圓的培優(yōu)專題(含解答)

1、圓的培優(yōu)專題1與圓有關(guān)的角度計算一運用輔助圓求角度1、如圖，ABC內(nèi)有一點D,DA=DB=DC,若DAB=20,DAC=30,則BDC=.(BDC=-2BAC=100)2、如圖,AE=BE=DE=BC=DC,若C=100，貝UBAD=.(50)3、如圖，四邊形ABCD中，AB=AC=AD,CBD=20,BDC=30,貝UBAD=.(BAD=BAC+CAD=40+60=100)第1題第2題第3題解題策略：通過添加輔助圓，把問題轉(zhuǎn)化成同弧所對的圓周角與圓心角問題，思維更明朗!4、如圖，DABCD中，點E為AB、BC的垂直平分線的交點，若D=60,貝UAEC=.(AEC=2B=2D=120)5、如圖

2、，。是四邊形ABCD內(nèi)一點，OA=OB=OC,ABC=ADC=70,貝UDAO+DCO=.(所求=360ADC-AOC=150)6、如圖，四邊形ABCD中，ACB=ADB=90,ADC=25,貝UABC=(ABC = ADC = 25 )第4題第5題第6題解題策略：第6題有兩個直角三角形共斜邊，由直角所對的弦為直徑，易得到運用圓周角和圓心角相互轉(zhuǎn)化求角度ACBD共圓.ADC =8、如圖，AB為。的直徑,CD過OA的中點E并垂直于OA,則ABC =9、如圖，AB為。O的直徑，BC 3AC ,則ABC =11、 150 ;12、 110答案：7、45 ;8、30 ;9、22.5 ;10、407、如

3、圖，ab為。的直徑，c為Ab的中點，d為半圓Ab上一點，則解題策略：以弧去尋找同弧所對的圓周角與圓心角是解決這類問題的捷徑!10、如圖，AB為。的直徑，點C、D在。0上，BAC=50,則ADC=11、如圖，OO的半徑為1,弦AB=J2,弦AC=J3,則BOC=.12、如圖，PAB、PCD是。的兩條割線，PAB過圓心。，若ACCD,P=30,則 BDC =.（設(shè) ADC = X ,即可展開解決問題）解題策略：在連接半徑時，時常會伴隨出現(xiàn)特殊三角形一一等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形或等邊三角形，是解題的另一個關(guān)鍵點!圓的四接四邊形的外角等于內(nèi)對角，是一個非常好用的一個重要性質(zhì)!圓的培優(yōu)專題

4、2與垂徑定理有關(guān)的計算1、如圖，AB是。的弦，ODAB,垂足為C,交。于點D,點E在。上，若BED=30,。的半徑為4,則弦AB的長是.略解：.ODAB，.二AB=2AC,且ACO=90,BED=30,1.AOC=2BED=60OAC=30,OC=JOA=2,則AC=2百，因此AB=4«.2、如圖，弦AB垂直于。O的直徑CD,OA=5,AB=6,則BC=1略解：直徑CD弦AB,AE=BE=2AB=3OE=舊3r4,則CE=5+4=9 .BC=J92 323而第1題第2題第3題3、如圖，O O的半徑為2而，弦ABCD,垂足為 P, AB = 8, CD = 6,則 OP=略解：如圖，過

5、點O作OEAB,OFCD,連接OB,OD.貝UBE=2AB=4,DF=2CD=3,且OB=OD=2x/5OE=J(2兩2422,OF=7(275)232布又ABCD,則四邊形OEPF是矩形，則OP=,22(11)2:行4、如圖，在。內(nèi)，如果OA=8,AB=12,A=B=60，則。O的半徑為略解：如圖，過點。作ODAB,連接OB,則AD=2AB=4,因此，BD=8,OD=4，3OB=7(4V3)2824幣.5、如圖，正ABC內(nèi)接于。O,D是。O上一點，DCA=15,CD=10,則BC=略解：如圖，連接OC,OD,貝UODC=OCDABC為等邊三角形，則OCA=OCE=30,ODC=OCD=45.

6、OCD是等腰三角形，則OC=5我過點。作OE BC,則BC=2CE= 5庭第4題第5題第6題6、如圖，O O的直徑AB =4, C為AB的中點，E為OB上一點， AEC = 60 , CE的延長線交。于點D ,則CD =略解：如圖，連接 OC,則OC=2. C 為 Ab 的中點，則 OC AB ,又 AEC = 60 , /. OCE=30，一 一 ,1如圖，過點 O 作 OF CD,則 OF=2OC=1, CF =7、如圖，A地測得臺風中心在城正西方向300千米的B處,并以每小時10J7千米的速度沿北偏東 60的BF方向移 動，距臺風中心200千米范圍內(nèi)是受臺風影響的區(qū)域 .問：A地是否受到

7、這次臺風的影響？若受到影響，請求 出受影響的時間？解：如圖，過點 A作AC BF交于點C,小，.= CD = 2CF= 2>/31 ，一一，、，ABF = 30 ,則AC = 2 AB= 150 200,因此 A地會受到這次臺風影響;如圖，以A為圓心200千米為半徑作。A交BF于D、E兩點，連接AD ,則 DE = 2CD = 2 也002 1502100/7,所以受影響的時間為10。" 10J7 10 (時)圓的培優(yōu)專題3圓與全等三角形1、如圖，O O的直徑AB = 10,弦AC = 6,ACB的平分線交。于D,求CD的長.解：如圖，連接 AB , BD ,在CB的延長線上截

8、取 BE=ACACD = BCD , AD = BD又 CAD = EBD , AC = BECADA EBD (SAS) .CD = DE, ADC = BDE AB 為。O 的直徑，則 ACB = ADB =90 -BC= 7w262 8; ADC + CDB = CDB + . CDE是等腰直角三角形且 CE=14, CD= 7衣BDE = 90 ，即 CDE = 902、如圖，AB是。O的直徑，C是半圓的中點,MA = MD ,若 CM = J2 ,求 BD 的長.M、D分別是CB及AB延長線上一點，且解：如圖，連接AC,則AC=BC,C=90,即ABC是等腰直角三角形過點M作MN/A

9、D,則NMA=MAD則CMN也是等腰直角三角形，則MN=J2CM=2ANC=MBD=135,又MA=MD,.1.D=NMA=MADAMNBMD(AAS).BD=MN=23、如圖，AB為。O的直徑，點N是半圓的中點，點C為AN上一點，NC=J3.求BCAC的值.解：如圖，連接AN,BN,則4ABN是等腰直角三角形在BC上截取BD=AC,連接DN.AN=BN,CAN=DBN,AC=BDACNABDN(SAS)，CN=DN,CNA=DNB,CND=CNA+AND=ADN+DNB=90，即CND是等腰直角三角形.cd=>/2nc=76,BCAC=BCBD=CD=764、如圖，點A、B、C為。上三

10、點，Ac?c,點M為？C上一點，CEAM于E,AE=5,ME=3,求BM的長.C解：如圖，在AM上截取AN=BM,連接CN,CM./一左、Ac?C,.AC=BC,又A=BACNBCM(SAS)/VEV".CN=CM,又CEAMJJB.NE=ME=3,.BM=AN=AE-NE=25、如圖，在。中，P為?AC的中點，PDCD,CD交。O于A,若AC=3,AD=1,求AB的長.解：如圖，連接BP、CP,則BP=CP,B=C/p過點P作PEAB于點E,又PDCD"二BEP=CDP0DBEPACDP(AAS)L日,-.BE=CD=3+1=4,PE=PD連接AP,貝URtAAEPRtA

11、ADP(HL),貝UAE=AD=1.AB=AE+BE=56、如圖，AB是O的直徑，MN是弦,AEMN于E,BFMN于F,AB=10,MN=8.求BFAE的值.iVJ解：AEMN,BFMN,貝UAE/BF,A=B/，如圖，延長EO交BF于點G,貝UAOE=BOG,AO=BOAOEABOG(AAS),貝UOE=OG過點。作OHMN,FG=2OH,HN=4連接ON,則ON=5,OH=75242-3,則BGAE=FG=6.圓的培優(yōu)專題4圓與勾股定理1、如圖，O。是4BCN的外接圓，弦ACBC,點N是Ab的中點，BNC=60,八BN士求BC的值.解：如圖，連接AB,則AB為直徑，BNA=90BN = A

12、B ；又 BAC = BNC = 60，BC=AB，BN _ . 6 BC =（方法2,過點B作BD CN,即可求解）連接AN，則BN=AN,則4ABN是等腰直角三角形CAD = 45 ,2、如圖，O O的弦ACBD,且AC=BD,若AD=2五,求。O半徑.解：如圖，作直徑AE,連接DE,則ADE=90又ACBD,則ADB+DAC=ADB+EDB=90dac=edb,則Cd?e，.二De?c, AC=BD,AcCd,則AdBcDe .AD=DE,即AADE是等腰直角三角形 .AE=J2aD=4,即。的半徑為23、如圖，AB為。O的直徑，C為。O上一點，D為CB延長線上一點，且CEAB于點E,D

13、FAB于點F.(1)求證：CE=EF;(2)若DF=2,EF=4,求AC.(1)證：:AB為。的直徑，CAD=45,則4ACD是等腰直角三角形，即AC=DC又CEAB,貝UCAE=ECB如圖，過點C作CG垂直DF的延長線于點G又CEAB,DFAB,則四邊形CEFG是矩形，AEC=DGC=90 .EF=CG,CE/DG,貝UECB=CDG=CAE .ACEQDCG(AAS),貝UCE=CG=EF(2)略解：AC=CD=2622而.4、如圖，AB為。O的直徑，CDAB于點D,CD交AE于點F,AcCe.(1)求證：AF=CF;(2)若。的半徑為5,AE=8,求EF的長(1)證：如圖，延長CD交。O

14、于點G,連接AC .直徑abcg,則AgAcCeCAE=ACG,則AF=CF(2)解：如圖，連接OC交AE于點H,則OCAE,OH=店423,則CH=5-3=2設(shè)HF=X,則CF=AF=4-X2-2,、23r3則x2(4x),x,即HF=一2211EF=一25、如圖，在。O中，直徑CD 弦AB于E, AMBC于M ,交CD于N,連接AD.(1)求證：AD =AN ;(2)若 AB = 4& , ON = 1,求。O 的半徑.(1)證：: CD AB , AM BCC+ CNM = C+ B=90B= CNM ,又 B= DAND = CNMD=AND,即AD=AN(2)解：二.直徑CD

15、弦AB,則AE=2J2又AN=AD,貝UNE=ED如圖，連接OA,設(shè)OE=X，則NE=ED=x1.-.OA=OD=2x1.x2(272)2(2x1)2,則x1OO的半徑OA=3圓的培優(yōu)專題5圓中兩垂直弦的問題BOC =1801、在。中，弦ABCD于E,求證：AOD+證：如圖，連接AC, ABCD,則CAB+ACD=90又AOD=2ACD,BOC=2BACAOD+BOC=180.2、在。O中，弦ABCD于點巳若。O的半徑為R,求證：AC2+BD2=4R2.證：.ABCD,則CAB+ACD=90如圖，作直徑AM,連接CM則ACM=ACD+DCM=90CAB=DCM, BCDMCm?d,.CM=BD

16、 ，ac2+cm2=am2.AC2+BD2=4R23、在。O中，弦ABCD于點E,若點M為AC的中點，求證MEBD.證：如圖，連接ME,并延長交BD于點F.ABCD,且點M為AC的中點 .ME為RtAAEC斜邊上的中線.AM=MEA=AEM=BEF又B=C,A+C=90BEF+B=90,即BFE=90 .MEBD.4、在。中，弦ABCD于點E,若ONBD于N,求證：ON=1AC.2證：如圖，作直徑BF,連接DF,貝UDFBD,又ONBD, .ON/FD,又OB=OF.ON=1DF2連接AF，則AFAB,又CDAB .AF/CDAcFD,則AC=FD.ON=1AC25、在。中，弦ABCD于點E,

17、若AC=BD,ONBD于N,OMAC于M.D(1)求證：ME/ON;(2)求證：四邊形OMEN為菱形.證：(1)如圖，延長ME交OD于點FAB CD,則ME為RtAACE的斜邊上中線.OMAC,則點M為AC的中點AM=EMA=AEM=BEF又B=C,A+C=90B+BEF=90,貝UBFE=90MFBD,又ONBDMF/ON(2)由(1)知MF/ON,同理可證OM/NE,四邊形OMEN是平行四邊形,.AC=BD,.1.OM=ON四邊形OMEN為菱形.圓的培優(yōu)專題6圓與內(nèi)角（外角）平分線一圓與內(nèi)角平分線問題往往與線段和有關(guān)，實質(zhì)是對角互補的基本圖形1、如圖，O。為ABC的外接圓，弦CD平分ACB

18、,ACB=90.求證：ca+cb=V2cd.證：如圖，在CA的延長線上截取AE=BC,連DE,AD,BD.CD平分ACB,AD=BDA又DAE=DBC,AE=BC/*DAEADBC(SAS)”二rI.CD=DE,又ACD=45DACB= 120 ,求 CA+CB 的值. CDCDE是等腰直角三角形，則CA+CB=CE=72CD.2、如圖，O。為ABC的外接圓，弦CD平分ACB,AD, BDC解：如圖，在CA的延長線上截取AE=BC,連DE,.CD平分ACB,AD=BD又DAE=DBC,AE=BCDAEADBC(SAS)，CD=DE,又ACD=60，CDE是等邊三角形，CD=CE=CA+BC,即

19、CA+1cB=1CDA、B,求 OA + OB 的值.3、如圖，過O、M(1,1)的動圓。O1交y軸、x軸于點解：如圖，過點M作MEy軸，MFX軸，連AM、由M(1,1)知：四邊形OFME是正方形.OE=OF=4,EM=FM,又MBF=MAE,AEMBFM(AAS),貝UAE=BF .OA+OB=AE+OE+OFBF=8.二圓中的外角問題往往與線段的差有關(guān)AC -BC=CD= & PC.4、如圖，。為ABC的外接圓，弦CP平分ABC的外角ACQ,ACB=90求證：(1)PaPb；(2)AC-BC=V2PC.證：(1)如圖，連接AP,則PCQ=PAB又PCQ=PCA,貝UPAB=PCA.

20、?A?B(2)連接BP,由(1)得，PA=PB在AC上截取AD=BC,連PD,又PAD=PADAPBC(SAS),貝UPD=PCACB =120又PCD=45，則PCD是等腰直角三角形,BC AC 求PC的值.5、如圖，O。為ABC的外接圓，弦CP平分ABC的外角ACQ,解：如圖，在BC上截取BD=AC,連AP、BP、DPPCB=PCQ=PBA .AP=BP,又CAP=DBPCAPADBP(SAS),貝UCP=DP又ACB=120PCD=30BC-AC,PC=6、如圖，A(4,0),JBPA4一求一po的值解：如圖，在BP上截取BC=AP .A(4,0),B(0,4),則OA=OB=4又OAP

21、=OBC .OAPQOBC(SAS) .OC=OP,且COP=AOB=90圓的培優(yōu)專題7-1、2、3、B（0,4）,。O1經(jīng)過A、B、O三點，點這P為Oa上動點（異于O、A）與切線有關(guān)的角度計算切線與一個圓答案：1、70;2、20;3、80;4、120;5、130;6、45如圖,如圖,AD切。O于A,BC為直徑，若ACB=20AP切。于P,PB過圓心，B在。上，若ABP=35，貝UAPB=如圖,r第1題第2題第3題4、如圖，PA、PB為。的切線，C為Ab上一點,BCA=50，貝(JAPB=PA、PB為。O的切線，C為ACB上一點，若若BCA=150,則APB=5、如圖，點O是4ABC的內(nèi)切圓的

22、的圓心，若BAC=80，貝UBOC=第4題6、如圖，PA切。于A,若PA=AB,PD平分APB交AB于D,則ADP=.（設(shè)元,列方程）第5題切線與兩個圓圓的培優(yōu)專題8與切線有關(guān)的長度計算7、如圖，兩同心圓的圓心為O,大圓的弦AB、AC分別切小圓于D、E,小圓的DE的度數(shù)為110,8、如圖，OOi和。O2交于A、B兩點，且點Oi在。2上，若D=110,則C=9、如圖，OOi和。O2外切于D,AB過點D,若AO2D=100,C為優(yōu)弧Bd上任一點,則DCB=答案：7、140;8、40;9、50（過點D作兩圓的切線）1、如圖，在。O的內(nèi)接ACB中，ABC=30,AC的延長線與過點D的切線BD交于2、如

23、圖ABC內(nèi)接于。O,AB=BC,過點A的切線與OC的延長線交于D,BAC=75,CD=73,則AD=(AD=3)第1題第2題第3題第4題則大圓的Bc的度數(shù)為第7題點D,若。O的半徑為1,BD/OC,則CD=(cd=¥)33、如圖，。為BCD的外接圓，過點C的切線交BD的延長線于A,ACB=75,ABC=45，則CD的值為DB,2)CD,(DB第8題第9題4、如圖，AB為。O的直徑，弦DC交AB于E,過C作。O的切線交DB的延長線于M,若AB=4,ADC=45,m=75,貝(Jcd=.(CD=273)5、如圖，等邊ABC內(nèi)接于。O,BD切。于B,ADBD于D,AD交。于E,OO的半徑為

24、1,則AE=.(AE=1)6、如圖，ABC中，C=90,BC=5,OO與ABC的三邊相切于D、E、F,若O。的半徑為2,則ABC的周長為.(C=30)7、如圖，ABC中，C=90,AC=12,BC=16,點O在AB上，。與BC相切于D,連接AD,貝UBD=.(示：過D作DEAB,設(shè)CD=DE=X,BD=10)解題策略：連半徑，有垂直；尋找特殊三角形；設(shè)元，構(gòu)建勾股定理列方程圓的培優(yōu)專題9圓的切線與垂徑定理1、如圖，AB為。的直徑，C為AE的中點，CD(1)判斷DC與。的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若DC=3,OO的半徑為5,求DE的長.解：(1)DC是。的切線，理由如下：如圖，連接OC,BC,

25、貝UABC=CBDOC/BD,又CDBEOCCD,又OC為。O的半徑DC是。O的切線(2)如圖，過O作OFBD,則四邊形OFDC是矩形，且BE=EF.-.OF=CD=3,DF=OC=5,ef=BF=V52324,DE=DF-EF=12、如圖，AB為。O的直徑，D是BC的中點，DEBF交AD的延長線于點F.(1)求證：DE為。的切線；(2)若DE=3,OO的半徑為5,求DF的長.(1)證：顯然，CAD=OAD=ODAOD/AE,又DEAC,.ODDE,又OD為。O半徑DE為。O的切線(2)解：如圖，過點。作OGAC,則OGDE是矩形，即OG=DE=3,DE=OD=5AG=,52324,則AE=5

26、+4=9,.希3r3而連接BD,則BDAD,BD=J102(3后)2國103(洞2=BF=(X3<10)2102,DF=X3、如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,BD是。的直徑，AECD于E,DA平分BDE.(1)求證：AE是。的切線；OAD(2)若AE=2,DE=1,求CD的長.(1)證：如圖，連接OA,則ADE=ADO=OA/CD,又AECDOAAE,又OA為。O的半徑AE是OO的切線(2)解：如圖，過點O作OFCD,則CD=2DF,且四邊形OFEA是矩形EF=OA=OD,OF=AE=2設(shè)DF=X,貝UOD=EF=x12_22x2(x1),X1.5CD=2CF=2X34、如圖，AE是。的

27、直徑，DF切。于B,ADDF于D,EFDF于F.(1)求證：EF+AD=AE;(2)若EF=1,DF=4,求四邊形ADFE的周長.(1)證：如圖，連接CE,則四邊形CDFE是矩形連接OB交CE于點G,DF是。O的切線OBDF,OBCEBG=CD=EF,OG/AC,又AO=OE.AC=2OGEF+AD=AC+CD+EF=2OG+2BG=2OB=AE.(2)解：顯然CE=DF=4,CD=EF=1設(shè)AC=X，貝UAD=X1,AE=X22,22.X4(x2)，貝uX3,貝uAC=3,AD=4,AE=5，四邊形CDFE的周長為14.圓的培優(yōu)專題10圓的切線與勾股定理1、如圖，已知點A是。上一點，半徑OC

28、的延長線與過點A的直線交于點B,OC=BC,AC=-OB.2(1)求證：AB是。的切線；(2)若ACD=45,OC=2,求弦CD的長.(1)證：:OC=OB,AC為OAB的OB邊上的中線，又AC=-OB2.OAB是直角三角形，且OAB=90,又OA為。O的半徑AB是。O的切線(2)解：顯然，OA=OC=AC,即OAC是等邊三角形AOC=60,1.D=30如圖，過點A作AECD于點E,ACD=45,AEC是等腰直角三角形，AE=CE=JAC=OC=i/2,DE=V3aE=V62、如圖，PA、PB切。于A、B,點M在PB上，且OM/AP,MNAP于N.(1)求證：OM=AN;(2)若。的半徑r3,

29、(1)證：如圖，連接OA,PA為。的切線，OAAP,又MNAPOA/MN,又OM/AP,，四邊形OANM是矩形，即OM=AN(2)解：如圖，連接OB,PB、PA為。的切線OBM=MNP=90,PB=PA=91.OM/AP,OMB=P,又OB=OA=MN,/.AOBMMNP(AAS).OM=PM,則32+OM2=(9OM)2,OM=53、如圖，AB為。O的直徑，半徑OCAB,D為AB延長線上一點，過D作。O的切線,E為切點，連接CE交AB于F.(1)求證：DE=DF;(2)連接AE,若OF=1,BF=3,求DE的長.(1)證：如圖，連接OEPE為。O的切線，OEDE,又OCABC+CFO=OEF

30、+DEF=90又C=OCF,CFO=DFEDEF=DFE,DE=DF(2)解：顯然，OE=OB=OF+BF=4設(shè)BD=X,則DE=DF=X3,OD=X4,一22,、2_(x3)4(x4),x4.5DE=7.54、如圖，正方形ABCO的頂點分別在y軸、x軸上，以AB為弦的。M與x軸相切于F,已知A(0,8),求圓心M的坐標.忖解：如圖，連接FM交延長交AB于點E-7r 0M與x軸相切，即OC是。M的切線 .EFOC,又四邊形ABCO是正方形 .EFAB,又A(0,8)即AB=EM=OA=8AE=4設(shè)MF=AM=x,則EM=8-x2221-4(8x)x,x5,IPMF=5.點M的坐標為(一4,5)

31、圓的培優(yōu)專題11圓的切線與全等三角形1、如圖，BD為。的直徑，A為BC的中點，AD交BC于E,過D作。O的切線，交BC的延長線于F.(1)求證：DF=EF;(2)若AE=2,DE=4,求DB的長.(1)證：如圖，連接AB.BD為。的直徑，DF為。O的切線產(chǎn)BAD=BDF=90ABC+AEB=ADB+FDE=90/B又ABC=ADB,AEB=DEFODFE=DEF,DE=EF/(2)解：如圖，過點F作FGED,則EG=GD=2=AE,又BAE=FGE=90,AEB=GEF, .ABEAGFE(ASA),BE=EF,即DE為RBDF的斜邊上中線DF=EF=DE=4,BF=8,貝UBD=4732、如

32、圖，AB為。的直徑，C、D為。的一點，OCAD,CFDB于F.(1)求證：CF為。O的切線；(2)若BF=1,DB=3,求。O的半徑.(1)證：AB為。O的直徑DFAD,又OCADOC/DF,又CFDBOCCF,又OC為。O的半徑 .CF為。O的切線(2)解：如圖，過點C作CEBD于點E,貝UBE=DE=1.5,EF=2.5又OCCF,CFEF 四邊形OCFE是矩形 OO有半徑OC=EF=2.53、如圖，以。O的弦AB為邊向圓外作正方形ABCD.(1)求證：OC=OD;(2)過D作DM切。于M,若AB=2,DM=2&,求。O的半徑.(1)證：如圖，連接OA、OB,則OA=OBMOAB=

33、OBA 四邊形ABCD是正方形OAD = OBC.OAD AOBC (SAS)AD=BC,DAB=CBA=90OC=OD(2)解：如圖，連接OM、BD,則OMDM,且BD=J2AB=2”=DM又OM=OB,OD=OD,AODMODB(SSS)OBBD,又ABD=45OAB=45，即OAB是等腰直角三角形.2QOA=AB=x24、如圖，在ABC中，AC=BC,ACB=90,以BC為直徑的。交AB于D.ABC3SVBCM，求 ce .(1)求證：AD=BD;(2)弦CE交BD于M,若Sv(1)略證：連接CD,則CDAB又AC=BC,ACB=90,.AD=BD(2)解：如圖，連接BE,過A作ANCE

34、于N,.SVABC3SVBCM'_SVACM2sVBCMAN=2BECAN=BCE,AC=BC,ANC= .ANCACEB(AAS) .BE=CN,CE=ANBC= T5X ,AB = V2BC= *0x,即BD = 2BDCE104設(shè)CN=BE=X,貝UCE=AN=BE=2x,圓的培優(yōu)專題12圓的切線與等腰三角形1、如圖，在ABC中，AB=AC,以AB為直徑的。與邊BC交于D,與邊AC交于E,過D作DFAC于F.(1)求證：DF為。的切線；(2)若DE=J5,(1)證：如圖，連接AD,OD,AB = 5,求AE的長.AB為。O的直徑， .ADBC,又AB=AC,OA=OBEAD=DA

35、B=ADOOD/AC,又DFACODDF,又OD為。O的直徑DF為。O的切線(2)解：.EAD=DAB,.BD=DE=褥，又AB=5,.AD=52(75)2275DFXAC=ADXCD,DF=2,CF=EF=J(V5)5221,，AE=5-2=32、如圖，在ABC中，AB=AC,以邊AB為直徑作。O,交BC于D,過D作DEAE.AD , OD ,則 AD BC,CD = BD ,又 AO = OB，又 DE AE，.二DE是。O的切線；O 作 OF BD 于 F,貝U BD(1)求證：DE是。的切線；(2)連接OC,若CAB=120,求OC的值.(1)證：如圖，連接又AB=ACOD/ACODD

36、F=2B(2)解：如圖，過點.AB=AC,CAB=120,B=30設(shè)OF=X,貝UBF=石X,OB=2x,.AC=AB=4x,CD=BD=2低,貝(JCF=373x14由勾股定理，得OC=2J7X,由面積法，得DE=J3x,.DEOC3、如圖，AB=AC,點O在AB上，OO過點B,分別交BC于D、AB于E,DFAC.(1)證：DF為。O的切線；(2)若AC切。于G,OO的半徑為3,CF=1,求AC.(1)證：如圖，連接OD,AB=AC,OB=ODB=C=ODBOD/AC,又DFACODDF,又OD為。O的半徑DF為。O的切線(2)解：如圖，連接OG,AC為。的切線.OGAC,又ODDF,DFA

37、C,OG=OD，四邊形ODFG是正方形，即OB=OG=GF=3設(shè)AG=X，則AB=AC=X4,則AO=x12_3,.2.x3(x1),x4,則AC=84、如圖，CD是。O的弦，A為Cd的中點，E為CD延長線上一點，EG切。于G.(1)求證:KG = GE; (2)若 AC / EG,DKCK3 , AK = 2J10 ,求。O 的半徑.5(1)證：如圖，連接 OG, OA交CD于點F1 . A為CD的中點，EG是。O的切線2 .OA CD, OG GEOAG + AKF = OGA + EGK 又 OAG = OGA , AKF = EKGEGK= EKG3 .KG = GE(2)解：AC /

38、 EG,CAK = EGK ,又EGK = EKG = CKACAK=CKA,CA=CK設(shè)CK=CA=5x,貝UDK=3x,CD=8x,CF=4x,EG=x.AF=J(5x)2(4x)23x在RtAAFK中，(3x)2x2(210)2,.x2.CE=8,AE=6,25設(shè)。的半徑為R,則R2=82+(R6)2,R=-圓的培優(yōu)專題13圓與三角形的內(nèi)心1、如圖，ab是。o的直徑，AcCe ,點M為BC上一點，且CM = AC.(1)求證：M為 ABE的內(nèi)心;(2)若。O的半徑為5, AE = 8,求 BEM的面積.(1)證：如圖，連接CE,則AC=CE=CMCME=CEM,CEA=CBECBE+BE

39、M=CEA+AEMAEM=BEM,又ABC=CBE點M為ABE的內(nèi)心.(2)解：如圖，過點M作MNBE于點N,則MN為ABE的內(nèi)切圓的半徑AB=10,AE=8,則BE=V102826MN =6 8 1022,MN =aba b-=2c則 AC = 6,且 MAE = 45BME的面積為-X6X2=6.2AD平分 BAC點M是 ABC的內(nèi)心.2、如圖，O。為4ABC的外接圓，BC為直徑,(1)求證：BC=V2DM:(2)若DM=5V2,AB=8,求OM的長.(1)證：如圖，連接BD,CD,.BC為直徑，AD平分BACBD=CD,BDC=90,BC=石CD連接CM,則ACM=BCM,DMC=ACM

40、+DAC=DM=CD,即BC=72DM(2)解：顯然，BC=T2dM=10,AB=8,如圖，過M作MEBC于點N,作MFAC于點F,則ME=MF=AF=2CF=CE=4,則OE=1.om=J221275.3、如圖，AB為。的直徑，C為。上一點，D是？C的中點，DEAB于E,I是ABD的內(nèi)心，DI的延長線交。于N.(1)求證：DE是。的切線；(2)若DE=4,CE=2,求。的半徑和IN的長.(1)證：D是？C的中點，OA=ODCAD=DAO=ADOOD/AE,又DEABODDE,又OD為。O的半徑DE是OO的切線.(2)解：如圖，過點。作OFAC,則AF=CFDEAB,ODDE，四邊形ODEF是

41、矩形，則OF=DE=4設(shè)。的半徑為R,則OA=OD=EF=R,AF=CF=R2.(R2)2+42=R2,R=5,.AB=10,如圖，連接BI,AN,BN,則IN=BN=AN=5J24、如圖，在ABC中，AB=AC,I是ABC的內(nèi)心，OO交AB于E,BE為。O的直徑.AF = 2, IF= ID ,(1)求證：AI與。O相切；(2)若BC=6,AB=5,求。的半徑.(1)證：如圖，延長AI交BC于點D,則ADBC,連接OI,則OIB=OBI=OBDOI/BC,又ADBCADOI,又OI為。O的半徑AI與。O相切(2)顯然BD=3,AB=5,則AD=4如圖，過點I作IFAB于點F,則BF=BD=3

42、,、一,222_.3設(shè)IF=ID=x,則AI=4X,x2(4x),則IF=x2設(shè)O的半徑為R,則OF=3-R,(3-R)2+(3)2=R2,R=.28圓的培優(yōu)專題14圓中動態(tài)問題1、如圖，點P是等邊ABC外接圓BC上的一個動點，求證PA=PB+PC.證：如圖，在AP上截取PD=PC,連接CD2、解:.ABC是等邊三角形,ABC=ACB=60DPC=ABC=60.PCD是等邊三角形，即CD=PCACD+BCD=BCP+BCD=60ACD=BCP,又AC=BCACDABCP(SAS).AD=BP，PA=AD+DP=PB+PC.已知弦ADBD,且AB=2,點C在圓上，CD=1,直線AD、BC交于點E

43、.(1)如圖1,若點E在。0外，求AEB(2)如圖2,若C、D兩點在。上運動,長度不變，點E在。內(nèi)，求AEB(1)如圖一的度數(shù);CD的的度數(shù).ADBDAB為。O的直徑，且AB=2.-.CD=OC=OD=1,即OCD是等邊三角形COD=601CBD=2COD=30AEB=60(2)如圖一2,連接OC,OD同理可得:ACD=60,1CBD=2COD=30又ADBAED=1203、已知直線l經(jīng)過。O的圓心O,且交。于A、B,點C在OO上,且AOC=30，點QP = QO.P是直線l上一個動點(與O不重合)，直線CP與。交于Q,且(1)如圖1,當點P在線段AO上時，求OCP的度數(shù)；(2)如圖2,當點P在線段OA的延長線上時，求OCP的度數(shù);(3)如圖3,當點P在線段OB的延長上時,解：(1)如圖一1,設(shè)OCP=x.OC=OQ,則OQP=X又AOC=30,QP=QOQOP=QPO=X302(x30)x180OCP=X40(2)如圖一2,設(shè)COQ=X,又AOC=30,QP=