diǎn)：利用兩個(gè)重要極限求極限教學(xué)難點(diǎn)：利用第二重要極限求極限的方法教學(xué)內(nèi)容：下面我們來(lái)介紹極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則：1. 準(zhǔn)則1 如果數(shù)列及滿(mǎn)足下列條件：（1），（2）那么數(shù)列的極限存在，且。準(zhǔn)則2 單調(diào)有界數(shù)列必有極

16、限如果數(shù)列滿(mǎn)足條件，就稱(chēng)數(shù)列是單調(diào)增加的；如果數(shù)列滿(mǎn)足條件，就稱(chēng)數(shù)列是單調(diào)減少的。單調(diào)增加和單調(diào)減少的數(shù)列統(tǒng)稱(chēng)為單調(diào)數(shù)列。例 求解： 而 所以原式極限為1。2. 第一個(gè)重要極限：利用收斂準(zhǔn)則1，我們?nèi)菀鬃C得第一個(gè)重要極限（詳見(jiàn)教材）注1 為了更好利用第一個(gè)重要極限求極限，應(yīng)掌握好如下模型：成立的條件是在給定的趨勢(shì)下，兩個(gè)應(yīng)該是一模一樣的無(wú)窮小量。例如，。注2 第一個(gè)重要極限可以解決型，含三角函數(shù)的未定式。自我練習(xí)：（1） （2） （3） （4）2第二個(gè)重要極限： 注1 上述三種形式也可統(tǒng)一為模型成立的條件是在給定趨勢(shì)下，兩個(gè)是一模一樣的無(wú)窮小量。注2 第二個(gè)重要極限解決的對(duì)象是型未定式。例如，

17、自我練習(xí)：（1） （2） （3） （4） （5）小結(jié)：本節(jié)講述了兩個(gè)極限的收斂準(zhǔn)則，兩個(gè)重要極限及利用兩個(gè)重要極限求限的方法，對(duì)無(wú)窮小量進(jìn)行了分類(lèi)作業(yè)：第14節(jié)：函數(shù)的連續(xù)性教學(xué)目的：理解函數(shù)連續(xù)的概念，會(huì)判斷函數(shù)間斷點(diǎn)的類(lèi)型，了解初等函數(shù)的連續(xù)性和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)教學(xué)重點(diǎn)：連續(xù)的定義，間斷點(diǎn)的分類(lèi)教學(xué)難點(diǎn)：連續(xù)的定義，間斷點(diǎn)的分類(lèi)教學(xué)內(nèi)容：1. 函數(shù)的連續(xù)性對(duì)，當(dāng)自變量從變到，稱(chēng)叫自變量的增量，而叫函數(shù)的增量。定義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量的增量趨于零時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)的增量也趨于零，那么就稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)。它的另一等價(jià)定義是：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義

18、，如果函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限存在，且等于它在點(diǎn)處的函數(shù)值，即，那么就稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)。下面給出左連續(xù)及右連續(xù)的概念。如果存在且等于，即，就說(shuō)函數(shù)在點(diǎn)左連續(xù)。如果存在且等于，即，就說(shuō)函數(shù)在點(diǎn)右連續(xù)。在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)，叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)。如果區(qū)間包括端點(diǎn)，那么函數(shù)在右端點(diǎn)連續(xù)是指左連續(xù)，在左端點(diǎn)連續(xù)是指右連續(xù)。連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線。2. 函數(shù)的間斷點(diǎn)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義。在此前提下，如果函數(shù)有下列三種情形之一：（1）在沒(méi)有定義；（2）雖在有定義，但不存在；（3）雖在有定義，且存在，但；則函數(shù)在點(diǎn)為不連續(xù)，而點(diǎn)稱(chēng)為函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)。下面我們來(lái)觀察下述幾個(gè)函數(shù)的曲線在點(diǎn)的情況，給出間斷點(diǎn)的分類(lèi)。 在連續(xù)。 在間斷，極限為2。 在間斷，極限為2。 在間斷，左極限為2，右極限為1。 在 間斷在間斷，極限不存在。像這樣在點(diǎn)左右極限都存在的間斷，稱(chēng)為第一類(lèi)間斷，其中極限存在的稱(chēng)作第一類(lèi)間斷的可補(bǔ)間斷，此時(shí)只要令，則在函數(shù)就變成連續(xù)的了；被稱(chēng)作第一類(lèi)間斷中的跳躍間斷。被稱(chēng)作第二類(lèi)間斷，其中也稱(chēng)作無(wú)窮間斷，而稱(chēng)作震蕩間斷。就一般情況而言，通常把間斷點(diǎn)分成兩類(lèi)：如果是函數(shù)的間斷點(diǎn)，但左極限及右極限都存在，那么稱(chēng)為函數(shù)的第一類(lèi)間斷點(diǎn)。不是第一類(lèi)間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)，稱(chēng)為第二類(lèi)間斷點(diǎn)。在第一類(lèi)間斷點(diǎn)中，左、右極限相等者稱(chēng)為可去