高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義

1、 數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義 目錄第一章 集合2第二章 函數(shù)15§2.1 函數(shù)及其性質(zhì)15§2.2 二次函數(shù) 21§2.3 函數(shù)迭代 28§2.4 抽象函數(shù) 32第三章 數(shù)列37§3.1 等差數(shù)列與等比數(shù)列37§3.2 遞歸數(shù)列通項(xiàng)公式的求法 44§3.3 遞推法解題48第四章 三角 平面向量 復(fù)數(shù)51第五章 直線、圓、圓錐曲線60第六章 空間向量 簡(jiǎn)單幾何體68第七章 二項(xiàng)式定理與多項(xiàng)式75第八章 聯(lián)賽二試選講 82§8.1 平幾名定理、名題與競(jìng)賽題 82§8.2 數(shù)學(xué)歸納法 99§8.3 排序不等式 10

2、3第一章 集合集合是高中數(shù)學(xué)中最原始、最基礎(chǔ)的概念，也是高中數(shù)學(xué)的起始單元，是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).它的基礎(chǔ)性體現(xiàn)在：集合思想、集合語(yǔ)言和集合的符號(hào)在高中數(shù)學(xué)的很多章節(jié)如函數(shù)、數(shù)列、方程與不等式、立體幾何與解析幾何中都被廣泛地使用.在高考試題和數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，很多問(wèn)題可以用集合的語(yǔ)言加以敘述.集合不僅是中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是支撐現(xiàn)代數(shù)學(xué)大廈的基石之一，本章主要介紹集合思想在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中出現(xiàn)的問(wèn)題.§1.1 集合的概念與運(yùn)算【基礎(chǔ)知識(shí)】一集合的有關(guān)概念1集合：具有某些共同屬性的對(duì)象的全體，稱為集合.組成集合的對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素.2集合中元素的三個(gè)特征：確定性、互異性、無(wú)序性.3集合的分類：無(wú)

3、限集、有限集、空集.4. 集合間的關(guān)系：二集合的運(yùn)算1交集、并集、補(bǔ)集和差集差集：記A、B是兩個(gè)集合，則所有屬于A且不屬于B的元素構(gòu)成的集合記作.即且.2.集合的運(yùn)算性質(zhì)(1),(冪等律);(2), (交換律);(3), (結(jié)合律);(4),(分配律);(5),(吸收律);(6)(對(duì)合律);(7), (摩根律)(8),.3.集合的相等(1)兩個(gè)集合中元素相同,即兩個(gè)集合中各元素對(duì)應(yīng)相等;(2)利用定義,證明兩個(gè)集合互為子集;(3)若用描述法表示集合,則兩個(gè)集合的屬性能夠相互推出(互為充要條件),即等價(jià);(4)對(duì)于有限個(gè)元素的集合,則元素個(gè)數(shù)相等、各元素的和相等、各元素之積相等是兩集合相等的必要

4、條件.【典例精析】【例1】在集合中,任意取出一個(gè)子集,計(jì)算它的各元素之和.則所有子集的元素之和是 .分析已知的所有的子集共有個(gè).而對(duì)于,顯然中包含的子集與集合的子集個(gè)數(shù)相等.這就說(shuō)明在集合的所有子集中一共出現(xiàn)次,即對(duì)所有的求和,可得【解】集合的所有子集的元素之和為=說(shuō)明本題的關(guān)鍵在于得出中包含的子集與集合的子集個(gè)數(shù)相等.這種一一對(duì)應(yīng)的方法在集合問(wèn)題以及以后的組合總是中應(yīng)用非常廣泛.【例2】已知集合且,求參數(shù)的取值范圍.分析首先確定集合A、B,再利用的關(guān)系進(jìn)行分類討論.【解】由已知易求得當(dāng)時(shí),由知無(wú)解;當(dāng)時(shí),顯然無(wú)解; 當(dāng)時(shí), ,由解得綜上知,參數(shù)的取值范圍是.說(shuō)明本題中,集合的定義是一個(gè)二次三

5、項(xiàng)式,那么尋于集合B要分類討論使其取值范圍數(shù)字化,才能通過(guò)條件求出參數(shù)的取值范圍.【例3】已知,集合.若,則的值是( )A.5 B.4 C.25 D.10【解】,且及集合中元素的互異性知,即,此時(shí)應(yīng)有而,從而在集合B中,由,得由(2)(3)解得,代入(1)式知也滿足(1)式.說(shuō)明本題主要考查集合相等的的概念,如果兩個(gè)集合中的元素個(gè)數(shù)相等,那么兩個(gè)集合中對(duì)應(yīng)的元素應(yīng)分別相等才能保證兩個(gè)集合相等.而找到這種對(duì)應(yīng)關(guān)系往往是解決此類題目的關(guān)鍵.【例4】已知集合.若,求+的值.分析從集合A=B的關(guān)系入手,則易于解決.【解】,根據(jù)元素的互異性,由B知.且,故只有,從而又由及,得所以或,其中與元素的互異性矛

6、盾!所以代入得:+=()+2+()+2+()+2=0.說(shuō)明本題是例4的拓展,也是考查集合相等的概念,所不同的是本題利用的是集合相等的必要條件,即兩個(gè)集合相等,則兩個(gè)集合中,各元素之和、各元素之積及元素個(gè)數(shù)相等.這是解決本題的關(guān)鍵.【例5】已知A為有限集,且,滿足集合A中的所有元素之和與所有元素之積相等,寫出所有這樣的集合A. 【解】設(shè)集合A=且,由,得,即或(事實(shí)上,當(dāng)時(shí),有.當(dāng)時(shí),而當(dāng)時(shí),由,解得綜上可知,說(shuō)明本題根據(jù)集合中元素之間的關(guān)系找到等式,從而求得集合A.在解決問(wèn)題時(shí),應(yīng)注意分析題設(shè)條件中所給出的信息,根據(jù)條件建立方程或不等式進(jìn)行求解.【例6】已知集合,若,求實(shí)數(shù)的取值組成的集合A.

7、【解】,設(shè).當(dāng),即時(shí),滿足;當(dāng),即或時(shí), 若,則,不滿足,故舍去; 若時(shí),則,滿足.當(dāng)時(shí),滿足等價(jià)于方程的根介于1和2之間.即.綜合得,即所求集合A.說(shuō)明先討論特殊情形(S=),再討論一般情形.解決本題的關(guān)鍵在于對(duì)分類討論,確定的取值范圍.本題可以利用數(shù)形結(jié)合的方法討論【例7】(2005年江蘇預(yù)賽)已知平面上兩個(gè)點(diǎn)集 R, R. 若 , 則 的取值范圍是【解】由題意知 是以原點(diǎn)為焦點(diǎn)、直線 為準(zhǔn)線的拋物線上及其凹口內(nèi)側(cè)的點(diǎn)集， 是以 為中心的正方形及其內(nèi)部的點(diǎn)集(如圖)考察 時(shí), 的取值范圍:令 , 代入方程 ,得 ，解出得 所以，當(dāng) 時(shí), 令 ，代入方程 , 得 . 解出得所以，當(dāng) 時(shí), 因

8、此, 綜合 與 可知，當(dāng) ，即 時(shí), 故填 .【例8】已知集合,其中,.若,.且中的所有元素之和為124,求集合A、B.【解】,且,又,所以又,可得,并且或若,即,則有解得或(舍)此時(shí)有若,即,此時(shí)應(yīng)有,則中的所有元素之和為100124.不合題意.綜上可得, 說(shuō)明本題的難點(diǎn)在于依據(jù)已知條件推斷集合A、B中元素的特征.同時(shí)上述解答中使用發(fā)分類討論的思想.分類討論是我們解決問(wèn)題的基本手段之一,將問(wèn)題分為多個(gè)部分,每一部分的難度比整體都要低,這樣就使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單明了.【例9】滿足條件的函數(shù)形成了一個(gè)集合M,其中,并且,求函數(shù)與集合M的關(guān)系.分析求函數(shù)集合M的關(guān)系,即求該函數(shù)是否屬于集合M,也就是判斷

9、該函數(shù)是否滿足集合M的屬性.【解】取時(shí), 由此可見(jiàn),說(shuō)明本題中M是一個(gè)關(guān)于函數(shù)的集合.判斷一個(gè)函數(shù)是否屬于M,只要找至一個(gè)或幾個(gè)特殊的使得不符合M中的條件即可證明【例10】對(duì)集合及每一個(gè)非空子集定義唯一“交替和”如下:把子集中的數(shù)按遞減順序排列,然后從最大數(shù)開(kāi)始,交替地加減相繼各數(shù),如的“交替和”是,集合的“交替和”是107=3,集合的“交替和”是5等等.試求A的所有的“交替和”的總和.并針對(duì)于集合求出所有的“交替和”.分析集合A的非空子集共有個(gè),顯然,要想逐個(gè)計(jì)算“交替和”然后相加是不可能的.必須分析“交替和”的特點(diǎn),故可采用從一般到特殊的方法.如1,2,3,4的非空子集共有15個(gè),共“交替

10、和”分別為:1 1;2 2 ;3 3;4 4;1,2 2-1; 1,3 3-1;1,4 4-1;2,3 3-2;2,4 4-2;3,4 4-3;1,2,3 3-2+1;1,2,4 4-2+1;1,3,4 4-3=1;2,3,4 4-3+2;1,2,3,4 4-3+2-1.從以上寫出的“交替和”可以發(fā)現(xiàn),除4以外,可以把1,2,3,4的子集分為兩類:一類中包含4,另一類不包含4,并且構(gòu)成這樣的對(duì)應(yīng):設(shè)是1,2,3,4中一個(gè)不含有的子集,令與相對(duì)應(yīng),顯然這兩個(gè)集合的“交替和”的和為4,由于這樣的對(duì)應(yīng)應(yīng)有7對(duì),再加上4的“交替和”為4,即1,2,3.4的所有子集的“交替和”為32.【解】集合的子集中

11、,除了集合,還有個(gè)非空子集.將其分為兩類:第一類是含2008的子集,第二類是不含2008的子集,這兩類所含的子集個(gè)數(shù)相同.因?yàn)槿绻堑诙惖?則必有是第一類的集合;如果是第一類中的集合,則中除2008外,還應(yīng)用1,2,2007中的數(shù)做其元素,即中去掉2008后不是空集,且是第二類中的.于是把“成對(duì)的”集合的“交替和”求出來(lái),都有2008,從而可得A的所有子集的“交替和”為同樣可以分析,因?yàn)閭€(gè)元素集合的子集總數(shù)為個(gè)(含,定義其“交替和”為0),其中包括最大元素的子集有個(gè),不包括的子集的個(gè)數(shù)也是個(gè),將兩類子集一一對(duì)應(yīng)(相對(duì)應(yīng)的子集只差一個(gè)元素),設(shè)不含的子集“交替和”為S,則對(duì)應(yīng)的含子集的“交替和

12、”為,兩者相加和為.故所有子集的“交替和”為說(shuō)明本題中退到最簡(jiǎn),從特殊到一般的思想及分類討論思想、對(duì)應(yīng)思想都有所體現(xiàn),這種方法在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中是常用的方法,在學(xué)習(xí)的過(guò)程中應(yīng)注意強(qiáng)化.【例11】一支人數(shù)是5的倍數(shù)的且不少于1000人的游行隊(duì)伍，若按每橫排4人編隊(duì)，最后差3人；若按每橫排3人編隊(duì)，最后差2人；若按每橫排2人編隊(duì)，最后差1人，求這支游行隊(duì)伍的人數(shù)最少是多少？分析已知游行隊(duì)伍的總?cè)藬?shù)是5的倍數(shù)，那么可設(shè)總?cè)藬?shù)為.“按每橫排4人編隊(duì)，最后差3人”，從它的反面去考慮，可理解為多1人，同樣按3人、2人編隊(duì)都可理解為“多1人”，顯然問(wèn)題轉(zhuǎn)化為同余問(wèn)題.被4、3、2除時(shí)都余地，即是12的倍數(shù)，再由總

13、人數(shù)不少于1000人的條件，即可求得問(wèn)題的解.【解】設(shè)游行隊(duì)伍的總?cè)藬?shù)為，則由題意知分別被4、3、2除時(shí)均余1，即是4、3、2的公倍數(shù)，于是可令，由此可得： 要使游行隊(duì)伍人數(shù)最少，則式中的應(yīng)為最少正整數(shù)且為5的倍數(shù)，應(yīng)為2.于是可令，由此可得：， 所以，.取代入式，得故游行隊(duì)伍的人數(shù)最少是1045人.說(shuō)明本題利用了補(bǔ)集思想進(jìn)行求解，對(duì)于題目中含有“至少”、“至多”、“最少”、“不都”、“都”等詞語(yǔ)，可以根據(jù)補(bǔ)集思想方法，從詞義氣反面（反義詞）考慮，對(duì)原命題做部分或全部的否定，用這種方法轉(zhuǎn)化命題，常常能起到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的作用，使之尋求到解題思想或方法，實(shí)現(xiàn)解題的目的.【例12】設(shè)且15，都

14、是1，2，3，真子集，且=1，2，3，.證明：或者中必有兩個(gè)不同數(shù)的和為完全平方數(shù).【證明】由題設(shè)，1，2，3，的任何元素必屬于且只屬于它的真子集之一. 假設(shè)結(jié)論不真，則存在如題設(shè)的1，2，3，的真子集，使得無(wú)論是還是中的任兩個(gè)不同的數(shù)的和都不是完全平方數(shù). 不妨設(shè)1，則3，否則1+3=，與假設(shè)矛盾，所以3.同樣6，所以6，這時(shí)10，即10.因15，而15或者在中，或者在中，但當(dāng)15時(shí)，因1，1+15=，矛盾；當(dāng)15時(shí)，因10，于是有10+15=，仍然矛盾.因此假設(shè)不真,即結(jié)論成立.【賽向點(diǎn)撥】1.高中數(shù)學(xué)的第一個(gè)內(nèi)容就是集合，而集合又是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).因此，深刻理解集合的概念,熟練地進(jìn)行集合運(yùn)算

15、是非常重要的.由于本節(jié)中涉及的內(nèi)容較多,所以抓好概念的理解和應(yīng)用尤其重要.2.集合內(nèi)容幾乎是每年的高考與競(jìng)賽的必考內(nèi)容.一般而言,一是考查集合本身的知識(shí);二是考查集合語(yǔ)言和集合思想的應(yīng)用.3.對(duì)于給定的集合,要正確理解其含義,弄清元素是什么,具有怎樣的性質(zhì)?這是解決集合問(wèn)題的前提.4.集合語(yǔ)言涉及數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域,所以在競(jìng)賽中,集合題是普遍而又基本的題型之一.【針對(duì)練習(xí)】(A 組)1.(2006年江蘇預(yù)賽) 設(shè)在平面上，所圍成圖形的面積為，則集合的交集所表示的圖形面積為( ) A. B. C. D.2. (2006年陜西預(yù)賽)為實(shí)數(shù),集合M=表示把集合M中的元素映射到集合P中仍為,則的值等于(

16、) A. B.0 C.1 D.3. (2004年全國(guó)聯(lián)賽)已知M=，N=，若對(duì)于所有的，均有則的取值范圍是A B.（）C.（） D.4. (2005年全國(guó)聯(lián)賽) 記集合將M中的元素按從大到小的順序排列，則第2005個(gè)數(shù)是（）A B C D5. 集合A,B的并集AB=a1,a2,a3，當(dāng)且僅當(dāng)AB時(shí)，(A,B)與(B,A)視為不同的對(duì)，則這樣的(A,B)對(duì)的個(gè)數(shù)有( )A.27 B.28. C.26 D.256.設(shè)A=n|100n600,nN，則集合A中被7除余2且不能被57整除的數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi).7. 已知,.若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .8. 設(shè)M=1,2,3,1995，A是M的子集且滿足條件: 當(dāng)

17、xA時(shí),15xA，則A中元素的個(gè)數(shù)最多是_.9. (2006年集訓(xùn)試題)設(shè)n是正整數(shù)，集合M=1，2，2n求最小的正整數(shù)k，使得對(duì)于M的任何一個(gè)k元子集，其中必有4個(gè)互不相同的元素之和等于 10. 設(shè)|,，求證：()；.11.（2006年江蘇）設(shè)集合，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍12. 以某些整數(shù)為元素的集合具有下列性質(zhì)：中的元素有正數(shù)，有負(fù)數(shù)；中的元素有奇數(shù),有偶數(shù)；1；若，,則試判斷實(shí)數(shù)0和2與集合的關(guān)系. (B 組)1. 設(shè)為滿足下列條件的有理數(shù)的集合：若，則+，；對(duì)任一個(gè)有理數(shù)，三個(gè)關(guān)系，0有且僅有一個(gè)成立.證明：是由全體正有理數(shù)組成的集合.2為非空集合，對(duì)于1，2，3的任意一個(gè)排列，若，則（

18、1） 證明：三個(gè)集合中至少有兩個(gè)相等.（2） 三個(gè)集合中是否可能有兩個(gè)集無(wú)公共元素？3已知集合：?jiǎn)枺?） 當(dāng)取何值時(shí)，為含有兩個(gè)元素的集合？（2） 當(dāng)取何值時(shí)，為含有三個(gè)元素的集合？4已知,.請(qǐng)根據(jù)自己對(duì)點(diǎn)到直線的距離,兩條異面直線的距離中 “距離”的認(rèn)識(shí),給集合A與B的距離定義;依據(jù)中的定義求出與的距離.5.設(shè)集合不小于的正整數(shù)，定義上的函數(shù)如下：若，定義為不是的約數(shù)的最小正整數(shù)，例如.記函數(shù)的值域?yàn)?證明：6為了搞好學(xué)校的工作，全校各班級(jí)一共提了P條建議.已知有些班級(jí)提出了相同的建議，且任何兩個(gè)班級(jí)都至少有一條建議相同，但沒(méi)有兩個(gè)班提出全部相同的建議.求證該校的班級(jí)數(shù)不多于個(gè).【參考答案】

19、A組1.解： 在xOy平面上的圖形關(guān)于x軸與y軸均對(duì)稱，由此的圖形面積只要算出在第一象限的圖形面積乘以4即得.為此，只要考慮在第一象限的面積就可以了.由題意可得，的圖形在第一象限的面積為A.因此的圖形面積為. 所以選B.2.解:由M=P,從而,即,故從而選C.3. 解：相當(dāng)于點(diǎn)（0，b）在橢圓上或它的內(nèi)部.故選A.4.解: 用表示k位p進(jìn)制數(shù)，將集合M中的每個(gè)數(shù)乘以，得中的最大數(shù)為.在十進(jìn)制數(shù)中，從2400起從大到小順序排列的第2005個(gè)數(shù)是24002004=396.而將此數(shù)除以，便得M中的數(shù)故選C.5.解：A=時(shí)，有1種可能；A為一元集時(shí)，B必須含有其余2元，共有6種可能；A為二元集時(shí)，B必

20、須含有另一元.共有12種可能；A為三元集時(shí)，B可為其任一子集.共8種可能.故共有1+6+12+8=27個(gè).從而選A.6解：被7除余2的數(shù)可寫為7k+2. 由1007k+2600.知14k85. 又若某個(gè)k使7k+2能被57整除，則可設(shè)7k+2=57n. 即. 即n2應(yīng)為7的倍數(shù). 設(shè)n=7m+2代入，得k=57m+16. 1457m+1685. m=0,1.于是所求的個(gè)數(shù)為85(141)2=70解：依題意可得,設(shè),要使,只需,在(1,3)上的圖象均在軸的下方,則,由此可解得結(jié)果.8解：由于1995=15´133，所以，只要n>133，就有15n>1995.故取出所有大于1

21、33而不超過(guò)1995的整數(shù). 由于這時(shí)己取出了15´9=135, 15´133=1995. 故9至133的整數(shù)都不能再取，還可取1至8這8個(gè)數(shù)，即共取出1995133+8=1870個(gè)數(shù), 這說(shuō)明所求數(shù)1870.另一方面，把k與15k配對(duì)，（k不是15的倍數(shù)，且1k133）共得1338=125對(duì)，每對(duì)數(shù)中至多能取1個(gè)數(shù)為A的元素，這說(shuō)明所求數(shù)1870，綜上可知應(yīng)填1870.9.解：考慮M的n+2元子集P=nl，n，n+1，2nP中任何4個(gè)不同元素之和不小于(n1)+n+( n +1)+( n +2)=4 n +2，所以kn +3將M的元配為n對(duì)，Bi=(i，2 n +1i)，

22、1in 對(duì)M的任一n+3元子集A，必有三對(duì)同屬于A(i1、I 2、I 3兩兩不同)又將M的元配為n1對(duì)，C I (i，2ni)，1in1對(duì)M的任一n+3元子集A，必有一對(duì)同屬于A，這一對(duì)必與中至少一個(gè)無(wú)公共元素，這4個(gè)元素互不相同，且和為2 n +1+2 n =4 n +1,最小的正整數(shù)k= n +31010.解: ,且,；假設(shè),則存在,使即 (*)由于與具有相同的奇偶性，所以（*）式左邊有且僅有兩種可能：奇數(shù)或4的倍數(shù)，另一方面，（*）式右邊只能被4除余2的數(shù)，故（*）式不能成立.由此，.11.解：，當(dāng)時(shí)，由得；當(dāng)時(shí)，由得；當(dāng)時(shí)，與不符綜上所述，12解：由若，,則可知，若，則（1） 由可設(shè)，

23、且0，0，則| (|)故,由,0()+.（2）2.若2，則中的負(fù)數(shù)全為偶數(shù)，不然的話，當(dāng)（）（）時(shí)，1（），與矛盾.于是，由知中必有正奇數(shù).設(shè)，我們?nèi)∵m當(dāng)正整數(shù)，使，則負(fù)奇數(shù).前后矛盾B組1證明：設(shè)任意的，0,由知，或之一成立.再由，若，則；若，則.總之，.取=1，則1.再由，2=1+1，3=1+2，可知全體正整數(shù)都屬于.設(shè)，由，又由前證知，所以.因此，含有全體正有理數(shù).再由知，0及全體負(fù)有理數(shù)不屬于.即是由全體正有理數(shù)組成的集合.2證明：（1）若，則，所以每個(gè)集合中均有非負(fù)元素.當(dāng)三個(gè)集合中的元素都為零時(shí)，命題顯然成立.否則，設(shè)中的最小正元素為，不妨設(shè)，設(shè)為中最小的非負(fù)元素，不妨設(shè)則.若0,

24、則0，與的取法矛盾.所以=0.任取因0,故0.所以，同理.所以=.（）可能.例如=奇數(shù)，=偶數(shù)顯然滿足條件，和與都無(wú)公共元素.3解：=.與分別為方程組（） （）的解集.由（）解得（）=（0，1）=（，）；由（）解得（）=（1，0），（，）（1） 使恰有兩個(gè)元素的情況只有兩種可能： 由解得=0；由解得=1.故=0或1時(shí)，恰有兩個(gè)元素.（2） 使恰有三個(gè)元素的情況是：= 解得，故當(dāng)時(shí)，恰有三個(gè)元素.4解: (1)設(shè)(即集合A中的點(diǎn)與集合B中的點(diǎn)的距離的最小值), 則稱為A與B的距離.解法一：中點(diǎn)的集合為圓圓心為,令是雙曲線上的任一點(diǎn),則=+8=令,則=當(dāng)時(shí),即有解，解法二：如圖,是雙曲線上的任一點(diǎn)

25、, Q為圓上任一點(diǎn),圓心為.顯然,(當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)).5解：記時(shí)，由于1，2，18都是的約數(shù)，故此時(shí)從而若存在，使，則對(duì)于小于99的正整數(shù)，均有，從而，但是，由整數(shù)理論中的性質(zhì)9×11=99是的一個(gè)約數(shù)，這是一個(gè)矛盾！從而6證明：假設(shè)該校共有個(gè)班級(jí)，他們的建議分別組成集合。這些集合中沒(méi)有兩個(gè)相同（因?yàn)闆](méi)有兩個(gè)班級(jí)提出全部相同的建議），而任何兩個(gè)集合都有相同的元素，因此任何一個(gè)集合都不是另外一個(gè)集合的補(bǔ)集。這樣在中至多有A（所有P條建議所組成的集合）的個(gè)子集，所以 第二章 函數(shù) §2.1 函數(shù)及其性質(zhì)一、函數(shù)的基本性質(zhì)：1. 函數(shù)圖像的對(duì)稱性（1） 奇函數(shù)與偶函數(shù)：奇函數(shù)

26、圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)于任意，都有成立；偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，對(duì)于任意，都有成立。（2） 原函數(shù)與其反函數(shù)：原函數(shù)與其反函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱。 若某一函數(shù)與其反函數(shù)表示同一函數(shù)時(shí)，那么此函數(shù)的圖像就關(guān)于直線對(duì)稱。（3） 若函數(shù)滿足，則的圖像就關(guān)于直線對(duì)稱；若函數(shù)滿足，則的圖像就關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱。（4） 互對(duì)稱知識(shí)：函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱。2函數(shù)的單調(diào)性 函數(shù)的單調(diào)性是針對(duì)其定義域的某個(gè)子區(qū)間而言的。判斷一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性一般采用定義法、導(dǎo)數(shù)法或借助其他函數(shù)結(jié)合單調(diào)性的性質(zhì)（如復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性） 特別提示：函數(shù)的圖像和單調(diào)區(qū)間。3函數(shù)的周期性 對(duì)于函數(shù)，若存在一個(gè)非零常數(shù)，使得當(dāng)為定義域中的每一個(gè)

27、值時(shí)，都有成立，則稱是周期函數(shù)，稱為該函數(shù)的一個(gè)周期。若在所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，就稱其為最小正周期。（1） 若是的周期，那么也是它的周期。（2） 若是周期為的函數(shù)，則是周期為的周期函數(shù)。（3） 若函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則是周期為的函數(shù)。（4） 若函數(shù)滿足，則是周期為的函數(shù)。4.函數(shù)的最值： 常規(guī)求法：配方法、判別式法、不等式法、換元法、構(gòu)造法5Gauss(高斯)函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)，我們記不超過(guò)的最大整數(shù)為，通常稱函數(shù)為取整函數(shù)。又稱高斯函數(shù)。又記，則函數(shù)稱為小數(shù)部分函數(shù)，它表示的是的小數(shù)部分。高斯函數(shù)的常用性質(zhì)：（1） 對(duì)任意 （2） 對(duì)任意，函數(shù)的值域?yàn)椋?） 高斯函數(shù)是一個(gè)不減函

28、數(shù)，即對(duì)于任意（4） 若，后一個(gè)式子表明是周期為1的函數(shù)。（5） 若 （6） 若二、應(yīng)用舉例：例1已知是一次函數(shù)，且求的解析式例2已知例3函數(shù)，求函數(shù)迭代中的”穿脫”技巧設(shè)函數(shù)y=f(x),并記fn(x)=f(f(f(fx),其中n是正整數(shù), fn(x)叫做函數(shù)f(x)的n次迭代,函數(shù)迭代是一種特殊的函數(shù)復(fù)合形式,在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中占有很重要的地位,尤其是近年來(lái)在國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)競(jìng)賽屢次出現(xiàn),成為熱點(diǎn)問(wèn)題之一,以引起廣在數(shù)學(xué)愛(ài)好者的關(guān)注.由f(x)(或fn(x)的表達(dá)式”穿上”或”脫去”n-1個(gè)函數(shù)符號(hào)得出fn(x)(或f(x)的函數(shù)迭代問(wèn)題,這里我們對(duì)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中穿脫問(wèn)題的解題技巧作簡(jiǎn)單介紹和粗淺的探索.

29、1程序化穿脫“穿”,”脫”函數(shù)符號(hào)是一種有序的過(guò)程,由內(nèi)至外一層層穿上f,或從外至內(nèi)一層層脫去f,往往是一種程序化的模式,例 已知f(x)= ,求fn(x).2實(shí)驗(yàn)法穿脫許多情況下,求解穿脫問(wèn)題并非只是一種程序化的操作,還需要用敏銳的思維和眼光去發(fā)現(xiàn)穿脫過(guò)程所蘊(yùn)含的規(guī)律性,實(shí)驗(yàn)是發(fā)現(xiàn)的源泉,是發(fā)現(xiàn)規(guī)律的金鑰匙.例函數(shù)定義在整數(shù)集上,且滿足f(n)=n-3 (n1000)ff(n+5)(n1000求f(84)例21 對(duì)任意的正整數(shù)k,令f1(k)定義為k的各位數(shù)字和的平方.對(duì)于n2令fn(k)=f1(fn-1(k),求f1988(11).3周期性穿脫 在求解函數(shù)迭代問(wèn)題時(shí)我們經(jīng)常要借助于函數(shù)的周

30、期性,利用周期性穿脫要能達(dá)到進(jìn)退自如,做到需穿插則穿,需脫則脫,從而優(yōu)化解題過(guò)程.例定義域?yàn)檎麛?shù)的函數(shù),滿足:f(n)=n-3 (n1000)ff(n+7)(n1000.試求f(90)練習(xí)1.設(shè)n是自然數(shù),f(n)為n2+1(十進(jìn)制)的數(shù)字之和,f1(n)=f(n),求的f100(1990)值.2.已知f(x)=.設(shè)f35(x)=f5(x),求f28(x).例4求函數(shù)的值域。兩邊平方得，從而且。由或y2。任取y2，由，易知x2，于是。任取，同樣由，易知x1。于是。因此，所求函數(shù)的值域?yàn)?。?（1）設(shè)x,y是實(shí)數(shù)，且滿足，求x+y的值（2） 若方程有唯一解，求a例6：解方程、不等式：（1） （

31、2）(x8)2007x20072x80 （3）Ex1.求的圖象與軸交點(diǎn)坐標(biāo)。 解： 令，可知是奇函數(shù)，且嚴(yán)格單調(diào)，所以 ，當(dāng)時(shí)，所以，故，即圖象和軸交點(diǎn)坐標(biāo)為若函數(shù)為單調(diào)的奇函數(shù)，且，則。若遇兩個(gè)式子結(jié)構(gòu)相同，不妨依此構(gòu)造函數(shù)，若剛好函數(shù)能滿足上述性質(zhì)，則可解之。Ex2. 設(shè)函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,是的（ ）A充分必要條件 B充分不必要條件 C必要不充分條件 D既不充分又不必要條件探求討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，歷年來(lái)都是數(shù)學(xué)競(jìng)賽的命題熱點(diǎn)之一，例如探求函數(shù)的周期性，函數(shù)的不等式證明，以及解反函數(shù)的不等式等問(wèn)題。而解決這類問(wèn)題的辦法就是要“穿脫”函數(shù)符號(hào)“f”，下面我們從具體的例子談一談“穿脫”的技

32、巧與方法.1.單調(diào)性穿脫法對(duì)于特殊函數(shù)的單調(diào)性,我們可以根據(jù)函數(shù)值相等或函數(shù)的單調(diào)性對(duì)函數(shù)“f”進(jìn)行“穿脫”,進(jìn)而達(dá)到化簡(jiǎn)的目的,由此使問(wèn)題獲得解答.已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(-,+)上是增函數(shù),a和b是實(shí)數(shù).試證:證明命題:如果a+b0那么f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).判斷中的逆命題是否正確,并證明你的結(jié)論.2 反函數(shù)穿脫法靈活自如地處理原函數(shù)f(x)與反函數(shù)f-1(x),并能熟練地運(yùn)用f-1 (f(x)=x,f(f-1(x)=x進(jìn)行穿脫函數(shù)符號(hào)“f”，這是極為常用而又重要的方法.引理 若f(x),g(x)互為反函數(shù),且f(a+b)=f(a) f(b),則g(mn)=g(m)+g(

33、n)例 已知函數(shù)f(x)滿足:f()=1;函數(shù)的值域?yàn)?1,1;嚴(yán)格遞減; f(xy)= f(x)+f(y).試求:求證: 不在f(x)的定義域內(nèi)求不等式f-1(x)f-1()的解集3定義探求法在求解有關(guān)函數(shù)方程的問(wèn)題時(shí),我們經(jīng)常會(huì)遇到要證明某函數(shù)為周期性函數(shù),此時(shí)我們一般采用周期函數(shù)的定義來(lái)求解,探求函數(shù)的有關(guān)性質(zhì).例 設(shè)a>0, f(x)是定義在實(shí)數(shù)集上的一個(gè)實(shí)值函數(shù),且對(duì)每一實(shí)數(shù)x,有f(x+a)=+證明: f(x)是周期函數(shù);對(duì)a=1,具體給出一個(gè)這樣的非常數(shù)的函數(shù)f(x)例7設(shè)，均為實(shí)數(shù)，試求當(dāng)變化時(shí)，函數(shù)的最小值。例8設(shè)是定義在Z上的一個(gè)實(shí)值函數(shù)，滿足，求證：是周期為4的周期

34、函數(shù)。 例9已知函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有f(xm),求證f(x)是周期函數(shù)三、練習(xí)1集合由滿足如下條件的函數(shù)組成：當(dāng)時(shí)，有 ，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)，以下關(guān)系中成立的是（ ） 2設(shè)，記，若 則（）、-、3若(log23)x-(log53)x(log23)-(log53)，則( )(A)x-y0 (B)x+y0 (C)x-y0 (D)x+y04定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)，對(duì)一切實(shí)數(shù)x都有f(x1)f(2x)成立，若f(x)0僅有101個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，那么所有實(shí)數(shù)根的和為( ) A.150 B. C.152 D.5已知（a、b；實(shí)數(shù)）且，則的值是 （ ）（A） （B） （C） 3 （D） 隨a、b取

35、不同值而取不同值6函數(shù)的奇偶性是:A.奇函數(shù) B.偶函數(shù) C. 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D.不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)7已知函數(shù)在1,2上恒正，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ( )（A）（B） （C）（D）8函數(shù)的值域?yàn)椋?）9給定實(shí)數(shù)，定義為不大于x的最大整數(shù)，則下列結(jié)論中不正確的序號(hào)是 （ ）10函數(shù)，則 11。實(shí)數(shù)x，y滿足x22xsin(xy)1，則x20066sin5y_12方程ln(x)ln(2x)3x0的解集是 13.已知,且，則= 14下列說(shuō)法正確的是 （1）函數(shù)與關(guān)于直線對(duì)稱；（2）函數(shù)與關(guān)于y軸對(duì)稱；（3）若函數(shù)滿足=，則關(guān)于直線對(duì)稱；（4）若函數(shù)滿足=，則關(guān)于y軸對(duì)稱15若函數(shù)的定義域

36、為R，且對(duì)于的任意值都有，則函數(shù)的周期為_(kāi)。16設(shè)方程的根為,方程的根為,則 = 17函數(shù)，則 18設(shè)則S的最大值為 19設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的圖象與軸所圍成的封閉部分的面積20為何實(shí)數(shù)時(shí)，方程有四個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根21(1)若函數(shù)滿足，求證的圖像就關(guān)于直線對(duì)稱(2)函數(shù)的圖像關(guān)于某條垂直于x軸的直線對(duì)稱，求實(shí)數(shù)c的值22已知，定義（）求（）設(shè)，求證：中至少含有個(gè)元素函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但不包括數(shù)，對(duì)定義域中的任何實(shí)數(shù)，在定義域中存在，使得，且滿足以下三個(gè)條件：（）是定義域中的數(shù)，或，則；（）（是一個(gè)正常數(shù)）；（）當(dāng)時(shí)，求證：（）是奇函數(shù)；（）是周期函數(shù)，并求出其周期；（）在內(nèi)為減函數(shù)

37、7;2.2 二次函數(shù)一、 基礎(chǔ)知識(shí)：1 二次函數(shù)的解析式（1）一般式：（2）頂點(diǎn)式：，頂點(diǎn)為（3）兩根式：（4）三點(diǎn)式：2二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)（1）的圖像是一條拋物線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是，對(duì)稱軸方程為，開(kāi)口與有關(guān)。（2）單調(diào)性：當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；時(shí)相反。（3）奇偶性：當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)；若對(duì)恒成立，則為的對(duì)稱軸。（4）最值：當(dāng)時(shí)，的最值為，當(dāng)時(shí)，的最值可從中選??；當(dāng)時(shí)，的最值可從中選取。常依軸與區(qū)間的位置分類討論。3三個(gè)二次之間的關(guān)聯(lián)及根的分布理論：二次方程的區(qū)間根問(wèn)題，一般情況需要從三個(gè)方面考慮：判別式、區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的符號(hào)；對(duì)稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系。二、 綜合應(yīng)用：例1：已知，若時(shí)，恒成

38、立，求的取值范圍。例2設(shè)滿足條件：（1）當(dāng)時(shí)，（2）當(dāng)， （3）在R上的最小值為0。求的解析式；求最大的使得存在，只要就有。設(shè)實(shí)數(shù)a、b、c滿足a2bc8a70 b2c2bc6a60 求a的取值范圍.分析：如何將含有三個(gè)變量的兩個(gè)方程組成的方程組問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為只含有a的不等式，是解決本題的關(guān)鍵，仔細(xì)分析觀察方程組的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)可以利用a來(lái)表示bc及bc，從而用韋達(dá)定理構(gòu)造出a為變量的一元二次方程，由0建立a的不等式.解：由得：bca28a7 由得：(bc)2a22a1 即bc±(a1) 由得b，c為方程x2±(a1)x(a28a7)0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由于b，cR，所以0即：

39、77;(a1)24(a28a7)0即：a210a90得：1a9例3。已知二次函數(shù)和一次函數(shù)，其中滿足，（1）求證：兩函數(shù)的圖像交于不同的兩點(diǎn)A、B；（2）求線段在軸上的射影的范圍。命題意圖：本題主要考查考生對(duì)函數(shù)中函數(shù)與方程思想的運(yùn)用能力.知識(shí)依托：解答本題的閃光點(diǎn)是熟練應(yīng)用方程的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題及數(shù)與形的完美結(jié)合.錯(cuò)解分析：由于此題表面上重在“形”，因而本題難點(diǎn)就是一些考生可能走入誤區(qū)，老是想在“形”上找解問(wèn)題的突破口，而忽略了“數(shù)”.技巧與方法：利用方程思想巧妙轉(zhuǎn)化.(1)證明：由消去y得ax2+2bx+c=0=4b24ac=4(ac)24ac=4(a2+ac+c2)=4(a+c2a+b+c

40、=0,a>b>c,a>0,c<0 c2>0,>0,即兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn).(2)解：設(shè)方程ax2+bx+c=0的兩根為x1和x2,則x1+x2=,x1x2=.|A1B1|2=(x1x2)2=(x1+x2)24x1x2 a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0a>ac>c,解得(2,)的對(duì)稱軸方程是.(2,)時(shí)，為減函數(shù) |A1B1|2(3,12),故|A1B1|().例4已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx (a,b是常數(shù)，且a0)滿足條件：f(x1)=f(3x)，且方程f(x)=2x有等根。求f(x)的解析式；是否

41、存在實(shí)數(shù)m，n (m<n)，使f(x)的定義域和值域分別為m,n和4m,4n？如果存在，求出m,n的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解析：方程f(x)=2x有等根Þ0Þb=2f(x1)=f(3x)Þf(x)=f(2-x)Þ圖象的對(duì)稱軸為x=-=1Þa=-1f(x)=-x2+2xf(x)=-(x-1)2+114n1Þn拋物線y=-x2+2x的對(duì)稱軸為x=1n時(shí)，f(x)在m,n上為增函數(shù)若滿足題設(shè)條件的m,n存在，則Þm<nm=-2,n=0，這時(shí)定義域?yàn)?2,0，值域?yàn)?8,0存在m=-2,n=0，滿足條件。例5對(duì)于函

42、數(shù)y=f(x)，若存在實(shí)數(shù)x0，滿足f(x0)=x0，則稱x0為f(x)的不動(dòng)點(diǎn)。已知F1(x)=f(x), F2(x)=fF1(x), F3(x)=fF2(x), , Fn(x)=fFn-1(x) (nN*,n2)。若f(x)存在不動(dòng)點(diǎn)，試問(wèn)F2(x), F3(x), ,Fn(x)是否存在不動(dòng)點(diǎn)？寫出你的結(jié)論，并加以證明。設(shè)f(x)=2x-x2。求使所有Fn(x)<0（nN*,n2）成立的所有正實(shí)數(shù)x值的集合。y=f(x)存在不動(dòng)點(diǎn)x0，則f(x0)=x0，下證x0是Fn(x)的不動(dòng)點(diǎn)。F2(x0)=fF1(x0)=ff(x0)f(x0)=x0 x0也是F2(x)的不動(dòng)點(diǎn)。若Fn-1(

43、x)存在不動(dòng)點(diǎn)x0，即Fn-1(x0)=x0 Fn(x0)=fFn-1(x0)=f(x0)=x0Þ Fn(x)存在不動(dòng)點(diǎn)x0綜上所述：對(duì)于任意nN*,n2，F(xiàn)n(x)都存在不動(dòng)點(diǎn)，并且有相同的不動(dòng)點(diǎn)。方法一：f(x)<0Þ2xx2<0Þx<0或x>2要使Fn(x)<0 (n2)ÞfFn-1(x)<0Þ2Fn-1(x)Fn-1(x)2<0ÞFn-1(x)<0或Fn-1(x)>2依此類推，要使F2(x)<0ÞfF1(x)<0Þff(x)<0

44、2;2f(x)f(x)2<0Þf(x)<0或f(x)>2Þ2xx2<0或2xx2>2Þx<0(舍去)或x>2或xfÞx>2所求x的取值范圍為(2,+)。例6：求實(shí)數(shù)的取值范圍，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)和任意實(shí)數(shù)，恒有。設(shè)，原不等式化為：恒成立記，則 ， ， 例7：已知函數(shù)，方程的兩根是，又若，試比較的大小。解法一：設(shè)F(x)f(x)xax2(b1)xca(xx1)(xx2) f(x)a(xx1)(xx2)x作差：f(t)x1a(tx1)(tx2)tx1 (tx1)a(tx2)1 a(tx1)(tx2)又tx2t(x

45、2x1)x1tx10 f(t)x10 f(t)x1解法二：同解法一得f(x)a(xx1)(xx2)x令g(x)a(xx2) a0，g(x)是增函數(shù)，且tx1 Þ g(t)g(x1)a(x1x2)1另一方面：f(t)g(t)(tx1)t a(tx2)g(t)1 f(t)tx1t f(t)x1例8已知函數(shù)，方程的兩個(gè)根為，且（1） 求證：也是方程的根；（2） 設(shè)的另兩個(gè)根是，且，試判斷的大小。解：（1）易證。（2）由方程的兩個(gè)根為，設(shè)所以記，則是的兩根，而，且，故。例9設(shè),方程的兩個(gè)根，若，設(shè)的對(duì)稱軸為，求證構(gòu)造可以推出結(jié)論。設(shè),當(dāng)時(shí)，求證：適合的最小實(shí)數(shù)A的值為8。，所以A的最小值為8

46、例10設(shè),方程的兩個(gè)根滿足，（1）當(dāng)時(shí)，證明；（2）設(shè)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，證明該題是一九九七年全國(guó)普通高考理工類數(shù)學(xué)第24題，它綜合考查二次函數(shù)、二次方程和不等式的基礎(chǔ)知識(shí)，以及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法分析、解決問(wèn)題的能力，當(dāng)年沒(méi)有幾個(gè)考生能完整解答此題?？梢詮拇鷶?shù)與幾何兩個(gè)角度展開(kāi)思考： 從代數(shù)角度看，f(x)是二次函數(shù)，從而方程f(x)-x=0即ax2+(b-1)x+c=0 (a0)是二次方程，由于x1,x2是它的兩個(gè)根，且方程中x2的系數(shù)是a，因此有表達(dá)式：f(x)-x=a(x-x1)(x-x2) ,進(jìn)而，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和題設(shè)條件，可得第（1）問(wèn)的證明。 從幾何角度看，拋物線y=f(x

47、)-x開(kāi)口向上，因此在區(qū)間x1,x2的外部，f(x)-x0，（1）的左端得證。其次，拋物線y=f(x)的開(kāi)口也向上，又x1=f(x1)，于是為了證得（1）的右端，相當(dāng)于要求證明函數(shù)f(x)在區(qū)間0,x1的最大值是f(x1)，這相當(dāng)于證明f(0)f(x1)，也即Cx1，利用韋達(dá)定理和題設(shè)，立即可得。 至于（）的證明，應(yīng)用配方法可得x0=，進(jìn)而利用韋達(dá)定理與題設(shè)，即得證明。 證明：欲證：xf(x)x1      只須證：0f(x)-xx1-x          

48、;  方程f(x)-x=0的兩根為x1,x2, f(x)-x=a(x-x1)(x-x2) 式即: 0a(x-x1)(x-x2)x1-x   a0，x(0,x1)，x1-x0， a(x1-x)0 式兩邊同除以a(x1-x)0，得：0x2-x，即：xx2+x 這由已知條件：0xx1x2，即得：xx2+x， 故命題得證。 （2）欲證x0，因?yàn)閤0=，故只須證：x0-=-0 由韋達(dá)定理，x1+x2=，=，代入式，有- =-0 即：x2 由已知：0x1x2，命題得證。 三、練習(xí)1二次函數(shù),若,則等于:A. B. C.c D.2已知二次函數(shù)，設(shè)方程 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根如果，設(shè)函數(shù)的

49、對(duì)稱軸為，求證：；如果，且的兩實(shí)根的差為2，求實(shí)數(shù)的取值范圍（1）即為：它的兩根滿足的充要條件是：又，所以：因?yàn)椋?，所以：，即：?） 由題意得： 即：消去得：，此不等式等價(jià)于：解得：3已知函數(shù)f(x)=6x6x2，設(shè)函數(shù)g1(x)=f(x), g2(x)=fg1(x), g3(x)=fg2(x), , gn(x)=fgn-1(x), 。求證：如果存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，滿足g1(x0)=x0，那么對(duì)一切nN*, gn(x0)=x0都成立；若實(shí)數(shù)x0，滿足gn(x0)=x0，則稱x0為穩(wěn)定動(dòng)點(diǎn)，試求所有這些穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)。設(shè)區(qū)間A=(-,0)，對(duì)于任意xA，有g(shù)1(x)=f(x)=a<0, g2(

50、x)=fg1(x)=f(0)<0，且n2時(shí)，gn(x)<0。試問(wèn)是否存在區(qū)間B (ABf)，對(duì)于區(qū)間內(nèi)任意實(shí)數(shù)x，只要n2，都有g(shù)n(x)<0？解:數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)n=1時(shí)，g1(x0)=x0顯然成立；當(dāng)n=k時(shí)，在gk(x0)=x0 (kN*)成立，則gk+1(x0)=fgk(x)=f(x0)=g1(x0)=x0，即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立。對(duì)一切nN*，若g1(x0)=x0，則gn(x0)=x0。由知，穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)x0只需滿足f(x0)=x0，f(x0)=x0Þ6x06x02=x0Þx0=0或x0=。f(x)<0Þ6x2x2<0Þx<0或x>1gn(x)<0Ûfgn-1(x)<0Û gn-