證明數(shù)列收斂

1、本文討論了一類遞推數(shù)列的單調(diào)性與收斂性問題,同時也推廣與包含了近期一些文獻中的結(jié)果.運用單調(diào)有界性來證明收斂，而能用單調(diào)有界定理證明收斂的有四種情況：Ø 易知單調(diào)遞增或遞減，需證有上界或下界。Ø 易知有上界或下界，需證單調(diào)遞增或遞減。Ø 易知既有上界又有下界，需證單調(diào)。Ø 易知單調(diào)，需證既有上界又有下界。用導(dǎo)數(shù)來求證單調(diào)有界性如果，即函數(shù)單調(diào)遞增時，數(shù)列具有單調(diào)性是可以肯定的，而研究遞增遞減那要看跟的比較了(如果的話，那么)具體的說若時，由,那么可以判定為減數(shù)列。若時，由,那么可以判定為增數(shù)列。例題1.證：記,則因為，則，由于所以，即那么具有單調(diào)有界性，

2、上界為3然后對數(shù)列兩邊取極限，記極限為A則.設(shè)函數(shù)，其中A為方程的根，由于在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則所以函數(shù)遞增，又由于所以的根在內(nèi)。如果，即函數(shù)單調(diào)遞減時，數(shù)列肯定不具有單調(diào)性的但是，它的奇數(shù)項子數(shù)列和偶數(shù)項子數(shù)列都可以看作是通過單調(diào)增加函數(shù)g(x).其中所以肯定具有單調(diào)性，而且其增減性恰好相反例題1.當時，證明數(shù)列收斂，并求其極限值。證：設(shè)函數(shù),則函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，易知。所以在上遞減。由于,可知，又在上遞減。所以有,即,所以可推得由此可知奇數(shù)項子數(shù)列單調(diào)遞減有下界，偶數(shù)項子數(shù)列單調(diào)遞增有上界，則兩子數(shù)列都收斂。設(shè)奇數(shù)項子數(shù)列收斂于P，偶數(shù)項子數(shù)列收斂于Q。對兩邊去極限得：解方程得那么數(shù)列

3、收斂于。利用不動點與導(dǎo)數(shù)的結(jié)合來證單調(diào)有界性。定義：對于函數(shù),若存在實數(shù)C,使得，則稱C為的不動點。命題1.設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且,.設(shè)，則遞推數(shù)列收斂。命題2.設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且,.設(shè)，則遞推數(shù)列收斂。命題3.如果函數(shù)在有唯一的不動點，那么數(shù)列必收斂于該不動點。推論：對于遞推數(shù)列, 如果，那么數(shù)列收斂，且收斂于L，其中。例題1.設(shè)， （），求證:數(shù)列收斂,并求其極限。解：數(shù)列的迭代方程，。又，即。故數(shù)列在區(qū)間上滿足命題1的條件,于是數(shù)列收斂。又在上有唯一的不動點,于是。例題2. 已知函數(shù)，且存在，使.設(shè), ,，,其中,證明:。證：由數(shù)列的迭代函數(shù)得,從而在區(qū)間上，由命題1的結(jié)論得，在區(qū)間上，由命題2的結(jié)論得，于是有證畢利用單調(diào)性的定義或數(shù)學(xué)歸納法。例題1. 設(shè), ,證明數(shù)列極限存在。思路：先試求的極限，對兩邊取極限，解得,猜想它是數(shù)列的一個上界，那么問題就轉(zhuǎn)換為證明這個猜想。證：易從看出數(shù)列遞增。接下來用數(shù)學(xué)歸納法求證有上界。顯然,假設(shè)，便有了。則為單調(diào)遞增有上界的數(shù)列，故數(shù)列收斂。例題3. 證：利用數(shù)學(xué)歸納法對n進行歸納證明，當時已知成立。假設(shè),由重要不