立體幾何中與球有關的“內切” 與“ 外接”問題的研究

1、立體幾何中與球有關的“內切” 與“ 外接”問題的研究縱觀近幾年高考對于組合體的考查，重點放在與球相關的外接與內切問題上.要求學生有較強的空間想象能力和準確的計算能力，才能順利解答.從實際教學來看，這部分知識是學生掌握最為模糊，看到就頭疼的題目.分析原因，除了這類題目的入手確實不易之外，主要是學生沒有形成解題的模式和套路，以至于遇到類似的題目便產生畏懼心理.本文就高中階段出現(xiàn)這類問題加以類型的總結和方法的探討.1 球與柱體規(guī)則的柱體，如正方體、長方體、正棱柱等能夠和球進行充分的組合，以外接和內切兩種形態(tài)進行結合，通過球的半徑和棱柱的棱產生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關問題.1.1 球

2、與正方體發(fā)現(xiàn)，解決正方體與球的組合問題，常用工具是截面圖，即根據組合的形式找到兩個幾何體的軸截面，通過兩個截面圖的位置關系，確定好正方體的棱與球的半徑的關系，進而將空間問題轉化為平面問題.例 1 棱長為1的正方體的8個頂點都在球的表面上，分別是棱，的中點，則直線被球截得的線段長為（ ）A B CD1.2 球與長方體長方體各頂點可在一個球面上，故長方體存在外切球.但是不一定存在內切球.設長方體的棱長為其體對角線為.當球為長方體的外接球時，截面圖為長方體的對角面和其外接圓，和正方體的外接球的道理是一樣的，故球的半徑例 2 在長、寬、高分別為2，2，4的長方體內有一個半徑為1的球，任意擺動此長方體，

3、則球經過的空間部分的體積為( )A.B.4C.D.1.3 球與正棱柱例3 正四棱柱的各頂點都在半徑為的球面上，則正四棱柱的側面積有最 值，為 .2 球與錐體規(guī)則的錐體，如正四面體、正棱錐、特殊的一些棱錐等能夠和球進行充分的組合，以外接和內切兩種形態(tài)進行結合，通過球的半徑和棱錐的棱和高產生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關問題.2.1 球與正四面體解得：這個解法是通過利用兩心合一的思路，建立含有兩個球的半徑的等量關系進行求解.同時我們可以發(fā)現(xiàn)，球心為正四面體高的四等分點.如果我們牢記這些數(shù)量關系，可為解題帶來極大的方便.例4 將半徑都為的四個鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個正四面

4、體的高的最小值為 ( )A. B. 2+ C. 4+ D. 球的外切正四面體，這個小球球心與外切正四面體的中心重合，而正四面體的中心到頂點的距離是中心到地面距離的3倍.2.2 球與三條側棱互相垂直的三棱錐球與三條側棱互相垂直的三棱錐組合問題，主要是體現(xiàn)在球為三棱錐的外接球.解決的基本方法是補形例5 在正三棱錐中，分別是棱的中點，且,若側棱,則正2.3 球與正棱錐 球與正棱錐的組合，常見的有兩類，一是球為三棱錐的外接球，此時三棱錐的各個頂點在球面上，根據截面圖的特點，可以構造直角三角形進行求解.二是球為正棱錐的內切球，例如正三棱錐的內切球，球與正三棱錐四個面相切，球心到四個面的距離相等，都為球半

5、徑這樣求球的半徑可轉化為球球心到三棱錐面的距離，故可采用等體積法解決，即四個小三棱錐的體積和為正三棱錐的體積.例6 在三棱錐PABC中，PAPB=PC=,側棱PA與底面ABC所成的角為60°，則該三棱錐外接球的體積為（ ） A B. C. 4D.接球的球心,則.例7 矩形中，沿將矩形折成一個直二面角,則四面體的外接球的體積是( )A. B. C. D.3 球與球對個多個小球結合在一起，組合成復雜的幾何體問題，要求有豐富的空間想象能力，解決本類問題需掌握恰當?shù)奶幚硎侄?，如準確確定各個小球的球心的位置關系，或者巧借截面圖等方法，將空間問題轉化平面問題求解.4 球與幾何體的各條棱相切球與幾何體的各條棱相切問題，關鍵要抓住棱與球相切的幾何性質，達到明確球心的位置為目的，然后通過構造直角三角形進行轉換和求解.如與正四面體各棱都相切的球的半徑為相對棱的一半：.例8 把一個皮球放入如圖10所示的由8根長均為20 cm的鐵絲接成的四綜合上面的四種類型，解決與球的外切問題主要是指球外切多面體與旋轉體，解答時首先要找準切點，通過作截面來解決.如果外切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作；把一個多面體的幾個頂點放在球面上即為球的內接問題解決這類問題的關鍵是抓住內接的特點，即