勾股定理解題思路

1、學習好資料歡迎下載一、方程思想例 1 如圖 1，折疊矩形的一邊AD ，使點 D 落在 BC 邊的點 F 處，已知 AB 8cm ，BC10cm ，求 EC 的長分析設 ECx ，則 DE8x ，由于折疊矩形的邊AD且D落在點 F處，故 AFE 和 ADE完全重合，則EF8x ， AFAD10，在 Rt EFC 中運用勾股定理，即可得到關(guān)于x 的方程，即可求出x 的值解因為 D， E關(guān)于 AE對稱，所以AFE 和ADE 完全重合，即AFADBC 10， DE EF ，設 ECx ，則 DE8 x ，所以在 Rt ABF 中，由勾股定理，得BFAF 2AB26，所以 FC BCBF 4，在 Rt

2、EFC 中，由勾股定理，得x242(8x)2 ，解得 x3 ，所以 EC 的長為 3cm 說明 折疊問題和軸對稱緊密相關(guān)， 要注意分清對稱軸， 在求解這類問題時可以根據(jù)題意引進未知數(shù)，利用勾股定理來布列方程即能簡易求解ADAFEBCDEBC圖 2圖 1 F例 2如圖 2，ABC中，B22.5 ，C60 ， AB的垂直平分線交BC于 D，BD 62， AEBC于E，求 EC 的長分析由條件B22.5和 AB 的垂直平分線交BC 于 D 可想到連結(jié) AD ，這樣就可以充分運用條件，構(gòu)造方程求解解 連接AD，則ADBD ，因為B22.5，所以ADE45 ，所以 AEDE ，因為 BD6 2，所以2A

3、E2(6 2)2 ，即 AE6 在 Rt AEC 中，C60 ，則 AC 2EC ，設 ECx ，則 ACx2，由勾股定理， 得 x262(2 x)2 ，得 x2 3，即EC 2 3說明遇到含 30 的直角三角形時一定要注意：“在直角三角形中，如果一個銳角等于30 ，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半”的使用即含30 的直角三角形中三邊之比是學習好資料歡迎下載1 3 2二、分類討論思想例 3已知一個直角三角形的兩邊長是3cm 和 4cm ，求第三邊的長分析已知一個直角三角形的兩邊長，并沒有指明是直角邊還是斜邊，因此要分類討論解當 3cm 和 4cm 是兩條直角邊時， 則利用勾股定理求得第三條邊即

4、斜邊是32425；當 3cm 是直角邊， 4cm 是斜邊時，仍由勾股定理求得另一條直角邊是42327 說明求解本題許多同學往往受勾3 股 4 弦 5 的思維定勢， 而誤認為3cm 和 4cm 就是直角三角形的兩條直角邊，斜邊當然是5cm了，從而漏掉一解導致錯誤例 4 一個等腰三角形的周長為 14 cm ，一邊長 4cm ，求底邊上的高分析 一邊長 4cm ，并沒有指明是底邊還是腰，所以應分類討論解當 4cm 的邊為底邊時，腰長就是5cm ，所以由勾股定理求得底邊上的高是522221 ；當 4cm 的邊為腰時， 底邊長就是 6cm ，所以由勾股定理求得底邊上的高是42327 說明這里對等腰三角形

5、的分類討論，實際上就是對直角三角形的邊的討論三、數(shù)形結(jié)合思想例 5在一棵樹的10米高處有兩只猴子，其中一只爬下樹走向離樹20米的池塘，而另一只爬到樹頂后直撲池塘，如果兩只猴子經(jīng)過的距離相等，問這棵樹有多高？分析根據(jù)題意畫出圖形，再在直角三角形中運用勾股定理構(gòu)建方程求解解如圖 3，D 為樹頂， AB10m ，C 為池塘， AC 20m ，設 BDD的 長 是xm，則樹高( x 10)m 因 為ACABBD， 所 以DCDC 20 10 x，在ACD中，A90，所以BA2A2D210)2(30x)2，解得 x5 所以CAC故D 20C ( x圖 3x 10 15，即樹高 15 米說明勾股定理的本身

6、就是數(shù)形結(jié)合的體現(xiàn)，求解時它又與方程緊密相聯(lián)四、轉(zhuǎn)化思想例 6 如圖 4，長方體的長為 15cm ，寬為 10cm ，高為 20cm ，點 B 距點 C 5cm ，一只螞蟻如果要沿著長方體表面從點A 爬到點 B，需要爬行的最短路程是多少？分析 由于螞蟻是沿著長方體的表面爬行的，故需把長方體轉(zhuǎn)化展開成平面圖形， 根據(jù)兩點之間線段最短，螞蟻爬行的路線有兩種可能（如圖5、圖 6）利用勾股定理容易求出圖5、圖 6 中 AB 的長度，比較后即可求得螞蟻爬行的最短路程BBCBAAA圖 4圖 5圖 6學習好資料歡迎下載解將長方體展開成平面圖形因為兩點之間線段最短，所以所求的爬行路程是線段AB 的長度，根據(jù)點 B 在圖上的位置，展開后線段AB 有兩種可能，即圖5和圖 6在圖 5 中，由勾股定理，得AB220 2(105)2625，所以 AB25，在圖 6 中，由勾股定理