一元二次方程求根公式-一元二次函數(shù)公式法-求根函數(shù)配方

1、主講：黃岡中學(xué)高級(jí)教師一、一周知識(shí)概述1、一元二次方程的求根公式將一元二次方程ax2 + bx + c=O(a工0)進(jìn)行配方，當(dāng)b2 - 4ac>0時(shí)的根為-6 士屈-4九la .該式稱為一兀二次方程的求根公式，用求根公式解一兀二次方程的方法稱為求根公 式法，簡(jiǎn)稱公式法.說明：(1) 一元二次方程的公式的推導(dǎo)過程，就是用配方法解一般形式的一元二次 方程 ax2 + bx + c=0(a 工 0);(2) 由求根公式可知，一元二次方程的根是由系數(shù)a、b、c的值決定的；(3) 應(yīng)用求根公式可解任何一個(gè)有解的一元二次方程，但應(yīng)用時(shí)必須先將其化為一 般形式2、一元二次方程的根的判別式_ 土朋-4

2、處(1) 當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根二b加：二花=r(2) 當(dāng)b2- 4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根2a ；(3) 當(dāng)b2- 4acv 0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.二、重難點(diǎn)知識(shí)1、對(duì)于一元二次方程的各種解法是重點(diǎn)，難點(diǎn)是對(duì)各種方法的選擇，突破這一難點(diǎn)的 關(guān)鍵是在對(duì)四種方法都會(huì)使用的基礎(chǔ)上，熟悉各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)。 “開平方法”一般解形如“”類型的題目，如果用“公式法”就顯得多余的了。(2) “因式分解法”是一種常用的方法，一般是首先考慮的方法。(3) “配方法”是一種非常重要的方法，一般不使用，但若能恰當(dāng)?shù)厥褂?，往往?起到簡(jiǎn)化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法

3、”之前。如方程 ?-6jt = 6391 ； 用因式分解，則6391這個(gè)數(shù)太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，則方程化為2:上-'-，就易解，若一次項(xiàng)系數(shù)中有偶因數(shù)，一般也應(yīng)考慮運(yùn)用。(4) “公式法”是一般方法，只要明確了二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)，若方-&±-4cw程有實(shí)根，就一定可以用求根公式求出根，但因?yàn)橐? c 第0)求值，所以對(duì)某些特殊方程，解法又顯得復(fù)雜了。2、在運(yùn)用b2- 4ac的符號(hào)判斷方程的根的情況時(shí)，應(yīng)注意以下三點(diǎn)：(1) b 4ac是一元二次方程的判別式，即只有確認(rèn)方程為一元二次方程時(shí)，才能 確定 a、b、c,求出 b24ac;(

4、2) 在運(yùn)用上述結(jié)論時(shí)，必須先將方程化為一般形式，以便確認(rèn)a、b、c；(3) 根的判別式是指 b2 4ac,而不是 辿T三、典型例題講解例1、解下列方程：(1) I ： J I ；廠優(yōu)+ 1)仗-1) = 2逅“分析：用求根公式法解一元二次方程的關(guān)鍵是找出a、b、c的值，再代入公式計(jì)算，解:因?yàn)?a=1, & = 4j3 , c=10於-4ac-(-4>/3)2 -4x1x10= 48-4C = 8>0所以2x12所以珂=+ 2,無匚 2擊 一 J2原方程可化為 廠-& - -1因?yàn)?a=1, b = _2& , c=2原方程可化為二一 -:=-1因?yàn)?a=

5、1, “ = 爸，c= 1所以”-4加=卜20)2-4燈心卜12所以所以X=、遼+、扛,西=丘廠J5總結(jié):(1) 用求根公式法解一兀二次方程首先將方程化為一般形式；如果二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù) 數(shù)，通常將其化為正數(shù)；如果方程的系數(shù)含有分母，通常先將其化為整數(shù)，求出的根要 化為最簡(jiǎn)形式；(2) 用求根公式法解方程按步驟進(jìn)行.例2、用適當(dāng)方法解下列方程：1 g丄岔彳一 02_2x 二 224 J2遲二 0 -21 = 0?+23+73+23 = 0(3_"+F=9 二 1 二分析：要合理地選用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠?，就必須熟悉各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，處理好 特殊方法和一般方法的關(guān)系。就直接開平方法、配

6、方法、公式法、因式分解法這四種方 法而言，配方法、公式法是一般方法，而開平方法、因式分解法是特殊方法。 公式法是最一般的方法，只要明確了二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，若方 程有實(shí)根，就一定可以用求根公式求出根，但因?yàn)橐胍辉畏匠痰那蟾?-0 土 J護(hù)-4恥上求值，所以對(duì)某些方程，解法又顯得復(fù)雜了。如，可以直接開平方，就能馬上得出解；若此時(shí)還用求根公式就顯得繁瑣了。配方法是一種非常重要的方法，在解一元二次方程時(shí)，一般不使用，但并不是 一定不用，若能合理地使用，也能起到簡(jiǎn)便的作用。若方程中的一次項(xiàng)系數(shù)有因數(shù)是偶 數(shù)，則可使用，計(jì)算量也不大。如，因?yàn)?224比較大，分解時(shí)較繁，此題中一次

7、項(xiàng)系 數(shù)是-2 。 可以利用用配方法來解，經(jīng)過配方之后得到?-2x+l= 224+1 =>(x-l)2 = 225,顯得很簡(jiǎn)單I直接開平方法一般解符合 佩=c（a工°）型的方程，如第小題因式分解法是一種常用的方法，它的特點(diǎn)是解法簡(jiǎn)單，故它是解題中首先考慮 的方法，若一元二次方程的一般式的左邊不能分解為整數(shù)系數(shù)因式或系數(shù)較大難以分解 時(shí)，應(yīng)考慮變換方法。町+驢二2 解：2 '（X+卯=4兩邊開平方，得 x+3 二 ±2所以忑1 = 一 X）二-、：.' 二-二丨配方，得；一二1 一一配方，得Qr-757=6所以-所以= +- 二亠一_； I=4 + 20

8、=24H+20+血+蔚二 0/+2(1+擊)“-2曲配方:H + 2(1+Q X+(1 + 希)2 二 一2羽+(1+73)2x+(l±®=4所以x+(l+£)二 ±2所以1 一丄 1-一匸;解：當(dāng)a=O時(shí)，原方程有實(shí)根為(-卯-4總即涎?時(shí),若a工0時(shí)，當(dāng)-原方程有兩個(gè)實(shí)根(3寸+F=9 整理，得F-乞二01(1-3) = 0所以<-移項(xiàng)，提公因式，得-. 1 1-例3、已知關(guān)于x的方程ax2 3x+ 1=0有實(shí)根，求a的取值范圍(x-l)(x+2) = 0所以二小結(jié):以上各題請(qǐng)同學(xué)們用其他方法做一做，再比較各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，體會(huì)如何選用合適的方

9、法，下面給出常規(guī)思考方法，僅作參考。r符合0(乂 + 2 = n(a求0):直接開平方法，如 一個(gè)一元二諛方程彳各項(xiàng)有公因式，或可直接因式分解匕因式分解袪，如I化天一股形式后：首先要著慮因式分解法，如若常數(shù)項(xiàng)分解較煩，且一次項(xiàng)系數(shù)有因數(shù) 是偶數(shù),可考慮使用配方法.如最后使用公式陸，如故，綜上所述a的取值范圍是.小結(jié)：此題要分方程ax2 3x+仁0為一元一次方程和一元二次方程時(shí)討論，即分當(dāng)a=0與a工0兩種情況.例4、已知一元二次方程 x2 4x + k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(1) 求k的取值范圍；(2) 如果k是符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程x2 4x + k=0與x2 + mx仁0有

10、一個(gè)相同的根，求此時(shí)m的值.解：(1)因?yàn)榉匠蘹2 4x+ k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以 b2 4ac=16 4k>0，得 k<4.(2)滿足k<4的最大整數(shù)，即k=3.此時(shí)方程為x2 4x + 3=0,解得xi=1, X2=3.x=3時(shí)，貝V 9+ 3 m-仁0,得當(dāng)相同的根為x=1時(shí)，則1 + m-仁0,得m=0當(dāng)相同的根為8所以m的值為0或 了例5、設(shè)m為自然數(shù)，且3<m<4Q方程X 02用加+ 4唧一14轉(zhuǎn)+ 8二°有兩個(gè)整數(shù)根求m的值及方程的根。解：F -2(2熾-$x+4牌'-14耀+ 8二 0A 二 4(2別驢(4" 14豹+幼二 4(加+1)方程有整數(shù)根， 4 ( 2m 1)是完全平方數(shù)。/ 3<m<40 7<2m 1<81 2m 1值可以為9, 25, 49 m的值可以為4, 12, 24。當(dāng)m=4時(shí)方程