結構振動理論第二講

1、8:44自由度：用來描述振動系統(tǒng)運動狀態(tài)的最少位移(坐標)數(shù)目。自由振動：系統(tǒng)受初始擾動(初始位移與初始速度)后，僅靠彈性恢復力維持的振動。 若不計阻尼，系統(tǒng)的自由振動是等幅的簡諧振動，它是振動的一種最基本的形態(tài)，簡稱諧振動。第二章 單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)自由振動 若考慮阻尼時，振動系統(tǒng)的運動可能呈現(xiàn)兩種形式，振動與非振動;只有阻尼低于臨界阻尼時，系統(tǒng)才會發(fā)生自由振動;有阻尼自由振動的振幅是按指數(shù)規(guī)律衰減。單自由度系統(tǒng)自由振動8:44單自由度系統(tǒng)自由振動2.1 單自由度系統(tǒng)自由振動通解 x=Bsinpt+Dcospt0 kxxm 振動方程：（建立坐標系，受力分析，牛頓第二定律建立平衡

2、方程）二階常系數(shù)線性齊次常微分方程假定初始條件：0)0(xx0)0(xxptxptpxxcossin00可得自由振動響應公式：記：kxmptDpptBpxsincos無阻尼單自由度系統(tǒng)x0kmxlo22nmkp)arctan()(002020 xpxpxxA)sin(ptAx02xpx 簡諧振動的三要素：振幅、頻率、相位(初相角)sin,cos00AxApx令8:44自由振動的特征方程自由振動的特征方程 單自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動微分方程為:0 kxxm 該方程的解結構為stXex , 代入上式有00)(0222kmsXekmskXemXesststst02kms這個以s為變量的 代數(shù)方程稱

3、為原微分方程的特征方程。顯然該特征方程的解為njmkjmks/n即為系統(tǒng)的固有圓頻率，固有頻率為2nnf單自由度系統(tǒng)自由振動8:44根據(jù)以上特征根，就可以得到原方程的2個特征解 及 tjne由此可以構造微分方程的通解為 tjtjnneXeXx21利用歐拉公式： jeeteetjtjtjtjt2sin,2cos同樣可以得到如下結構的通解： tDcostBsinxnn同理利用初始條件可以得到用三角正弦函數(shù)表示的解： )arctan()(002020 xxxxAnn)sin(tAxn單自由度系統(tǒng)自由振動tjne式中X1 ,X2為任意常數(shù),因x為實數(shù),故X1, X2必為共軛復數(shù)tXXjtXXxnnsi

4、n)(cos)(21218:44mkn稱為固有振動圓頻率 (單位：弧度/秒 rad/s)自由振動響應：)sin(tAxn)arctan()(002020 xxxxAnn 振幅 初相角諧振動重復一次所需的時間，稱為固有周期 (單位：秒 s)kmTn22固有頻率：單位時間內(nèi)振動重復的次數(shù) (單位：赫茲 Hz)Tmkfn1212單自由度系統(tǒng)自由振動8:44單自由度系統(tǒng)自由振動簡諧振動的三要素：振幅、頻率、相位固有頻率：自由振動的頻率僅決定于系統(tǒng)慣性與彈性，是系統(tǒng)的固有振動特性常力對振動方程的影響0)(kxxmxkFxmkF 靜變形 當以質量的靜平衡位置為原點時，可以不考慮常力和由其產(chǎn)生的彈簧靜變形的

5、影響。常力對系統(tǒng)的固有振動特性沒有影響。以靜平衡位置為坐標原點FxkmXlo8:44單自由度系統(tǒng)自由振動2.2 能量法能量法無阻尼系統(tǒng)自由振動中任一時刻的機械能為常值,機械能守恒。常數(shù)EEEpk222121Ekxxm無阻尼系統(tǒng)的機械能無阻尼系統(tǒng)的機械能()0dEm xxkxxdtx m xkx 說明無阻尼系統(tǒng)的機械能在振動過程中不耗散，為一常數(shù)。tx(tx(t) )A A-A-A 0 T T 初位移初位移振動響應圖示EEEpkmaxmax8:44由機械能守恒，有如下兩個應用：由機械能守恒，有如下兩個應用：0dtdEEEEpkmaxmax由1、求出運動方程：由2、求固有頻率單自由度系統(tǒng)自由振動0

6、 kxxm )sin(ptAx假設則)cos(ptApx 22max21pmAEk2max21kAEp因此有2222121kApmAmkp2有常力作用的機械能：2211E()22mxkxFx()()0dEmxxkx xFxx mxkxdt得8:44單自由度系統(tǒng)自由振動例題: 下圖所示的是用于測定低頻振動振幅的傳感器中的一個元件(無定向擺)。剛桿OA長為l鉸支在O點, A端固定一小球，重為W?？縿偠认禂?shù)為k的彈簧支撐在鉛垂面內(nèi)，彈簧離O點的距離是a。求擺在鉛垂面內(nèi)維持穩(wěn)定的微幅振動的條件和它的固有頻率。略去剛桿和彈簧的質量。 kOAWlaOAlaBB8:44解： 這是一個單自由度系統(tǒng)，取擺振角來

7、描述系統(tǒng)位移形態(tài)。小球的速度是l則它的動能是： 2)(21lgWT 小球下降的距離是221)cos1 (ll依小幅振動假設，彈簧伸長量是 a則系統(tǒng)的勢能是 2221)(21WlakU總機械能是 UTE0dtdE有振動微分方程 :0)(22WlkalgW 于是系統(tǒng)的固有頻率是 ) 1(2Wlkalgn12Wlka系統(tǒng)的固有頻率才是實數(shù)，這就是穩(wěn)定振動的條件。 單自由度系統(tǒng)自由振動kOAWlaOAlaBB8:442.3 2.3 單自由度系統(tǒng)的等效處理單自由度系統(tǒng)的等效處理(1)單自由度扭擺系統(tǒng) 假定盤和軸都為均質體，扭盤為剛性，求系統(tǒng)的自由扭擺振動的固有頻率。a)剛度的等效處理（按振動的變形模式進

8、行等效） 設扭矩T作用在盤面，此時圓盤產(chǎn)生一角位移，根據(jù)材料力學可知 GITl式中G為剪切模量；I I為截面極慣性矩， 324dI 定義軸的扭轉剛度為lGITkTd為軸的直徑。單自由度系統(tǒng)自由振動b)慣性項的等效處理（按動能等效進行折算）剛性圓盤的轉動慣量為J;單位長度軸的轉動慣量為u,總J1=ul 取軸的靜扭轉變形模式作為假設振動模式，則軸上任意一個微元的動能為 ,軸的總動能為dxlxu2)(2121202)3(21321)(21Juldxlxul因此系統(tǒng)的總動能 22121)3(21TkJJJETTnJk8:44(2) 簡支梁橫向振動 假設系統(tǒng)的質量全部等效集中在梁的中部,且假定為me,取

9、梁的中部撓度為系統(tǒng)的位移 則 EIPl483為梁截面的抗彎剛度 EI定義簡支梁等效剛度 348lEIPke則系統(tǒng)的自由振動方程為: 0eekm 振動固有頻率為: eenmk 需要注意的是，me不是梁的總質量，它可以通過梁上各點位移關系和動能等效的原則獲得。單自由度系統(tǒng)自由振動8:44單自由度系統(tǒng)自由振動例 鉸接式直升機旋翼揮舞振動分析揮舞 鉸RLcosdR)cos(2簡化假設：1 旋翼簡化成長L的剛性細桿，鉸支于揮舞鉸；2 轉子轉速為常數(shù)；3 重力對旋翼的作用可略去不計 以固連于轉子的旋轉坐標系為基準來考察旋翼相對運動，以揮舞角描述)sin)()cos(2dR)32()cos32(sin)co

10、s(sin222202LRLLLRLLdRL0)32(3L222LRL LRp231 取微元做受力分析，微元離心力對鉸鏈軸o的力矩為離心力矩總合為：均勻細桿繞o軸的轉動慣量J=L3/3，由動量矩定理可得：揮舞共振的固有頻率為：8:44 如果系統(tǒng)內(nèi)有多個彈性元件，為簡化振動分析，可用其總剛度(又稱等效剛度)表示其彈性特征。 并聯(lián)串聯(lián)外力f的作用下，兩個彈簧變形均為各自受的力為:11kf 22kf 合力關系 )(2121kkfff總等效剛度系數(shù)為 21kkfk串聯(lián)彈簧的變形分別為1211kfuu2322kfuu總變形 212131kfkfuu等效剛度 212121)/1/1 (1kkkkkkfk 由此可見，彈性元件并聯(lián)將提高總剛度，串聯(lián)將降低總剛度。這與電學中電阻的并聯(lián)、串聯(lián)結論是相反的。阻尼器串聯(lián)或并聯(lián)后，總阻尼系數(shù)類似于總剛度