《拉格朗日插值》ppt課件

1、 插值的基本概念，插值多項(xiàng)式的存在唯一性；插值的基本概念，插值多項(xiàng)式的存在唯一性； LagrangeLagrange插值插值( (含線性插值、拋物插值、含線性插值、拋物插值、n n次次LagrangeLagrange插值公式）；插值公式）； 插值余項(xiàng)；插值余項(xiàng)； 插值方法：（插值方法：（1 1）解方程組、（）解方程組、（2 2）基函數(shù)法。）基函數(shù)法。 設(shè)已知某個(gè)函數(shù)關(guān)系設(shè)已知某個(gè)函數(shù)關(guān)系 在某些離散點(diǎn)上的在某些離散點(diǎn)上的函數(shù)值：函數(shù)值：根據(jù)這些已知數(shù)據(jù)來(lái)構(gòu)造函數(shù)：根據(jù)這些已知數(shù)據(jù)來(lái)構(gòu)造函數(shù) 的一種簡(jiǎn)單的近似表達(dá)式的一種簡(jiǎn)單的近似表達(dá)式, ,以便于計(jì)算以便于計(jì)算點(diǎn)點(diǎn) 的函數(shù)值的函數(shù)值 ，或計(jì)算函

2、數(shù)，或計(jì)算函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)值。的一階、二階導(dǎo)數(shù)值。( )f xx0 x0yy1y1nyny1x1nxnx,0,1,ixx in( )yf x( )yf x多項(xiàng)式插值定義多項(xiàng)式插值定義 在眾多函數(shù)中在眾多函數(shù)中,多項(xiàng)式最簡(jiǎn)單、最易計(jì)算，已知函數(shù)多項(xiàng)式最簡(jiǎn)單、最易計(jì)算，已知函數(shù) 個(gè)互不相同的點(diǎn)處的函數(shù)值個(gè)互不相同的點(diǎn)處的函數(shù)值 ，為求，為求 的近似式，自然應(yīng)當(dāng)選的近似式，自然應(yīng)當(dāng)選 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式n使使 滿足條件滿足條件( )1yf xn在nixfyii, 1 ,0),()(xfy 2012( )nnnP xaa xa xa x( ),0, 1,niiP xyin0,111( ),( ),(

3、33),1(,)(0,1, )( ),( )nnnf xpxx xxnxyinypxyf x稱為被插函數(shù)稱插值多項(xiàng)式 條件稱插值條件稱插值節(jié)點(diǎn) 這種求函數(shù)近似式的方法稱為插值法幾何上 其實(shí)質(zhì)是用通過(guò)個(gè)點(diǎn)的多項(xiàng)式曲線當(dāng)作曲線的近似曲線.如圖所示)(xPn插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式的幾何意義的幾何意義定理：定理：(唯一性唯一性) 滿足滿足 的的 n 階插值階插值niyxPii,., 0,)( 多項(xiàng)式是唯一存在的。多項(xiàng)式是唯一存在的。存在唯一性定理證明存在唯一性定理證明設(shè)所要構(gòu)造的插值多項(xiàng)式為：設(shè)所要構(gòu)造的插值多項(xiàng)式為： nnnxaxaxaaxP 2210)(由插值條件由插值條件 niyxPiin, 1,

4、 0)( 得到如下線性代數(shù)方程組：得到如下線性代數(shù)方程組： nnnnnnnnnyaxaxayaxaxayaxaxa101111000100111存在唯一性定理證明存在唯一性定理證明( (續(xù)續(xù)) )此方程組的系數(shù)行列式為此方程組的系數(shù)行列式為 nijjixx0)(范得蒙行列式范得蒙行列式 ！當(dāng)當(dāng) jixx 時(shí)時(shí)， ;, 2 , 1ninj, 2 , 1D 0， 因此，因此，P Pn n( (x x) )由由a a0 0, , a a1 1, , a an n唯一確定。唯一確定。nnnnnnxxxxxxxxxD212110200111 一、解方程組法：一、解方程組法： 類似插值唯一性定理證明過(guò)程，

5、先設(shè)插值多項(xiàng)式函類似插值唯一性定理證明過(guò)程，先設(shè)插值多項(xiàng)式函數(shù)為數(shù)為 ，將，將 個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值代入多項(xiàng)式里，便得到的函數(shù)值代入多項(xiàng)式里，便得到 個(gè)等式，得到一個(gè)個(gè)等式，得到一個(gè)關(guān)于多項(xiàng)式里系數(shù)的線性方程組，解此線性方程組，便得關(guān)于多項(xiàng)式里系數(shù)的線性方程組，解此線性方程組，便得到所要求的插值多項(xiàng)式。到所要求的插值多項(xiàng)式。二、基函數(shù)法：一種既能避免解方程組，又能適合于計(jì)算機(jī)二、基函數(shù)法：一種既能避免解方程組，又能適合于計(jì)算機(jī)求解的方法，下面將具體介紹。求解的方法，下面將具體介紹。nnnxaxaxaaxP 2210)(1n1n拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式 拉格朗日（拉格朗日（Lagrang

6、eLagrange）插值公式的基本思想是，）插值公式的基本思想是，把把p pn n( (x x) )的構(gòu)造問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的構(gòu)造問(wèn)題轉(zhuǎn)化為n+1n+1個(gè)插值基函數(shù)個(gè)插值基函數(shù)l li i(x)(i=0,1,n)(x)(i=0,1,n)的構(gòu)造。的構(gòu)造。 x0 x1(x0 ，y0)(x1，y1)P1(x)f(x)可見可見 是過(guò)是過(guò) 和和 兩點(diǎn)的直線。兩點(diǎn)的直線。拋物插值函數(shù)拋物插值函數(shù)x0 x1x2p2(x) f(x)f(x)因過(guò)三點(diǎn)的二次曲線為拋物線，故稱為拋物插值。因過(guò)三點(diǎn)的二次曲線為拋物線，故稱為拋物插值。 nnnxaxaaxP 10)(要求：無(wú)重合節(jié)點(diǎn)，即要求：無(wú)重合節(jié)點(diǎn)，即jixx ji 設(shè)連

7、續(xù)函數(shù)設(shè)連續(xù)函數(shù) 在在a, ba, b上對(duì)給定上對(duì)給定n n + 1 + 1個(gè)不同結(jié)點(diǎn)：個(gè)不同結(jié)點(diǎn)：分別取函數(shù)值分別取函數(shù)值其中其中試構(gòu)造一個(gè)次數(shù)不超過(guò)試構(gòu)造一個(gè)次數(shù)不超過(guò)n n的插值多項(xiàng)式的插值多項(xiàng)式使之滿足條件使之滿足條件 i = 0, 1, 2, niinyxP )( )yf x 已知函數(shù)已知函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 上的值為上的值為 ，要，要求多項(xiàng)式求多項(xiàng)式 ，使，使 ， 。其幾何。其幾何意義，就是通過(guò)兩點(diǎn)意義，就是通過(guò)兩點(diǎn) 的一條直線，的一條直線，如圖所示。如圖所示。01,x x0011(,), (,)A xyB x y( )yf x01,yy100()p xy1( )yp x111()p x

8、y一次插值多項(xiàng)式一次插值多項(xiàng)式 由直線兩點(diǎn)式可知，通過(guò)由直線兩點(diǎn)式可知，通過(guò)A，B的直線方程為的直線方程為 它也可變形為它也可變形為 顯然有：顯然有：1000110( )yyyyxxp xxx010110100)(,)(xxxxxlxxxxxl記記可以看出可以看出的線性組合得到，其系數(shù)分別為的線性組合得到，其系數(shù)分別為 ，0y1y01( ), ( )lx l x0 x1x稱稱 為節(jié)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn) , 的線性插值基函數(shù)的線性插值基函數(shù)1001( )xxlxxx0110( )xxl xxx011010110( )xxxxL xyyxxxx線性插值基函數(shù)線性插值基函數(shù)滿足下述條件滿足下述條件01( ),

9、( )lx l x1001ix0 x1x0( )lx1( )l x并且他們都是一次函數(shù)。并且他們都是一次函數(shù)。注意他們的特點(diǎn)對(duì)下面的推廣很重要注意他們的特點(diǎn)對(duì)下面的推廣很重要 我們稱我們稱 為點(diǎn)為點(diǎn) 的一次插值基函數(shù)，的一次插值基函數(shù)， 為點(diǎn)為點(diǎn) 的一次插值基函數(shù)。它們?cè)趯?duì)應(yīng)的插值點(diǎn)上取的一次插值基函數(shù)。它們?cè)趯?duì)應(yīng)的插值點(diǎn)上取值為值為1 1，而在另外的插值點(diǎn)上取值為，而在另外的插值點(diǎn)上取值為0 0。插值函數(shù)。插值函數(shù) 是這兩個(gè)插值基函數(shù)的線性組合，其組合是這兩個(gè)插值基函數(shù)的線性組合，其組合系數(shù)就是對(duì)應(yīng)點(diǎn)上的函數(shù)值。這種形式的插值稱系數(shù)就是對(duì)應(yīng)點(diǎn)上的函數(shù)值。這種形式的插值稱作為拉格朗日（作為拉格

10、朗日（LagrangeLagrange）插值。）插值。0( )lx1( )l x0 x1( )p x1x 線性插值只利用兩對(duì)值及求得的線性插值只利用兩對(duì)值及求得的 近似值，誤差較大。近似值，誤差較大。 p2(x)是是x的二次函數(shù)，稱為二次插值多項(xiàng)式。的二次函數(shù)，稱為二次插值多項(xiàng)式。通過(guò)三點(diǎn)的插值問(wèn)題稱為二次插值或拋物插值。通過(guò)三點(diǎn)的插值問(wèn)題稱為二次插值或拋物插值。012,x x x以過(guò)節(jié)點(diǎn)以過(guò)節(jié)點(diǎn) 的二次函數(shù)的二次函數(shù)為插值函數(shù)。為插值函數(shù)。2( )L x用基函數(shù)的方法獲得用基函數(shù)的方法獲得2( )L x其中其中1200102()()( )()()xxxxlxxxxx0211012()()(

11、)()()xxxxl xxxxx0122021()()( )()()xxxxlxxxxx( ,)(0,1,2)iix yi 設(shè)被插函數(shù)在插值節(jié)點(diǎn)設(shè)被插函數(shù)在插值節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值為處的函數(shù)值為012,yy y20 01 12 2( )( )( )( )L xy lxy l xy lx 我們看到，兩個(gè)插值點(diǎn)可求出一次插值多項(xiàng)式我們看到，兩個(gè)插值點(diǎn)可求出一次插值多項(xiàng)式，而三個(gè)插值點(diǎn)可求出二次插值多項(xiàng)式。，而三個(gè)插值點(diǎn)可求出二次插值多項(xiàng)式。當(dāng) 插 值 點(diǎn) 增 加 到當(dāng) 插 值 點(diǎn) 增 加 到 n + 1 個(gè) 時(shí) ， 我 們 可 以 利 用個(gè) 時(shí) ， 我 們 可 以 利 用Lagrange插值方法寫出插值

12、方法寫出n次插值多項(xiàng)式，如次插值多項(xiàng)式，如下所示：下所示：已知已知n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值個(gè)節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值iy0y1yixnx0 x1xny求一個(gè)求一個(gè)n次插值函數(shù)次插值函數(shù)( )nL x滿足滿足( )(1,2, )niL xyin構(gòu)造各個(gè)插值節(jié)點(diǎn)上的基函數(shù)構(gòu)造各個(gè)插值節(jié)點(diǎn)上的基函數(shù) 滿足如下條件滿足如下條件( )(0,1, )il xin1000010000010 xix1x2xnx0( )lx1( )l xn( )lx求求n n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 ， k k = 0, 1, = 0, 1, n n ikikxlik, 0, 1)(iinkkkinyxlyxP )()(1則則 i = 0, 1,

13、 2, n即即 滿足插值條件滿足插值條件 根據(jù)根據(jù) 的表達(dá)式，的表達(dá)式， 以外所有的結(jié)點(diǎn)都是以外所有的結(jié)點(diǎn)都是 的根，的根，( )klx( )klx( )klxkx( )npx0111( )()()()()()kkknlxxxxxxxxxxx nkjjjxx0)( 又由又由 ，得：，得： )()()(11110nkkkkkkkxxxxxxxxxx 因此令因此令()1kklxknknkjjjkjknkknyxxxxyxlxP 000)()()()()()()()()(11101110nkkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl nkjjjkjxxxx0從而得從而得n n

14、階拉格朗日（階拉格朗日（LagrangeLagrange）插值公式：）插值公式：)1( nf在在a , b內(nèi)存在內(nèi)存在, 考察截?cái)嗾`差考察截?cái)嗾`差( )( )( )nnR xf xL x設(shè)節(jié)點(diǎn)設(shè)節(jié)點(diǎn), baCfn bxxxan 10，且，且 f 滿足條件滿足條件 ,0)( 0)()(10 xx ),(10 xx 存在存在 使得使得 。且且推廣：若推廣：若0)()()(210 xxx ),(),(211100 xxxx 使得使得0)()(10 ),(10 使得使得0)( )(x 10, xx),(10 xx羅爾定理羅爾定理 : 若若 在在 連續(xù)，在連續(xù)，在 充分光滑，充分光滑，注：注： 通常不能

15、確定通常不能確定 x , 而是估計(jì)而是估計(jì) , x (a,b) 將將 作為誤差估計(jì)上限。作為誤差估計(jì)上限。1)1()( nnMxf niinxxnM01|)!1( 當(dāng)當(dāng) f(x) 為任一個(gè)次數(shù)為任一個(gè)次數(shù) n 的多項(xiàng)式時(shí)，的多項(xiàng)式時(shí)， , 可知可知 ，即插值多項(xiàng)式對(duì)于次數(shù)，即插值多項(xiàng)式對(duì)于次數(shù) n 的的多項(xiàng)多項(xiàng)式是精確的。式是精確的。0)()1( xfn0)( xRn例：例： 已知特殊角已知特殊角 處的正弦函數(shù)值處的正弦函數(shù)值123,222分別為分別為求正弦函數(shù)的一次、二次插值多項(xiàng)式，并用求正弦函數(shù)的一次、二次插值多項(xiàng)式，并用插值函數(shù)近似計(jì)算插值函數(shù)近似計(jì)算 ，并估計(jì)誤差，并估計(jì)誤差解：一次插值函數(shù)為解：一次插值函數(shù)為,6 4 3 11264( )226446xxL x5sin18誤差為誤差為1( )sin( )()()()()2!64264fR xxxxx在所求點(diǎn)的函數(shù)值為在所求點(diǎn)的函數(shù)值為155sin()0.776141818L誤差為誤差為15( ) 55()()()182!186184fR(,)6 3 知知150.00762()0.0131918R 二次插值多項(xiàng)式為二次插值多項(xiàng)式為2()()()()()()123436364( )222()()()()()()6