(完整版)用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式匯總

1、用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式上海外國語大學(xué)嘉定外國語實(shí)驗(yàn)學(xué)校徐紅潔在高中數(shù)學(xué)教材中，有很多已知等差數(shù)列的首項(xiàng)、公比或公差 (或者通過計算可以求出數(shù)列的首項(xiàng) ,公比 ),來求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 但實(shí)際上有些數(shù)列并不是等差、等比數(shù)列 ,給出數(shù)列的首項(xiàng)和遞推公式 ,要求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。而這些題目往往可以用構(gòu)造法，根據(jù)遞推公式構(gòu)造出一個新數(shù)列，從而間接地求出原數(shù)列的通項(xiàng)公式。對于不同的遞推公式，我們當(dāng)然可以采用不同的方法構(gòu)造不同的類型的新數(shù)列。下面給出幾種我們常見的構(gòu)造新數(shù)列的方法：一利用倒數(shù)關(guān)系構(gòu)造數(shù)列。例如： 數(shù)列 an 中，若 a12, 114(n N ), 求 anan 1an設(shè) bn1,則 bn

2、 1 bn +4,an即 bn 1bn ， bn 是等差數(shù)列?？梢酝ㄟ^等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出bn ,然再求后數(shù)列 a n 的通項(xiàng)。練習(xí)： 1)數(shù)列 ann1, an 11, (nn中， a 0，且滿足 a121N ), 求 a3an2)數(shù)列 a n 中， a11,an 12an, 求 an 通項(xiàng)公式。an23)數(shù)列 a n 中, a11, an0, 且an2an an1an10(n2,n N ), 求 an.二構(gòu)造形如 bnan2 的數(shù)列。例：正數(shù)數(shù)列 an 中，若 a15, an12an24(nN ),求 an解：設(shè) bnan2,則bn1bn4,即 bn1bn4數(shù)列 bn 是等差數(shù)列，公差是

3、4， b1225a1bn25( n1)(4)294n即 an24n29an294n , (1n7, nN )練習(xí)：已知正數(shù)數(shù)列 an 中， a12, an2an 1 (n2, nN ) ,求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。三構(gòu)造形如 bnlg an 的數(shù)列。例：正數(shù)數(shù)列 an中，若 11lg an 1 ,( n2, nN ),求 an.a =10,且 lg an2解：由題意得：lg an1， 可設(shè) bnlg an，lg an21即bn 1 ,bn 121bn是等比數(shù)列，公比為1 ， b1 lg 10 12bn 1 ( 1) n 1(1) n 1, (n N) .22( 1 ) n 1即 lg a n(

4、 1 ) n 1 , a n 10 22練習(xí)：（選自 2002 年高考上海卷）數(shù)列 an中，若12,n是正整數(shù)，求數(shù)列n的通項(xiàng)公式。a =3, an 1an a四構(gòu)造形如 bnanm 的數(shù)列。例：數(shù)列 an 中，若 a1=6,an+1=2an+1,求數(shù)列 a n 的通項(xiàng)公式。解： an+1n即n+1（ n）設(shè) bn+1=2a +2,a+1=2a +1n則nn-1= a +1,b= 2 b首項(xiàng) = a +1 7,則數(shù)列 b n是等比數(shù)列，公比是2,bb7 2n 1,即 an1 7 2 n 1nan7 2n 11 ， ( n N )構(gòu)造此種數(shù)列，往往它的遞推公式形如：an 1c and, (c1)

5、和 Snann2的形式 。n+1nn+1n如： ac a +d,設(shè)可化成 a+x=c(a +x),n+1na=c a +(c-1)x用待定系數(shù)法得：(c-1)xd x= d . c 1又如： n+an=n+2,則n-1+an-1=n+1,二式相減得： n n-1 +a nan-1 =，即 a n +a nan-1 =， 2 a n an-1=，an=1 an-11 .2+2 1如上提到 bn = a n1d = a n 1練習(xí)： 1. 數(shù)列 a n滿足cn求nn+1a=3a +2,a2.數(shù)列 an 滿足 n+an=2n+1, 求 an五構(gòu)造形如 bnan 1an 的數(shù)列。例：數(shù)列 an 中，若

6、 a1=， a=3,an+2 + 4 an+1 - 5an=0 (nN),求 an。解： an+2n+1n得：n+2 n+1（ nn ）+ 4 a - 5a =0aa = - 5aa設(shè) bn = an an，則數(shù)列 b n 是等比數(shù)列，公比是 -5,首項(xiàng) b = a2 - a12,an an=2?(-5)n-1即 a a=2?(-5) a a =2?(-5)a a =2?(-5)an an =2?(-5)n-2以上各式相加得： an a =2?（-5） (-5) (-5) （ -5）n-12即： an a =2?1 （n 15）1( 5)an1 1 ( 5) n 1，即 an4( 5)n 1，

7、（n N )33 a然后用當(dāng)遞推公式中， a與 a 的系數(shù)相同時， 我們可構(gòu)造 b = annnnn，疊加法得： b1 2 34nn 1+b +b +b +b= a -a通過求出數(shù)列 bn前 n-1 項(xiàng)和的方法，求出數(shù)列 a n 的通項(xiàng)公式。1) 當(dāng)遞推公式中形如 :n+1n+an+b ;n+1nnn+1=anna=aa=a +q (q 1) ;a+q +an+b 等情形時，可以構(gòu)造 bnn n得n；nnnn。= aa , :b= an+bb = q ;b =q+an+b求出數(shù)列前 n-1 項(xiàng)的和 Tn-1,Tn-1=a(n1)n2(n 1)b ;Tn-1= q(1q n1 ) ；1qTn-1

8、q(1q n1 )a(n1) n(n1)b=1q+2即：na(n1)nn1)b;aa =2(n= q(1qn 1 )aaq1n = a(n1)na a2從而求出na( n1)n(a =a+2q n 1 )n+ q(1;a = a1qn+ a( n1)n(a =a2;(n 1)b + q(1q n 1 )1qn 1)b ;n 1)b + q(1q n 1 ) 。1q2）當(dāng)遞推公式中形如 :a=a +1；a=a +1； a=a+1等情形n+1n1)n+1n（2n1)n+1nn1n(n1）(2nn可以構(gòu)造 bnn n 得： n1；bn=1；bn=1= aa ,:b =n(n1)1）(2n1)n 1（

9、2nnn11n111nn 1n即 b=n；b= (2n12n) ； b=n121從而求出求出數(shù)列前 n-1 項(xiàng)的和 Tn-1111,Tn-1；Tn-1)；Tn-1=n1=1n= (12n21即：an=11;anana= 1 (11) ;22n13an a=n1從而求出an+11;=anan= a+ 1 (11) ;22n1an =a+n1，n+1n求通項(xiàng) n.練習(xí)： 1）數(shù)列 an中，若1a =1a-a =2n,a2）數(shù)列 an 中，若 a1=1， an+1 -a n=2n,求通項(xiàng) an.3) 數(shù)列 a n 中，若 a1=2， an1an 2nn ，求通項(xiàng) an.六構(gòu)造形如 bnan1的形式。

10、an例：數(shù)列 a n 中，若 a1=1， (n1)an 1nan ，求 an.解：由 (n1)an1nan得： an1nnan1a21，a32，a2a23aa1用累乘法把以上各式相乘得：an1a1n43， ann 14an 1n3 an1 。nq n an ； (n當(dāng)遞推公式形如： an1)an1nan ； na n 1(n 1)an 等形式，我們可以構(gòu)造 bnan 1。an可得 :bnqn ; bnnn ; bnn 1 .1n然后用疊乘法得： b1b2 b3bn1an。令數(shù)列 b n的前項(xiàng)的積為a1n-1An-1 則,n( n1)1 ; An 11An 1q 2； An 1nnann ( n

11、 1)an1an1從而得到：q2；a1；na1na1n( n1)a1 1 ； ana1 1 。an a1 q 2； annn2n a練習(xí)： 1）數(shù)列 a n中，若1， ann，求 an.a =2七構(gòu)造形如 bnan 1man 的形式。例：數(shù)列 a n中，1，nn-1，求n.a =2 S =4a+1a解： nn-1n-1n-2S =4a+1，S=4a+1二式相減： nn-1n-1n-2S -S=4a -4ann-1n-2a =4a-4aan -2an-1=2（ an-1-an-2）設(shè) bn=an+1-2an，4當(dāng) 遞 推 公 式 形 如 Sn+1=4an+2;an+2=pan+1+qan(p+q=1)等形式時，因a -2a=2(a-2a );a-a =(p-1)(a-a ),nn+1n+1n n+2n+1n+1n我們構(gòu)造 bn=an+1-2an; bn=an+1-an,由等比數(shù)列知識得 bn2n-12 1·n-11 ·n=(a -a ) 2; b =(a -a ) (p-1)從