2019屆蘇州市迎二模六校聯(lián)考試題數(shù)學(xué)

1、9. 若點(diǎn) P 是曲線 y=x2-lnx 上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn) P 到直線 y=x-2 的最小距離為 2019 屆蘇州市迎二模六校聯(lián)考試題 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 、填空題（本大題共 14 小題，每小題 5 分，共 70 分）. 1. 已知復(fù)數(shù) z=2i，則 z的虛部為 _ 2. 某社區(qū)對(duì)居民進(jìn)行世博會(huì)知曉情況的分層抽樣調(diào)查 已知該社區(qū)的青年人、中年人和 老年人分別有 800 人、1600 人、1400 人若在老年人中的抽樣人數(shù)是 70,則在中年人 中的抽樣人數(shù)是 _ 3. 連續(xù)擲兩次骰子，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和等于 4 的概率為 _ （結(jié)果用數(shù)值表示） 4. 若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)（3, .2），且漸近線方程是 y= 3x

2、，則這條雙曲線的方程是 _ X rm + 1 11 5. 若不等式土禹0 成立的一個(gè)充分非必要條件是 3x0,且 a +ab+ac+bc= 4,則 2a+b+c 的最小值為 _ 11. 若過點(diǎn) A(a,a)可作圓 x2 + y2 2ax+ a2+ 2a-3=0 的兩條切線，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 _ 12. 設(shè)首項(xiàng)不為零的等差數(shù)列an前 n項(xiàng)之和是 Sn,若不等式 an2*扣2,對(duì)任意an和正整數(shù) n恒 成立,則實(shí)數(shù)入的最大值為 _ 13. 已知函數(shù) f(x)=ax2 24+2b b2?(, g(x)= 1 (x a)2,若存在 xo,使得 f(xo)是 f(x)的最大值, g(xo)是 g

3、(x)的最小值，則這樣的整數(shù)對(duì)(a,b)為 _ 解答(本大題共 6 個(gè)小題，共 90 分.) 14. (本小題滿分 14 分)如圖，在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中 , A1C1丄 B1D1, E,F 分別是 AB, BC 的中 點(diǎn).(1)求證：EF /平面 A1BC1； (2)求證：平面 D1DBB1丄平面 A1BC1. B tan/ C?tanZ BAM= 115. (本小題滿分 14 分)在？ABC 中，點(diǎn) M 是 BC 的中點(diǎn), ?AMC 的三邊長(zhǎng)是連續(xù)三個(gè)正整數(shù), D1 第15題 (1)判斷？ABC 的形狀；(2)求/ BAC 的余弦值。 1 2 16.( (本小題滿分 1

4、4 分) )在數(shù)列an中, ,ai=1, an+1=1 厶昂厶昂, ,bn= = 彳彳, ,其中 n N*.*. (1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式 an； 若數(shù)列cn滿足：bn=2T7- 卷卷 + 希 話話 + + (-1)2+1 (n N*), 求數(shù)列Cn的通項(xiàng)公式； 17.(本題滿分 16 分)已知圓 C 通過不同的三點(diǎn) P(m,O)、Q(2,0)、R(0,1),且圓 C 在點(diǎn) P 處的切線的 斜率為 1.(1)試求圓 C 的方程；若點(diǎn) A、B 是圓 C 上不同的兩點(diǎn)，且滿足 CP?CA=CP?CB, 18.（本題滿分 16 分）如圖，某污水處理廠要在一個(gè)矩形污水處理

5、池 （ABCD）的池底水平鋪設(shè)污水凈 化管道（Rt?FHE,H 是直角頂點(diǎn)）來(lái)處理污水，管道越長(zhǎng)，污水凈化效果越好 設(shè)計(jì)要求管道的接口 H 是 AB 的中點(diǎn)，E,F 分別落在線段 BC,AD 上.已知 AB= 20 米，AD= 10 3 米，記/ BHE=0 . 試求直線 AB 的斜率；若原點(diǎn) 距的范圍。 (1) 試將污水凈化管道的長(zhǎng)度 L 表示為啲函數(shù)，并寫出定義域; 若 sin (+cos 0=2，求此時(shí)管道的長(zhǎng)度 L; (3)問：當(dāng) 9 取何值時(shí)，污水凈化效果最好？并求出此時(shí)管道的長(zhǎng)度 佃.(本題滿分 16 分)已知函數(shù) f(x)=x(x a)(x b),點(diǎn) A(m, f(m), B(n

6、, f(n). (1)設(shè) b= a,求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間； 若函數(shù) f(x)的導(dǎo)函數(shù) f (x)滿足：當(dāng)兇W時(shí)，有|f (x)| |恒成立，求函數(shù) f(x)的表達(dá)式; 若 0ab,函數(shù) f(x)在 x=m 和 x=n處取得極值，且 a+bW2.3.問：是否存在常數(shù) a、b, 使得 OAOB=0?若存在，求出 a,b 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 2019 學(xué)年第一學(xué)期高三聯(lián)考試卷 數(shù)學(xué)附加題 注意事項(xiàng): 1.附加題供選修物理的考生使用. 2 .本試卷共 40 分，考試時(shí)間 30 分鐘. 3答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校、班級(jí)、學(xué)號(hào)寫在答題紙的密封線內(nèi)試題的答案 寫在答題紙 上對(duì)應(yīng)題目

7、的答案空格內(nèi).考試結(jié)束后，交回答題紙. 21.【選做題】在 A、B、C、D 四小題中只能選做 2 題，每小題 10 分，共計(jì) 20 分.請(qǐng)?jiān)诖鹁砑堉? 定區(qū)域內(nèi)作答.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟. A.選修 4 1:（幾何證明選講） 如圖，AD 是/ BAC 的平分線, 與AB, AC 分另【J 交于 E, F，求證：EF / BC . :所對(duì)應(yīng)的變換把直線 B.選修 4 2:（矩陣與變換）已知 a, b R，若矩陣 M= - 1 1: 2x y=3 變換為自身，求 a, b 的值. 1 x= 2（t + ）, C .選修 44:（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）將參數(shù)方程 1 （t 為參數(shù)）化為

8、普通方程. y= 4（t-） 1 1 9 D .選修 4 5:（不等式選講）已知 a, b 是正數(shù)，求證（a + ）（2b +芬）虧. 【必做題】第 22 題、第 23 題，每題 10 分，共計(jì) 20 分.請(qǐng)?jiān)诖鹁砑堉付▍^(qū)域內(nèi).作答.解答應(yīng)寫出 文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟. 22.袋中裝著標(biāo)有數(shù)字 1 , 2, 3, 4 的卡片各 1 張，甲從袋中任取 2 張卡片（每張卡片被取出的可能 性都相等），并記下卡面數(shù)字和為 X,然后把卡片放回，叫做一次操作. （1）求在一次操作中隨機(jī)變量 X 的概率分布和數(shù)學(xué)期望 E（X）; (2)甲進(jìn)行四次操作，求至少有兩次 X 不大于 E(X)的概率. 23.

9、在直三棱柱 ABC AiBiCi中，底面 ABC 是直角三角形，AC = BC = AAi = 2, D 為側(cè)棱 AAi的 中占 I 八、 (1) 求異面直線 DCi, BiC 所成角的余弦值； (2) 求二面角 Bi DC Ci的平面角的余弦值. 2019 學(xué)年第一學(xué)期高三聯(lián)考試卷 數(shù)學(xué)參考答案 (2)甲進(jìn)行四次操作，求至少有兩次 X 不大于 E(X)的概率. 、填空題 i i3、7 5 二、解答題： i4、(-i,-i) (-i,3) (本大題共 6 個(gè)小題，共 90 分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟. 15、(本小題滿分 14 分)如圖，在直四棱柱 ABCD-AiBiCiDi中，

10、AiCi BiDi,E,F 分別是AB, BC 的中點(diǎn). (I )求證：EF /平面 AiBCi； (II )求證：平面 DiDBBi丄平面 AiBCi. i5解：(I)連接 AC ,則 AC / AiCi，而 E, F 分別是 AB, BC 的中點(diǎn)，所 以 EF / AC,貝U EF / AiCi，又：AiCi 平面 Ai BCi, EF 二平面 AiBCi 故 EF /平面 AiBCi . 7 分 (I)因?yàn)?BBi 丄平面 AiBiCiDi, AiCi 二平面 AiBiCiDi 所以 BBi 丄 AiCi,又 AiCi 丄 BiDi, BBi BiDi= Bi, BBi ,BiDi 二平

11、面 DiDBBi 則 AiCi丄平面 DiDBBi . 分 又 AG 二平面 AiBCi,所以平面 DiDBBi平面 AiBCi . i4分 i6.(本小題滿分 14 分) )在？ABC 中，點(diǎn) M 是 BC 的中點(diǎn), tan/ C?tan/ BAM= i (i) 判斷？ABC 的形狀; 求/ BAC 的余弦值。 1、x|-1x 2), 2n +1 Cn =(-1)n(2n 1 2)(n 2), 1 當(dāng):-:=90時(shí)，AM BC =MC,與？AMC 的三邊長(zhǎng)是連續(xù)三個(gè)正整數(shù)矛盾, 解：(1)證明：bn -bn 二 . 2 g g 九九bl二喬二喬 T2 .bn -2 (n -1 ) 2 -2

12、由bn 士 得,2an -1 - -= =丄丄( (n N*) a. = n 1 bn n 2n (2) / bn C1 C2 C3 + 22 1 23 1 24 1 C Er N*), -bn 4 C1 2 1 C4 代尢一尹代尢一尹( (一產(chǎn)事一產(chǎn)事 2),10分分 12分 14 分 當(dāng) 2 時(shí)，b1 C1=6滿足上式 Cn =(-1)2(2n 1 2) (- N*)18.(本小題滿分 16 分) )已知圓 C 通過不同的三點(diǎn) P(m,O)、Q(2,0)、R(0,1),且圓 C 在點(diǎn) P 處的切線的 斜率為 1. (1)試求圓 C 的方程; (2) 若點(diǎn) A、B 是圓 C 上不同的兩點(diǎn)，且

13、滿足 CP?CA= CP?CB, 試求直線 AB 的斜率； 若原點(diǎn) 0 在以 AB 為直徑的圓的內(nèi)部，試求直線 AB 在 y 軸上的截距的范圍。 2 2 D E 18. (1)設(shè)圓方程為x y Dx Ey F =0，則圓心C( ,)，且 PC 的斜率為-1 . 2分 2 2 1 +E +F =0 4 +2D +F =0 D 2 + m 所以 E 2 . 5 分 D =1 E =5 勺 勺 解得 ，所以圓方程為x2 y x，5y-6=0 . 7 分 F = -6 m = -3 (2) CP?CA=CP?CB 二 CP (CA -CB) =0= CP AB 二 0= CP _ AB , 所以 AB

14、 斜率為 1 . 10 分 設(shè)直線 AB 方程為y二x t，代入圓 C 方程得2x2 (2t 6)x t2 5t -0 A 0= 7 Ct 3 設(shè) A(x), B(X2, y2)，則Xj =t -3 2 t +5-6 x X? - 2 原點(diǎn)0在以AB為直徑的圓的內(nèi)部，即 OA OB 0u x2 +y2 MO . 14分 整理得，t2 +2t 6 v0u - -1 vt v7 1 . . 1盼 D 19.(本題滿分 16 分) )如圖，某污水處理廠要在一個(gè)矩形污水處理池 (ABCD)的- 池底水平鋪設(shè)污水凈化管道 (Rt?FHE,H 是直角頂點(diǎn))來(lái)處理污水，管道越長(zhǎng)，污 - 水凈化效果越好設(shè)計(jì)要

15、求管道的接口 H 是 AB 的中點(diǎn)，E,F 分別落在線段 BC,AD 上.已知 AB= 20 米, AD=10 . 3 米，記/ BHE=0 . (1)試將污水凈化管道的長(zhǎng)度 L 表示為啲函數(shù)，并寫出定義域； (2) 若 sin肝 cosB= 2,求此時(shí)管道的長(zhǎng)度 L; (3) 問：當(dāng) 9 取何值時(shí)，污水凈化效果最好？并求出此時(shí)管道的長(zhǎng)度 解：( (1)EH=cor9 詁詁 e . 10 EF= STTOs e 10 由于 BE= 10tan ew 1(3, AF= w 103 tan e (2) sin 9+cos e=J2 時(shí)，sin e?cos0=2, _ 10 10 10 _ sin

16、9 +cos 9 +1 (3) L=cos +sin 9sin 9 cos10( sin 9 cos )9 t2-1 設(shè) sin 9+cos 9=t 貝 Usin (?cos9= . 2 由于 9 育，所以 t= sin 9+cos (= ,2sin( L= t-0在 亠滬，2內(nèi)單調(diào)遞減， 于是當(dāng) t=+1時(shí)，即9= 9訓(xùn)訓(xùn) L 的最大值 20( ,3+1)米. . 15 分 答：當(dāng)9=或9=時(shí)所鋪設(shè)的管道最短，為 200. 3+1)米. 20.(本題滿分 16 分)已知函數(shù) f(x)=x(x a)(x b),點(diǎn) A(m, f(m), B(n, f(n). (1)設(shè) b= a,求函數(shù) f(x)

17、的單調(diào)區(qū)間； 若函數(shù) f(x)的導(dǎo)函數(shù) f(x)滿足：當(dāng) xi w時(shí)，有|f(x)| W恒成立，求函數(shù) f(x)的表達(dá)式; 若 0ab，函數(shù) f(x)在 x=m 和 x=n處取得極值，且 a+bW2 3問：是否存在常數(shù) a、b,使得(OA-O)B=0?若 存在，求出 a,b 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 3 2 2 f 2 2 20. (1) f (x)二x2ax a x 令 f (x) = 3x -4ax a =0 , 得：x1 , = a . -2 分 3 n n w tan e 3,9 年巧年巧 10 L = cos 衛(wèi)衛(wèi) 10 +sin 9sin 9 cos，9 n n 9 6,3.

18、L=20( .2+1); . 分 10 16 分 14分 1當(dāng)a 0時(shí)， 為:X2 （表可刪） _ a _ a .所求單調(diào)增區(qū)間是（-：,）,（a,；）, 單調(diào)減區(qū)間是（ ，a ） 3 3 a a 2當(dāng)a ：.0時(shí)，所求單調(diào)增區(qū)間是（:,a）,（,；）, 單調(diào)減區(qū)間是（a , 3 3 3當(dāng)a=0時(shí)，f （x） =3x2 X） 所求單調(diào)增區(qū)間是（-：,=）. . (2) f x =x a b x2 abx 2 .f x = 3x -2 a b x ab, f x 4 -f i 乞3，3 乞 -i 攔， 2 2 2 2 3 3 3 -2 a b 廠 ab , 3 . 是,得lab = 2 2 a

19、b =0, 3 3 ab , 2 2 :當(dāng)x三1,1 1 時(shí)，恒有 即 -3 _3 2 a b ab _ = 3 2, 此時(shí)，滿足當(dāng)X-1,1時(shí)| f （x） |二3恒成立. f x二 2 (3) 存在 a,b ,使得 ) 若 OAOB=0，即 m n f (m) f (n) =0 . mn mn(m _a)(m -b)(n _a)(n _b) =0 由于 0 : a . b，知 mn =0 由題設(shè)， m, n是f (x)二0的兩m 12 分 數(shù)學(xué)附加題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 21 . A.選修 4 1 幾何證明選講 3 3 因?yàn)?M 對(duì)應(yīng)的變換把直線變換為自身，所以點(diǎn) （2，2b）, （ 3a,

20、 9）仍在直線 I 上. 代入直線方程得6J9： 3,解得:：，4. （方法二）設(shè)（x, y）為直線 I上任意一點(diǎn)，則 Ta! I i x+ 晳 -b 3 - Ly - bx+ 3y 因?yàn)?M 對(duì)應(yīng)的變換把直線變換為自身，所以點(diǎn) 代入直線方程得：2( x+ ay) (bx+ 3y): 3, 化簡(jiǎn)得(2 b)x+ (2a 3)y= 3，又直線 1: 2x y = 3, C .選修 44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 解：（方法一） 1 2 1 2 因?yàn)?t+ f)2 (t ；)2= 4,證明：如圖，連結(jié) DF . 因?yàn)?BC 與圓相切， 所以/ CDF = Z DAF . . 4 分 因?yàn)? EFD 與/

21、EAD 為弧 DE 所對(duì)的圓周角， 所以/ EFD = Z EAD . 又因?yàn)?AD 是/ BAC 的平分線， 故/ EAD =Z DAF . . 8 分 所以/ CDF = Z EFD , 所以 EF / BC. . 10 分 B.選修 4 2:矩陣與變換 3 解：（方法一）在直線 I上取兩點(diǎn)（2, 0）, （0, 3）. . 3 分 (x+ ay, bx + 3y)仍在直線 I 上, 所2 b : 2, L2a 3 : 1, a= 1 b= 4. A x 2 y 2 所以（x）（4）=4. 化簡(jiǎn)得普通方程為 （方法二） 64 2 2 化簡(jiǎn)得普通方程為 土 = 1. 16 64 D .選修

22、4 5:不等式選講 證明：（方法一） 因?yàn)?a, b 是正數(shù)，利用均值不等式, 1 1 1 C 1 （a+1）（2b+ 站 2ab+2+2+莎 所以（a + b）（2b+ 2a）冷. （方法二） 因?yàn)?a，b 是正數(shù)，利用柯西不等式, 22.解：（1）由題設(shè)知，X 可能的取值為：3, 4, 5, 6, 7. 隨機(jī)變量 X 的概率分布為 X 3 4 5 6 P 1 1 1 1 6 6 3 6 因?yàn)?r 1 x= 2（t+ j）, : 1 y= 4（t ） ，所以 t=穿 1 2x y t 8 分 10 分 相乘得沖 3 = 1. 8 分 - 10 分 1 5 =（2ab+ 5 9 2 2. 10 分 分 分 因此 X 的數(shù)學(xué)期望 E(X) = (3 + 4+ 6 + 7) (2)記 一次操作所計(jì)分?jǐn)?shù) X 不大