電磁場(chǎng)與電磁波(西電)第1章ppt課件

1、第一章 矢量分析 第一章 矢量分析 1.1 場(chǎng)的概念場(chǎng)的概念 1.2 標(biāo)量場(chǎng)的方導(dǎo)游數(shù)和梯度標(biāo)量場(chǎng)的方導(dǎo)游數(shù)和梯度 1.3 矢量場(chǎng)的通量和散度矢量場(chǎng)的通量和散度 1.4 矢量場(chǎng)的環(huán)量和旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量和旋度 1.5 圓柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系 1.6 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理 第一章 矢量分析 1.1 場(chǎng)的概念場(chǎng)的概念 1.1.1 矢性函數(shù)矢性函數(shù) 在二維空間或三維空間內(nèi)的任一點(diǎn)P， 它是一個(gè)既存在大小(或稱為模)又有方向特性的量，故稱為實(shí)數(shù)矢量，用黑體A表示，而白體A表示A的大小(即A的模)。假設(shè)用幾何圖形表示，它是從該點(diǎn)出發(fā)畫一條帶有箭頭的直線段，直線段的長度表示矢量A的模，

2、箭頭的指向表示該矢量A的方向。矢量一旦被賦予物理單位，便成為具有物理意義的矢量， 如電場(chǎng)強(qiáng)度E、磁場(chǎng)強(qiáng)度H、速度v等等。 第一章 矢量分析 假設(shè)某一矢量的模和方向都堅(jiān)持不變， 此矢量稱為常矢，如某物體所遭到的重力。而在實(shí)踐問題中遇到的更多的是模和方向或兩者之一會(huì)發(fā)生變化的矢量，這種矢量我們稱為變矢，如沿著某一曲線物體運(yùn)動(dòng)的速度v等。 設(shè)t是一數(shù)性變量，A為變矢，對(duì)于某一區(qū)間Ga, b內(nèi)的每一個(gè)數(shù)值t, A都有一個(gè)確定的矢量A (t)與之對(duì)應(yīng)，那么稱A為數(shù)性變量t的矢性函數(shù)。記為 )(tAA 第一章 矢量分析 而G為A的定義域。矢性函數(shù)A(t)在直角坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)分量都是變量t的函數(shù)，分別為

3、Ax(t)、Ay(t)、Az(t)，那么矢性函數(shù)A (t)也可用其坐標(biāo)表示為 zzyyxxetAetAetAA)()()(其中ex、ey、ez為x軸、y軸、z軸正向單位矢量。 第一章 矢量分析 1.1.2 標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng) 假設(shè)在某一空間區(qū)域內(nèi)的每一點(diǎn)，都對(duì)應(yīng)著某個(gè)物理量的一個(gè)確定的值，那么稱在此區(qū)域內(nèi)確定了該物理量的一個(gè)場(chǎng)。換句話說， 在某一空間區(qū)域中，物理量的無窮集合表示一種場(chǎng)。如在教室中溫度的分布確定了一個(gè)溫度場(chǎng)，在空間電位的分布確定了一個(gè)電位場(chǎng)。場(chǎng)的一個(gè)重要的屬性是它占有一定空間，而且在該空間域內(nèi)， 除有限個(gè)點(diǎn)和外表外，其物理量應(yīng)是處處延續(xù)的。假設(shè)該物理量與時(shí)間無關(guān)，那么該

4、場(chǎng)稱為靜態(tài)場(chǎng)； 假設(shè)該物理量與時(shí)間有關(guān)，那么該場(chǎng)稱為動(dòng)態(tài)場(chǎng)或稱為時(shí)變場(chǎng)。 第一章 矢量分析 在研討物理系統(tǒng)中溫度、 壓力、 密度等在一定空間的分布形狀時(shí)，數(shù)學(xué)上只需用一個(gè)代數(shù)變量來描畫， 這些代數(shù)變量(即標(biāo)量函數(shù))所確定的場(chǎng)稱為標(biāo)量場(chǎng)， 如溫度場(chǎng)T(x, y, z)、電位場(chǎng)(x, y, z)等。然而在許多物理系統(tǒng)中， 其形狀不僅需求確定其大小，同時(shí)還需確定它們的方向，這就需求用一個(gè)矢量來描畫， 因此稱為矢量場(chǎng)，例如電場(chǎng)、磁場(chǎng)、流速場(chǎng)等等。 第一章 矢量分析 標(biāo)量場(chǎng)(x, y, z)的等值面方程為 .),(constzyx圖 1-1 矢量場(chǎng)的矢量線 zzyyxAdAdAdx第一章 矢量分析 例例

5、1-1 求數(shù)量場(chǎng)求數(shù)量場(chǎng) =(x+y)2-z經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)M(1, 0, 1)的等值面方程。的等值面方程。 解：點(diǎn)解：點(diǎn)M的坐標(biāo)是的坐標(biāo)是x0=1, y0=0, z0=1，那么該點(diǎn)的數(shù)量場(chǎng)值為，那么該點(diǎn)的數(shù)量場(chǎng)值為=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程為。其等值面方程為 22)(0)(yxzzyx或 第一章 矢量分析 例例1-2 求矢量場(chǎng)求矢量場(chǎng)A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量線方程。的矢量線方程。解：解： 矢量線應(yīng)滿足的微分方程為矢量線應(yīng)滿足的微分方程為 zydzyxdyxydx222zydzxydxyxdyxydx22222221cyxxcz從而有 解之即得矢量方程 c1和c

6、2是積分常數(shù)。 第一章 矢量分析 1.2 標(biāo)量場(chǎng)的方導(dǎo)游數(shù)和梯度標(biāo)量場(chǎng)的方導(dǎo)游數(shù)和梯度1.2.1 標(biāo)量場(chǎng)的方導(dǎo)游數(shù)標(biāo)量場(chǎng)的方導(dǎo)游數(shù) 圖 1-2 方導(dǎo)游數(shù)的定義 第一章 矢量分析 設(shè)M0是標(biāo)量場(chǎng)=(M)中的一個(gè)知點(diǎn)，從M0出發(fā)沿某一方向引一條射線l, 在l上M0的臨近取一點(diǎn)M，MM0=，如圖1-2所示。假設(shè)當(dāng)M趨于M0時(shí)(即趨于零時(shí))， )()(0MM 的極限存在，那么稱此極限為函數(shù)(M)在點(diǎn)M0處沿l方向的方導(dǎo)游數(shù)，記為 )()(lim000MMlMMM第一章 矢量分析 假設(shè)函數(shù)=(x, y, z)在點(diǎn)M0(x0, y0, z0)處可微，cos、cos、cos為l方向的方向余弦，那么函數(shù)在點(diǎn)M

7、0處沿l方向的方導(dǎo)游數(shù)必定存在，且為 coscoscos0zxxlM 證明：M點(diǎn)的坐標(biāo)為M(x0+x, y0+y, z0+z)，由于函數(shù)在M0處可微，故 zzyyxxMM)()(0第一章 矢量分析 兩邊除以，可得 coscoscoszyxzzyyxx當(dāng)趨于零時(shí)對(duì)上式取極限，可得 coscoscoszyxl第一章 矢量分析 例1-3 求數(shù)量場(chǎng) 在點(diǎn)M(1, 1, 2)處沿l=ex+2ey+2ez方向的方導(dǎo)游數(shù)。 解：l方向的方向余弦為 zyxu22322212cos322212cos312211cos222222222第一章 矢量分析 而 222)(,2,2zyxzuztyuzxxu數(shù)量場(chǎng)在l方

8、向的方導(dǎo)游數(shù)為 22232232231coscoscoszyxzyzxzuyuxulu在點(diǎn)M處沿l方向的方導(dǎo)游數(shù) 324232132131Ml第一章 矢量分析 1.2.2 標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度 coscoscoszyxl標(biāo)量場(chǎng)(x, y, z)在l方向上的方導(dǎo)游數(shù)為 在直角坐標(biāo)系中，令 ),cos(coscoscoslGGlGlezeyexGeeelzyxzyx第一章 矢量分析 矢量l是l方向的單位矢量，矢量G是在給定點(diǎn)處的一常矢量。 由上式顯然可見，當(dāng)l與G的方向一致時(shí)，即cos(G, l)=1 時(shí)，標(biāo)量場(chǎng)在點(diǎn)M處的方導(dǎo)游數(shù)最大，也就是說沿矢量G方向的方導(dǎo)游數(shù)最大，此最大值為 Glmax

9、第一章 矢量分析 在標(biāo)量場(chǎng)(M)中的一點(diǎn)M處，其方向?yàn)楹瘮?shù)(M)在M點(diǎn)處變化率最大的方向，其模又恰好等于最大變化率的矢量G，稱為標(biāo)量場(chǎng)(M)在M點(diǎn)處的梯度，用grad(M)表示。在直角坐標(biāo)系中， 梯度的表達(dá)式為 zyxexexexgrad梯度用哈密頓微分算子的表達(dá)式為 grad第一章 矢量分析 設(shè)c為一常數(shù)，u(M)和v(M)為數(shù)量場(chǎng)，很容易證明下面梯度運(yùn)算法那么的成立。 uufufgradvufufgradvuuvvvuugradvvgraduvvugradvuuvuvugradvvgraduuvgradvuvugradvgraduvugraduccucgraducugradcgradc)(

10、 )()( )()(1(1)()()()()()(0022或或或或或或第一章 矢量分析 例1-4 設(shè)標(biāo)量函數(shù)r是動(dòng)點(diǎn)M(x, y, z)的矢量r=xex+yey+zez的模， 即 ， 證明： 222zyxr. rrrgradr證：證： rxzyxxzyxxxrezreyrexrrgradrzyx222222由于 第一章 矢量分析 rzzyxzzyxxzrryzyxyzyxyyr222222222222所以 rrrzeyexererzeryerxrgradrzyxzyx)(1第一章 矢量分析 例例1-5 求求r在在M(1，0，1)處沿處沿l=ex+2ey+2ez方向的方導(dǎo)游數(shù)。方向的方導(dǎo)游數(shù)。解

11、：解： 由例由例1-2知知r的梯度為的梯度為 )(1zyxzeyexerrgradr點(diǎn)M處的坐標(biāo)為x=1, y=0, z=1, 2222zyxr 所以r在M點(diǎn)處的梯度為 zxeergradr2121r在M點(diǎn)沿l方向的方導(dǎo)游數(shù)為 lrlrM第一章 矢量分析 而 zyxeeelll323231所以 21322132203121Mlr第一章 矢量分析 例例1-6 知位于原點(diǎn)處的點(diǎn)電荷知位于原點(diǎn)處的點(diǎn)電荷q在點(diǎn)在點(diǎn)M(x, y, z)處產(chǎn)生的電位處產(chǎn)生的電位為為 ，其中矢徑，其中矢徑r為為r=xex+yey+zey，且知電場(chǎng)強(qiáng)度與電，且知電場(chǎng)強(qiáng)度與電位的關(guān)系是位的關(guān)系是E=-，求電場(chǎng)強(qiáng)度，求電場(chǎng)強(qiáng)度E

12、。 rq4解：解： rrqrqE144根據(jù)f(u)=f(u)u的運(yùn)算法那么， rrrrr2111rrqrrqrrqrqE232441414第一章 矢量分析 1.3 矢量場(chǎng)的通量和散度矢量場(chǎng)的通量和散度 1.3.1 矢量場(chǎng)的通量矢量場(chǎng)的通量 將曲面的一個(gè)面元用矢量dS來表示，其方向取為面元的法線方向， 其大小為dS，即 ndsdS n是面元法線方向的單位矢量。是面元法線方向的單位矢量。n的指向有兩種情況：對(duì)開曲面的指向有兩種情況：對(duì)開曲面上的面元，設(shè)這個(gè)開曲面是由封鎖曲線上的面元，設(shè)這個(gè)開曲面是由封鎖曲線l所圍成的，那么選定繞所圍成的，那么選定繞行行l(wèi)的方向后，沿繞行方向按右手螺旋的拇指方向就是

13、的方向后，沿繞行方向按右手螺旋的拇指方向就是n的方向，的方向，如圖如圖1-3(a)所示；所示； 第一章 矢量分析 圖 1-3 法線方向的取法 第一章 矢量分析 將曲面S各面元上的AdS相加，它表示矢量場(chǎng)A穿過整個(gè)曲面S的通量，也稱為矢量A在曲面S上的面積分： SSndSAdS假設(shè)曲面是一個(gè)封鎖曲面，那么 dSAS第一章 矢量分析 1.3.2 矢量場(chǎng)的散度矢量場(chǎng)的散度 VdSASV0lim稱此極限為矢量場(chǎng)A在某點(diǎn)的散度，記為divA，即散度的定義式為 VdSAdivASV0lim第一章 矢量分析 矢量場(chǎng)A的散度可表示為哈密頓微分算子與矢量A的標(biāo)量積， 即 AdivAzAyAxAeAeAeAeze

14、yexAzyxzzyyxxzyx)(AAABABA)()(第一章 矢量分析 1.3.3 散度定理散度定理 VSdSAAdV)1()(niVAdSAiSiiSniSdSAdSAi1niViSAdVVAdSA1)(第一章 矢量分析 例例1-7 知矢量場(chǎng)知矢量場(chǎng)r=xex+yey+zez，求由內(nèi)向外穿過圓錐面，求由內(nèi)向外穿過圓錐面x2+y2=z2與平面與平面z=H所圍封鎖曲面的通量。所圍封鎖曲面的通量。 解：解： 21SSSdSrdSrdSr220cosSSrdSdSr3211111HHHdxdyHHdxdyzdxdyydxdyxdydzdSrSSSSS第一章 矢量分析 例例1-8 在坐標(biāo)原點(diǎn)處點(diǎn)電

15、荷產(chǎn)生電場(chǎng)，在此電場(chǎng)中任一點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)處點(diǎn)電荷產(chǎn)生電場(chǎng)，在此電場(chǎng)中任一點(diǎn)處的電位移矢量為處的電位移矢量為 ),(42rrrrrzeyerrrqDzy求穿過原點(diǎn)為球心、R為半徑的球面的電通量(見圖 1-4)。 圖 1-4 例 1-8 圖 第一章 矢量分析 解：解： qRRqdSRqDdSdSDSSS222444SdSD由于球面的法線方向與D的方向一致，所以 第一章 矢量分析 例1-9 原點(diǎn)處點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的電位移矢量 ，試求電位移矢量D的散度。 rrqrrqD3244解：解： 0)( 33434,34,344,4,4452222522522522333333rzyxrqzDyDxDDdivDrxr

16、qrxrqyDrxrqxDrqzDrqyDrqxDerzeryerxqDxxxyxzyxzyx第一章 矢量分析 例例 1-10 球面球面S上恣意點(diǎn)的位置矢量為上恣意點(diǎn)的位置矢量為r=xex+yey+zez，求，求 VSrdVdSrSdSr解：解： 根據(jù)散度定理知根據(jù)散度定理知 而r的散度為 3zzyyxxr所以 3343433RRdVrdVdSrVVS第一章 矢量分析 1.4 矢量場(chǎng)的環(huán)量和旋度矢量場(chǎng)的環(huán)量和旋度 在力場(chǎng)中，某一質(zhì)點(diǎn)沿著指定的曲線c運(yùn)動(dòng)時(shí)，力場(chǎng)所做的功可表示為力場(chǎng)F沿曲線c的線積分，即 cdlFdlFWcosccdlAdlAcos第一章 矢量分析 圖 1-5 矢量場(chǎng)的環(huán)量 第一

17、章 矢量分析 1.4.2 矢量場(chǎng)的旋度矢量場(chǎng)的旋度 SdlAcS0limSdlAnrotAcSmax0lim第一章 矢量分析 ArotAxxyyxzxyzzzyyxxzyxeyAxAezAxAexAyAeAeAeAezeyexA)(zyxxyxAAAzyxeeeA第一章 矢量分析 AAABAABBAAAABABA2)(0)()()()(zzyyxxeAeAeAAzyx22222222222第一章 矢量分析 1.4.3 斯托克斯定理斯托克斯定理 cSdlAdSA)( 由于旋度代表單位面積的環(huán)量，因此矢量場(chǎng)在閉合曲線c上的環(huán)量等于閉合曲線c所包圍曲面S上旋度的總和， 即 此式稱為斯托克斯定理或斯托

18、克斯公式。它將矢量旋度的面積分變換成該矢量的線積分，或?qū)⑹噶緼的線積分轉(zhuǎn)換為該矢量旋度的面積分。式中dS的方向與dl的方向成右手螺旋關(guān)系。 第一章 矢量分析 例例1-11 求矢量求矢量A=-yex+xey+cez(c是常數(shù)是常數(shù))沿曲線沿曲線(x-2)2+y2=R2, z=0的環(huán)量的環(huán)量(見圖見圖 1-6)。 圖 1-6 例 1-11 圖 第一章 矢量分析 解：解： 由于在曲線由于在曲線l上上z=0，所以，所以dz=0。 22202222020222020202)cos2(cos2)cos(sincos)cos2(sin)sin()cos2()cos2(sin)(RdRRdRRdRRdRRdR

19、RdRxdyydxdlAl第一章 矢量分析 例例1-12 求矢量場(chǎng)求矢量場(chǎng)A=x(z-y) ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在點(diǎn)在點(diǎn)M(1，0，1)處的旋度以及沿處的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的環(huán)量面密度。方向的環(huán)量面密度。 解：解： 矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)A的旋度的旋度 zyxzyxexyezxeyzxyzzxyyzxzyxeeeArotA)()()()()()(第一章 矢量分析 在點(diǎn)M(1，0，1)處的旋度 zyxMeeeA2n方向的單位矢量 zyxzyxeeeeeen737672)362(3621222在點(diǎn)M(1，0，1)處沿n方向的環(huán)量面密度 7177327672nAM第一

20、章 矢量分析 例例 1-13 在坐標(biāo)原點(diǎn)處放置一點(diǎn)電荷在坐標(biāo)原點(diǎn)處放置一點(diǎn)電荷q，在自在空間產(chǎn)生的，在自在空間產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為電場(chǎng)強(qiáng)度為 )(4433zyxzeyexerqrrqE求自在空間恣意點(diǎn)(r0)電場(chǎng)強(qiáng)度的旋度E。 第一章 矢量分析 0443333330333zyxzyxerxyryxerzxrxzeryzrzyqrzryrxzyxeeeqE解：解： 第一章 矢量分析 1.5 圓柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系 1.5.1 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系 圖圖 1-7 圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系 第一章 矢量分析 zoo2zeeezzeer第一章 矢量分析 dzdlddlddlz,1,1321d

21、zdlhddlhddlhzdzdddldldldVdzddldldSdzddldldSdzddldldSzzzz第一章 矢量分析 哈密頓微分算子的表示式為 zezee1拉普拉斯微分算子 2的表示式為 22222211z第一章 矢量分析 1.5.2 球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系 圖圖 1-8 球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系 第一章 矢量分析 20oroeeereAeAeAArr第一章 矢量分析 drdlrddldrdlrsin,故拉梅系數(shù)分別為 sin, 1321rddlhrddlhdrdlhrddrdrdldldldVrdrddldldSdrdrdldldSddrdldldSrrrrsinsinsin22第一章 矢量分析 哈密頓微分算子的表示式為 erererrsin11拉普拉斯微分算子 2的表示式為 22222222sin1sinsin1rrrrrr第一章 矢量分析 例例1-14 在一對(duì)相距為在一對(duì)相距為l的點(diǎn)電荷的點(diǎn)電荷+q和和-q的靜電場(chǎng)中，當(dāng)間隔的靜電場(chǎng)中，當(dāng)間隔rl時(shí)，其空間電位的表達(dá)式為時(shí)，其空間電位的表達(dá)式為 cos4),(20rqlr求其電場(chǎng)強(qiáng)度E(r, , )。 解：解： 在球面坐標(biāo)系中，哈密頓微分算子的表達(dá)式為在球面坐標(biāo)系中，哈密頓微分算子的表達(dá)式為 erer