解-點差法公式在拋物線中點弦問題中的妙用

1、“點差法”公式在拋物線中點弦問題中的妙用 圓錐曲線的中點弦問題是高考常見的題型，在選擇題、填空題和解答題中都是命題的熱點。它的一般方法是：聯立直線和圓錐曲線的方程，借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數的關系、中點坐標公式及參數法求解。 若已知直線與圓錐曲線的交點（弦的端點）坐標，將這兩點代入圓錐曲線的方程并對所得兩式作差，得到一個與弦 的中點和斜率有關的式子，可以大大減少運算量。我們稱這種代點作差的方法為“點差法”，它的一般結論叫做點差法公式。本文就拋物線的點差法公式在高考中的妙用做一些粗淺的探討，以饗讀者。定理 在拋物線中，若直線與拋物線相交于M、N兩點，點是弦MN的中點，弦MN所在的直

2、線的斜率為，則.證明：設M、N兩點的坐標分別為、，則有，得又.注意：能用這個公式的條件：（1）直線與拋物線有兩個不同的交點；（2）直線的斜率存在.同理可證，在拋物線中，若直線與拋物線相交于M、N兩點，點是弦MN的中點，弦MN所在的直線的斜率為，則.注意：能用這個公式的條件：（1）直線與拋物線有兩個不同的交點；（2）直線的斜率存在，且不等于零.例1拋物線的過焦點的弦的中點的軌跡方程是（ ）A. B. C. D. 解：，焦點在軸上. 設弦的中點M的坐標為.由得：，整理得：.所求的軌跡方程為.故選B.例2拋物線上一組斜率為2的平行弦中點的軌跡方程是（ ）A. （） B. （） C. （） D. 解：

3、由得，焦點在軸上. 設平行弦的中點M的坐標為.由得：，.在中，當時，.點M的軌跡方程為（）.故答案選A.例3（03上海）直線被拋物線截得的線段的中點坐標是_.解：，焦點在軸上. 設弦MN的中點P的坐標為，弦MN所在的直線的斜率為，則由得：，從而.所求的中點坐標是.例4拋物線的頂點在原點，焦點在軸上，它和直線相交，所得的弦的中點在 上，求拋物線的方程.解：設拋物線的方程為，直線與拋物線的兩個交點為M、N，弦MN的中點P的坐標為.由得：，又點在圓上，解之得：或由得：直線與拋物線有兩個不同的交點，0.m，或m0.故所求的拋物線方程為例5已知拋物線上永遠有關于直線對稱的相異兩點，求實數的取值范圍.解：

4、設拋物線上A、B兩點關于直線對稱，且弦AB的中點為.根據題意，點P在直線上，.又，.由，得：，.又由，得：.點在拋物線的開口內，.解之得：.故實數的取值范圍.例6. （05全國文22）設兩點在拋物線上，是AB的垂直平分線.（）當且僅當取何值時，直線經過拋物線的焦點F？證明你的結論.（）當時，求直線的方程.解：（），.設線段AB的中點為，直線的斜率為，則.若直線的斜率不存在，當且僅當時，AB的垂直平分線為軸，經過拋物線的焦點F.若直線的斜率存在，則其方程為，.由得：，.若直線經過焦點F，則得：，與相矛盾.當直線的斜率存在時，它不可能經過拋物線的焦點F.綜上所述，當且僅當時，直線經過拋物線的焦點F

5、.（）當時，由得：.所求的直線的方程為，即例7已知直線與拋物線交于A、B兩點，那么線段AB的中點坐標是_.解：，. 直線的斜率為1.由得：.代入求得.線段AB的中點坐標是.例8直線與拋物線交于不同的兩點P、Q，若PQ中點的橫坐標是2，則=_.解：，.在中，時，若PQ中點的縱坐標是.由得：，即.解之得：或.由得：.直線與拋物線交于不同的兩點，解之得：且.由得：. 即.設，則.例9已知拋物線C的頂點在原點，焦點在軸的正半軸上，直線被拋物線C所截得的弦AB的中點M的縱坐標為，則拋物線C的方程為_.解：，.由得：.AB所在的直線方程為，即.例10設為拋物線的弦，如果這條弦的垂直平分線的方程為，求弦所在

6、的直線方程.解：設拋物線的方程為（m0）. 在中，斜率為，時，. 弦AB的中點M的坐標為.由得：，.所求的拋物線的方程為.例11過點作拋物線的弦AB，若弦AB恰被Q平分，則AB所在的直線方程為_.解：，. 弦所在直線的斜率為1. 設弦的中點坐標為.由得：.弦的中點也在直線上，.弦的中點坐標為.弦所在的直線方程為，即.例12已知拋物線上有不同的兩點A、B關于直線對稱，求實數的取值范圍.解：設弦AB的中點為.根據題意，.又，.由，得：，.又由，得：.點在拋物線的開口內，.解之得：.故實數的取值范圍.例13（05全國理21）設兩點在拋物線上，是AB的垂直平分線.（）當且僅當取何值時，直線經過拋物線的

7、焦點F？證明你的結論.（）當直線的斜率為2時，求在y軸上的截距的取值范圍.解：（），.設線段AB的中點為，直線的斜率為，則.若直線的斜率不存在，當且僅當時，AB的垂直平分線為軸，經過拋物線的焦點F.若直線的斜率存在，則其方程為，.由得：，.若直線經過焦點F，則得：，與相矛盾.當直線的斜率存在時，它不可能經過拋物線的焦點F.綜上所述，當且僅當時，直線經過拋物線的焦點F.（）當時，由（）知，直線的方程為，它在y軸上的截距，.直線AB的方程為，即.代入并整理得：.直線AB與拋物線有兩個不同交點，0，即0.故在y軸上的截距的取值范圍是.例14(08陜西文理20) 已知拋物線，直線交C于A、B兩點，M是線段AB的中點，過M作x軸的垂線交C于點N.（）證明：拋物線C在點N處的切線與AB平行；（）是否存在實數使，若存在，求的值；若不存在，請說明理由.證明：（），設點M的坐標為.當時，點M在y軸上，點N與原點O重合，拋物線C在點N處的切線為x軸，與AB平行.當時，由得：. 得點N的坐