直線與圓的位置關(guān)系

1、4.2 直線、圓的位置關(guān)系4.2.1 直線與圓的位置關(guān)系 點到直線的距離公式，圓的標準方程和一般方點到直線的距離公式，圓的標準方程和一般方程分別是什么？程分別是什么？ 下面我們以太陽的起下面我們以太陽的起落為例落為例.以藍線為水平以藍線為水平線線,圓圈為太陽圓圈為太陽!注意觀察注意觀察!1.1.理解直線與圓的位置的種類理解直線與圓的位置的種類. .（重點）（重點）2.2.利用平面直角坐標系中點到直線的距離公式求圓心利用平面直角坐標系中點到直線的距離公式求圓心到直線的距離到直線的距離. .（重點、難點）（重點、難點）3.3.會用點到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系會用點到直線的距離來判斷直線與

2、圓的位置關(guān)系. .（難點）（難點）1.1.直線直線4x+3y=404x+3y=40和圓和圓x x2 2+y+y2 2=100=100的位置關(guān)系是的位置關(guān)系是( () )A.A.相交相交B.B.相切相切C.C.相離相離D.D.無法確定無法確定【解析【解析】選選A.A.因為因為 所以直線與圓相交所以直線與圓相交. .22|4 03 040|d8 10r,43 一、預習檢測2.2.若直線若直線x+y+mx+y+m=0=0與圓與圓x x2 2+y+y2 2=m=m相切，則相切，則m m為為( () )A.0A.0或或2 2B.2B.2C. C. D.D.無解無解【解析【解析】選選B.B.由圓心到直線的

3、距離為半徑得由圓心到直線的距離為半徑得 所以所以m=2m=2，故選，故選B.B.2mm2，一、預習檢測3.3.已知已知P=(xP=(x，y)|x+yy)|x+y=2=2，Q=(xQ=(x，y)|xy)|x2 2+y+y2 2=2=2，那么那么PQPQ為為( () )A.A.B.(1B.(1，1)1)C.(1C.(1，1)1)D.(-1D.(-1，-1)-1)【解析【解析】選選C.C.解方程組解方程組 22x1,xy2,y1.xy2,得一、預習檢測4.4.直線直線x=1x=1與圓與圓(x+1)(x+1)2 2+y+y2 2=1=1的位置關(guān)系是的位置關(guān)系是_._.【解析【解析】因為圓心因為圓心(-

4、1(-1，0)0)到直線到直線x=1x=1的距離的距離d=21d=21，所，所以直線以直線x=1x=1與圓與圓(x+1)(x+1)2 2+y+y2 2=1=1相離相離. .答案：答案：相離相離一、預習檢測5.5.直線與圓相交，圓的半徑為直線與圓相交，圓的半徑為r r，且直線到圓心的距離，且直線到圓心的距離為為5 5，則，則r r與與5 5的大小關(guān)系為的大小關(guān)系為_._.【解析【解析】因為直線與圓相交，所以因為直線與圓相交，所以drdr，即，即5r.55r5一、預習檢測1.1.直線和圓只有一個公共點直線和圓只有一個公共點, ,叫做叫做直線和圓相切直線和圓相切. .2.2.直線和圓有兩個公共點直線

5、和圓有兩個公共點, ,叫做叫做直線和圓相交直線和圓相交. .3.3.直線和圓沒有公共點時直線和圓沒有公共點時, ,叫做叫做直線和圓相離直線和圓相離. .1. 直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系二、知識梳理o圓心圓心O O到直線到直線l的距離的距離d dl半徑半徑r r1.1.直線直線l和和O O相離相離, ,此時此時d d與與r r大小關(guān)系為大小關(guān)系為_drdr提示：提示：lo圓心圓心O O到直線到直線l的距離的距離d d半徑半徑r r2.2.直線直線l和和O O相切相切, ,此時此時d d與與r r大小關(guān)系為大小關(guān)系為_ld=rd=ro圓心圓心O O到直線到直線l的距離的距離d d半徑半徑

6、r r3.3.直線直線l和和O O相交相交, ,此時此時d d與與r r大小關(guān)系為大小關(guān)系為_ldrd rd = rd 0)(r0)二、知識梳理2.2.利用直線與圓的公共點的個數(shù)進行判斷：利用直線與圓的公共點的個數(shù)進行判斷：2220()()設(shè)設(shè)方方程程組組消消元元所所得得一一元元二二次次方方程程的的解解的的個個數(shù)數(shù)為為AxByCxaybrn 直線與圓相離直線與圓相離直線與圓相切直線與圓相切直線與圓相交直線與圓相交n=0n=1n=20二、知識梳理直線直線l:x:x=0=0與圓與圓x x2 2+y+y2 2=1=1的位置關(guān)系是的位置關(guān)系是( () )A.A.相切相切 B.B.相交不過圓心相交不過圓

7、心C.C.相交且過圓心相交且過圓心 D.D.相離相離【即時訓練即時訓練】C C類型一：直線與圓位置關(guān)系的判斷類型一：直線與圓位置關(guān)系的判斷【典例【典例1 1】求實數(shù)求實數(shù)k k的取值范圍，使直線的取值范圍，使直線l：y=kx+2y=kx+2與圓與圓M M：x x2 2+y+y2 2=1.=1.(1)(1)相離；相離； (2) (2)相切；相切； (3) (3)相交相交. .三、例題講解類型一：直線與圓位置關(guān)系的判斷類型一：直線與圓位置關(guān)系的判斷【典例【典例1 1】求實數(shù)求實數(shù)k k的取值范圍，使直線的取值范圍，使直線l：y=kx+2y=kx+2與圓與圓M M：x x2 2+y+y2 2=1.=

8、1.(1)(1)相離；相離；(2)(2)相切；相切； (3) (3)相交相交. .三、例題講解【解析【解析】方法一方法一( (代數(shù)法代數(shù)法) )：將將y=kx+2y=kx+2代入代入x x2 2+y+y2 2=1=1，得，得(k(k2 2+1)x+1)x2 2+4kx+3=0+4kx+3=0，=(4k)=(4k)2 2-4(k-4(k2 2+1)+1)3=4(k3=4(k2 2-3).-3).(1)(1)當當l與圓與圓M M相離時，相離時，00，即，即k k2 2-30.-300，即，即k k2 2-30.-30.即即 3.k3k3. 或方法二方法二( (幾何法幾何法) )：圓心圓心M(0M(

9、0，0)0)到直線到直線y-kx-2=0y-kx-2=0的距離的距離d= d= 當當d1d1時，即時，即 1 k 或或k- k1d1時，即時，即 11- k - krdr時，直線與圓相離；當時，直線與圓相離；當d=rd=r時，直線與圓時，直線與圓相切；當相切；當drdr時，直線與圓相交時，直線與圓相交. .(2)(2)代數(shù)法代數(shù)法：把直線方程與圓的方程聯(lián)立成把直線方程與圓的方程聯(lián)立成方程組方程組；利用消元法，得到一元二次方程；利用消元法，得到一元二次方程；求出其求出其的值，比較的值，比較與與0 0的大小，得出結(jié)論的大小，得出結(jié)論. .類型二：圓的切線問題類型二：圓的切線問題【典例【典例2 2】

10、求與直線求與直線y=x+2y=x+2平行且與圓平行且與圓(x-2)(x-2)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=8=8相切相切的直線的方程的直線的方程. .三、例題講解【解析【解析】設(shè)直線的方程為設(shè)直線的方程為y=x+my=x+m，即，即x-y+mx-y+m=0.=0.(x-2)(x-2)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=8=8的圓心坐標為的圓心坐標為(2(2，3)3)，半徑為，半徑為 由由 得得m=5m=5或或m=-3m=-3，所以直線的方程為所以直線的方程為y=x+5y=x+5或或y=x-3.y=x-3.23m2 2,2 2 2.【延伸探究【延伸探究】1.(1.(變換條件變換條件)

11、)若將本例中條件若將本例中條件“與直線與直線y=x+2y=x+2平行平行”換為換為“與直線與直線y=x+2y=x+2垂垂直直”且且與圓與圓(x-2)(x-2)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=8=8相切的直線的相切的直線的方程方程【解析【解析】設(shè)所設(shè)所v v為為y=-x+my=-x+m，即，即x+y-mx+y-m=0=0，由由 得得m=1m=1或或m=9m=9，故切線方程為故切線方程為y=-x+1y=-x+1或或y=-x+9.y=-x+9.23m2 2,2 2.(2.(變換條件變換條件) )若將本例中條件若將本例中條件“與直線與直線y=x+2y=x+2平行平行”換換為為“求過點求過點P(5

12、P(5，1)”1)”且且與圓與圓(x-2)(x-2)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=8=8相切的直線相切的直線的方程的方程？【解析【解析】設(shè)所求切線方程為設(shè)所求切線方程為y-1=k(x-5)y-1=k(x-5)即即kx-y-5k+1=0.kx-y-5k+1=0.由由 得得k=-6k=-62 .2 .故所求切線方程為故所求切線方程為(-6+2 )x-y+31-10 =0(-6+2 )x-y+31-10 =0或或(-6-2 )x-y+31+10 =0.(-6-2 )x-y+31+10 =0.22k35k12 2.k1 1010101010【變式練習變式練習】D D【規(guī)律總結(jié)【規(guī)律總結(jié)】圓的切

13、線方程的兩種求解方法圓的切線方程的兩種求解方法(1)(1)幾何法幾何法：設(shè)出切線的方程，利用圓心到直線的距離等：設(shè)出切線的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，求出未知量的值于半徑，求出未知量的值, ,此種方法需要注意此種方法需要注意斜率不存在斜率不存在的情況的情況，要單獨驗證，若符合題意則直接寫出切線方程，要單獨驗證，若符合題意則直接寫出切線方程. .(2)(2)代數(shù)法：設(shè)出直線的方程后與圓的方程聯(lián)立消元，代數(shù)法：設(shè)出直線的方程后與圓的方程聯(lián)立消元，利用利用=0=0求未知量的值求未知量的值. .若消元后的方程是一元一次方若消元后的方程是一元一次方程，則說明要求的兩條切線中有一條直線的斜率不存程

14、，則說明要求的兩條切線中有一條直線的斜率不存在，可直接寫出切線的方程在，可直接寫出切線的方程. .(2)(2)代數(shù)法：設(shè)出直線的方程后與圓的方程聯(lián)立消元，代數(shù)法：設(shè)出直線的方程后與圓的方程聯(lián)立消元，利用利用=0=0求未知量的值求未知量的值. .若消元后的方程是一元一次方若消元后的方程是一元一次方程，則說明要求的兩條切線中有一條直線的斜率不存程，則說明要求的兩條切線中有一條直線的斜率不存在，可直接寫出切線的方程在，可直接寫出切線的方程. .例例3 3 已知過點已知過點M M（-3-3，-3-3）的直線）的直線l被圓被圓x x2 2+y+y2 2+4y-21=0+4y-21=0所截得的弦長為所截得

15、的弦長為 ，求直線，求直線l的方程的方程. .解：解：將圓的方程寫成標準形式，得將圓的方程寫成標準形式，得x x2 2+(y+2)+(y+2)2 2=25,=25,所以，圓心的坐標是（所以，圓心的坐標是（0 0，-2-2）, ,半徑長半徑長r=5.r=5. 如圖，因為直線如圖，因為直線l被圓所截得被圓所截得的弦長是的弦長是 ，所以弦心距為，所以弦心距為即圓心到所求直線即圓心到所求直線l的距離為的距離為 . .三、例題講解 因為直線因為直線l過點過點M M（-3-3，-3-3），所以可設(shè)所求直），所以可設(shè)所求直線線l的方程為的方程為y+3=k(x+3),y+3=k(x+3),即即kx-y+3k-

16、3=0.kx-y+3k-3=0. 根據(jù)點到直線的距離公式，得到圓心到直線根據(jù)點到直線的距離公式，得到圓心到直線l的距離的距離 因此，因此，即即 兩邊平方，并整理得到兩邊平方，并整理得到 2k2k2 2-3k-2=0,-3k-2=0,解得解得k= k= ，或，或k=2.k=2. 所以，所求直線所以，所求直線l有兩條，它們的方程分別為有兩條，它們的方程分別為y+3= (x+3),y+3= (x+3),或或 y+3=2(x+3).y+3=2(x+3).即即x+2y+9=0,x+2y+9=0,或或 2x-y+3=0.2x-y+3=0.小結(jié)：小結(jié)：位置位置關(guān)系關(guān)系幾何特征幾何特征方程特征方程特征幾何法幾

17、何法代數(shù)法代數(shù)法相交相交有兩個公共點有兩個公共點方程組有兩個不同實根方程組有兩個不同實根drd00相切相切有且只有一公共點有且只有一公共點方程組有且只有一實根方程組有且只有一實根d=rd=r=0=0相離相離沒有公共點沒有公共點方程組無實根方程組無實根drdr001.2.3.直線與圓相交，求弦長問題時，我們經(jīng)常抓住直線與圓相交，求弦長問題時，我們經(jīng)常抓住半徑半徑、半弦半弦、弦心距弦心距構(gòu)成的構(gòu)成的直角三角形直角三角形求解求解. 注意數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、運動變化觀點的注意數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、運動變化觀點的綜合運用。綜合運用。 直線直線Ax+By+CAx+By+C=0(A,B=0(A,B不同

18、時為零不同時為零) )和圓和圓(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2, ,則圓心則圓心( (a,ba,b) )到此直線的距離為到此直線的距離為22|AaBbCdABdrdrdrd d與與r r2 2個個1 1個個0 0個個交點個數(shù)交點個數(shù)圖形圖形相交相交相切相切相離相離位置位置rdrdrd則有以下關(guān)系：則有以下關(guān)系：求圓心坐標及半徑求圓心坐標及半徑r r（配方法）（配方法） 圓心到直線的距離圓心到直線的距離d d （點到直線距離公式）（點到直線距離公式） 消去消去y y判斷直線和圓的位置關(guān)系判斷直線和圓的位置關(guān)系幾何方法幾何方法代數(shù)方法代數(shù)方法拓展類型：與弦長有

19、關(guān)的最值問題拓展類型：與弦長有關(guān)的最值問題【典例【典例】(1)(1)已知圓已知圓C C：(x-1)(x-1)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=25=25，直線，直線l：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(mR).(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(mR).證明不論證明不論m m取什么實數(shù)，直線取什么實數(shù)，直線l與圓恒交于兩點與圓恒交于兩點. .求直線被圓求直線被圓C C截得的弦長最短時截得的弦長最短時l的方程的方程. .(2)(2)已知直線已知直線l：kx-y-3k=0kx-y-3k=0；圓；圓M M：x x2 2+y+y2 2-8x-2y+9=0.-8x-2y+9=0.求

20、證：直線求證：直線l與圓與圓M M必相交；必相交；當圓當圓M M截截l所得弦最長時，求所得弦最長時，求k k的值的值. .當圓當圓M M截截l所得弦最短時，求所得弦最短時，求k k的值的值. .1.1.若直線若直線x-y+ax-y+a=0=0與圓與圓x x2 2+y+y2 2=a=a相切相切, ,則則a a等于等于( () )A.2A.2或或0 0B.B.C.2C.2D.4D.42C C2.(20152.(2015武威高一檢測武威高一檢測) )直線直線y=x+1y=x+1與圓與圓x x2 2+y+y2 2=1=1的的位置關(guān)系是位置關(guān)系是( () )A.A.相切相切 B.B.相交但直線不過圓心相交但直線不過圓心C.C.直線過圓心直線過圓心 D.D.相離相離B BD DC C5.5.已知圓的方程為已知圓的方程為x x2 2+y+y2 2=4,=4,則經(jīng)過點則經(jīng)過點(2,0)(2,0)的圓的切線的圓的切線方程是方程是 . .【解析解析】顯然點顯然點(2,0)(2,0)在圓上在圓上, ,可求得過此點的圓的切可求得過此點的圓的切線方程為線方程為x=2,x=2,即即x-2=0