圓錐曲線的極坐標方程介紹

1、圓錐曲線的極坐標方程介紹很多老師在講授圓錐曲線或進行總復習時，為了解題方便的需要，對圓錐曲線的極坐標方程作了相應的介紹.因為介紹的不是很詳細，很多同學還是很不清楚.下面，我再詳細地介紹一下圓錐曲線的極坐標方程.利用坐標系來確定平面內(nèi)點的位置和建立曲線的方程，除了直角坐標系外，常用的還有極坐標系.它是用長度和角度來確定平面內(nèi)點的位置的一種坐標系.在平面內(nèi)取一固定點O,從。引一條射線OX,再確定一個計算長度的單位長和計算角度的正方向（通常我們選取逆時針方向作為正方向）.這樣就構(gòu)成了一個極坐標.其中，O點叫做極點，OX叫極軸（如圖一）.設(shè)P是平面內(nèi)一點，連接線段OP,那么極點和P點的距離|OP|,叫

2、做P點的極半徑,通常用來表示；以極軸OX為始邊，射線OP為終邊的所成的XOP,叫做P點的極角,通常用來表示.（，）就是P點的極坐標.為了研究的方便，我們也允許取負值.當0時，點P（,）的位置可按下列規(guī)則來確定:作射線OM（如圖二）使XOM,在OM的反向延長線上P點，使|OP|,那么P點就是極坐標是（，）的點（0）.下面用極坐標來求圓錐曲線的方程.根據(jù)圓錐曲線的定義，我們?nèi)缦陆⒅苯亲鴺讼担喝〗裹cF為極點，作FG垂直于準線l,垂足為G,取FG的反向延長線FX為極軸（如圖三），設(shè)焦點到準線的距離為p（p0）.設(shè)P（,）是圓錐曲線上的任意一點，連接PE,過P作OQl,PMFX,垂足分別為Q、M,那么

3、由圓錐曲線的第二定義，得：|PQ|因為| PF |PQ|GM | pcos所以epcos就是ep(p0)1ecos這就是圓錐曲線的極坐標方程.注意：對于橢圓和雙曲線的一支，有b2一一p一(b,c0).然而對于拋物線，其中的p即c為拋物線標準方程y22px(p0)中的p.下面我們就可以使用極坐標方程的方法很容易的解出重慶市07年高考最后一題的第二問.(22)(本小題滿分12分)如圖，中心在原點。的橢圓的右焦點為F(3,0),右準線的方程為：x=12。(1)求橢圓的方程；(2)在橢圓上任取三個不同點P1,P2,P3,使P1FP2P2FP3P3FP1,證明1用11IFP2I1IFP3I為定值，并求此定值。但是在高考中下面是答案中提供的方法，可以看到該解法明顯比極坐標方程方法復雜.是允許使用極坐標方程方法的.2X解：(I)設(shè)橢圓方程為a因焦點為F (3,0),故半焦距c 3.又右準線l的方程為x2 a,從而由已知 c2-12,cV27 343.2故所求橢圓方程為 362 y27(II)記橢圓的右頂點為A,并設(shè) AFPi3),不失一般性,又設(shè)點P在l上的射影為Qi ,因橢圓的離心率FP2(9解得PQi|eFP cosi)(iFP cos i e123).1FP1 cos2(i1,2,3).因此FP而coscos故fP；FP2co