高三復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)常見題型歸納

1、導(dǎo)數(shù)常見題型歸納1.高考命題回顧例1.（2013全國1）已知函數(shù)，若曲線和曲線都過點(diǎn)P(0，2)，且在點(diǎn)P處有相同的切線（）求，的值；（）若2時(shí)，求的取值范圍。分析： 由知，設(shè)，則由已知，令若則，從而當(dāng)時(shí)，遞減時(shí)，0，遞增。故當(dāng)時(shí)即恒成立。若 則。所以在上單調(diào)遞增，而.所以時(shí)，恒成立。若，則，從而不可能恒成立即不恒成立。綜上所述。的取值范圍例2（2013全國2）已知函數(shù)（）設(shè)是的極值點(diǎn)，求，并討論的單調(diào)性；（）當(dāng)時(shí)，證明分析：（）。在上減。在上增。（）當(dāng)。時(shí)，。故只需證明時(shí)。當(dāng)時(shí)。在上增。又故在上有唯一實(shí)根，且。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，從而時(shí)，。故綜上知，當(dāng)時(shí)，證明例3. (2014全國1)設(shè)函數(shù)，曲線在

2、點(diǎn)（1，）處的切線為. ()求； （）證明：.(1)解函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,),f(x)aexln xexex1ex1.由題意可得f(1)2,f(1)e.故a1,b2.(2)證明由(1)知,f(x)exln xex1, 從而f(x)>1等價(jià)于xln x>xex.設(shè)函數(shù)g(x)xln x,則g(x)1ln x. 所以當(dāng)x時(shí),g(x)<0；當(dāng)x時(shí),g(x)>0. 故g(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,從而g(x)在(0,)上的最小值為g-. 設(shè)函數(shù)h(x)xex,則h(x)ex(1x).所以當(dāng)x(0,1)時(shí),h(x)>0；當(dāng)x(1,)時(shí),h(x)<0.故h

3、(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,)上單調(diào)遞減,從而h(x)在(0,)上的最大值為h(1).綜上,當(dāng)x>0時(shí),g(x)>h(x),即f(x)>1.例4（2014全國2）已知函數(shù)。（）討論 的單調(diào)性；（）設(shè) ，當(dāng)時(shí)，,求的最大值；（）已知，估計(jì) 的近似值（精確到0.001）。（） 所以在上遞增（）。 。 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，而所以對(duì)任意當(dāng)時(shí)，若滿足即時(shí)。綜上的最大值為2（）由（）知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。所以的近似值為0.693例5【2015高考新課標(biāo)1】已知函數(shù)f（x）=.()當(dāng)a為何值時(shí)，x軸為曲線 的切線；（）用 表示m,n中的最小值，設(shè)函數(shù) ，討論h（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù).解(1

4、)設(shè)曲線yf(x)與x軸相切于點(diǎn)(x0,0),則f(x0)0,f(x0)0.即解得x0,a.因此,當(dāng)a時(shí),x軸為曲線yf(x)的切線.(2)當(dāng)x(1,)時(shí),g(x)ln x<0,從而h(x)minf(x),g(x)g(x)<0,故h(x)在(1,)無零點(diǎn).當(dāng)x1時(shí),若a,則f(1)a0,h(1)minf(1),g(1)g(1)0,故x1是h(x)的零點(diǎn)；若a<,則f(1)<0,h(1)minf(1),g(1)f(1)<0,故x1不是h(x)的零點(diǎn).當(dāng)x(0,1)時(shí),g(x)ln x>0.所以只需考慮f(x)在(0,1)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).()若a3或a0,則f(x)

5、3x2a在(0,1)無零點(diǎn),故f(x)在(0,1)單調(diào).而f(0),f(1)a,所以當(dāng)a3時(shí),f(x)在(0,1)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a0時(shí),f(x)在(0,1)沒有零點(diǎn).()若3<a<0,則f(x)在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,故在(0,1)中,當(dāng)x時(shí),f(x)取得最小值,最小值為f.若f>0,即<a<0,f(x)在(0,1)無零點(diǎn)；若f0,即a,則f(x)在(0,1)有唯一零點(diǎn)；若f<0,即3<a<,由于f(0),f(1)a,所以當(dāng)<a<時(shí),f(x)在(0,1)有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)3<a時(shí),f(x)在(0,1)有一個(gè)零點(diǎn).綜上,當(dāng)a>-

6、或a<-時(shí),h(x)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a-或a-時(shí),h(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)-<a<-時(shí),h(x)有三個(gè)零點(diǎn).例6【2015高考新課標(biāo)，理21】設(shè)函數(shù)，證明在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增。若對(duì)于任意，都有，求的取值范圍。(1)證明f(x)m(emx1)2x.若m0,則當(dāng)x(,0)時(shí),emx10,f(x)0；當(dāng)x(0,)時(shí),emx10,f(x)0.若m0,則當(dāng)x(,0)時(shí),emx10,f(x)0；當(dāng)x(0,)時(shí),emx10,f(x)0.所以,f(x)在(,0)單調(diào)遞減, 在(0,)上單調(diào)遞增.(2)解由(1)知,對(duì)任意的m,f(x)在1,0上單調(diào)遞減,在0,1上單調(diào)遞增,故f(x)在x0處取

7、得最小值.所以對(duì)于任意x1,x21,1,|f(x1)f(x2)|e1的充要條件是即設(shè)函數(shù)g(t)ette1,則g(t)et1.當(dāng)t0時(shí),g(t)0；當(dāng)t0時(shí),g(t)0.故g(t)在(,0)上單調(diào)遞減,在(0,)上單調(diào)遞增.又g(1)0,g(1)e12e0,故當(dāng)t1,1時(shí),g(t)0.當(dāng)m1,1時(shí),g(m)0,g(m)0,即式成立；當(dāng)m1時(shí),由g(t)的單調(diào)性,g(m)0,即emme1；當(dāng)m1時(shí),g(m)0,即emme1.綜上,m的取值范圍是1,1.例7（2016全國1） 已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)（）求的取值范圍；（）設(shè)是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：解(1)f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a)

8、.設(shè)a0,則f(x)(x2)ex,f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).設(shè)a>0,則當(dāng)x(,1)時(shí),f(x)<0；當(dāng)x(1,)時(shí),f(x)>0,所以f(x)在(,1)上單調(diào)遞減,在(1,)上單調(diào)遞增.又f(1)e,f(2)a,取b滿足b<0且b<ln,則f(b)>(b2)a(b1)2a>0,故f(x)存在兩個(gè)零點(diǎn).設(shè)a<0,由f(x)0得x1或xln(2a).若a,則ln(2a)1,故當(dāng)x(1,)時(shí),f(x)>0,因此f(x)在(1,)上單調(diào)遞增.又當(dāng)x1時(shí),f(x)<0,所以f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn).若a<,則ln(2a)>1,故當(dāng)x(1

9、,ln(2a)時(shí),f(x)<0；當(dāng)x(ln(2a),)時(shí),f(x)>0,因此f(x)在(1,ln(2a)上單調(diào)遞減,在(ln(2a),)上單調(diào)遞增.又當(dāng)x1時(shí),f(x)<0,所以f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn).綜上,a的取值范圍為(0,).(2)不妨設(shè)x1<x2.由(1)知,x1(,1),x2(1,),2x2(,1),f(x)在(,1)上單調(diào)遞減,所以x1x2<2等價(jià)于f(x1)>f(2x2),即f(2x2)<0.由于f(2x2)x2e2x2a(x21)2,而f(x2)(x22)ex2a(x21)20,所以f(2x2)x2e2x2(x22)ex2.設(shè)g(x)x

10、e2x(x2)ex,則g(x)(x1)(e2xex),所以當(dāng)x>1時(shí),g(x)<0,而g(1)0,故當(dāng)x>1時(shí),g(x)<0,從而g(x2)f(2x2)<0,故x1x2<2.例8（2016全國2）(I)討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明當(dāng)時(shí)， (II)證明：當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 有最小值.設(shè)的最小值為，求函數(shù)的值域.解(1)f(x)的定義域?yàn)?,2)(2,).f(x)0,且僅當(dāng)x0時(shí),f(x)0,所以f(x)在(,2),(2,)單調(diào)遞增.因此當(dāng)x(0,)時(shí),f(x)>f(0)1.所以(x2)ex>(x2),即(x2)exx2>0.(2)證明g(x)(f(x)

11、a).由(1)知,f(x)a單調(diào)遞增,對(duì)任意a0,1),f(0)aa1<0,f(2)aa0.因此,存在唯一xa( 0,2,使得f(xa)a0,即g(xa)0.當(dāng)0<x<xa時(shí),f(x)a<0,g(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>xa時(shí),f(x)a>0,g(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.因此g(x)在xxa處取得最小值,最小值為g(xa).于是h(a),由>0,單調(diào)遞增.所以,由xa(0,2,得<h(a).因?yàn)閱握{(diào)遞增,對(duì)任意,存在唯一的xa(0,2,af(xa)0,1),使得h(a).所以h(a)的值域是.綜上,當(dāng)a0,1)時(shí),g(x

12、)有最小值h(a),h(a)的值域是.2. 知識(shí)點(diǎn)梳理1、恒成立問題的轉(zhuǎn)化：恒成立；2、能成立問題的轉(zhuǎn)化：能成立；3、恰成立問題的轉(zhuǎn)化：在M上恰成立的解集為M另一轉(zhuǎn)化方法：若在D上恰成立，等價(jià)于在D上的最小值，若在D上恰成立，則等價(jià)于在D上的最大值.4、設(shè)函數(shù)、，對(duì)任意的，存在，使得，則5、設(shè)函數(shù)、，對(duì)任意的，存在，使得，則6、設(shè)函數(shù)、，存在，存在，使得，則7、設(shè)函數(shù)、，存在，存在，使得，則8、若不等式在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上函數(shù)和圖象在函數(shù)圖象上方；9、若不等式在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上函數(shù)和圖象在函數(shù)圖象下方；10.是可導(dǎo)函數(shù)在處取極值的必要不充分條件。3.解題過程中

13、需關(guān)注結(jié)論（對(duì)數(shù)平均不等式） 。 4.題型歸納導(dǎo)數(shù)的切線、單調(diào)性、極值、最值的直接應(yīng)用。例9.（最值）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值分析：，令，得令則，所以在上增所以，從而，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。 ，令。，令，則在上減，而 使得。且，在上增，在上減。在上減，。綜上所述，函數(shù)在上的最大值=例10.（切線）設(shè)函數(shù) ，當(dāng)時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線為，它與軸交于點(diǎn)，求證。分析：容易求出曲線在點(diǎn)處的切線為：,令,得,當(dāng)時(shí)，又，。例11.（單調(diào)性、切線、零點(diǎn)）已知函數(shù) 若函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間設(shè)直線為函數(shù)圖像上一點(diǎn)處的切線，證明：在區(qū)間上存在唯一的，使得直線與曲線相切。分析與解答：函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間易求切線的方程

14、設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)。 直線也為 由得 下證：在區(qū)間上存在且唯一由知函數(shù)在區(qū)間上遞增。又，故。方程必在區(qū)間上有唯一的根，結(jié)論成立。不等式證明不等式證明常用方法有構(gòu)造函數(shù)、變換主元、數(shù)形結(jié)合例12.已知函數(shù) 當(dāng)時(shí)，對(duì)函數(shù)的圖像上任意不同的兩點(diǎn)。線段的中點(diǎn)為，記直線的斜率為，試證明若，且對(duì)任意的，都有，求的取值范圍。解析：當(dāng)時(shí)， 又不妨設(shè) 則設(shè)， 。 函數(shù)在上遞增，不妨設(shè)，即在上減 當(dāng)時(shí)，由在恒成立。設(shè)。則 在上為增函數(shù)。 當(dāng)時(shí)。 由在上恒成立。設(shè)，在上單調(diào)遞增，綜上，的取值范圍為13.已知函數(shù)。 若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為0，且有極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍 當(dāng)時(shí)，證明 當(dāng)時(shí)，若不等式在區(qū)間內(nèi)恒成立，

15、求實(shí)數(shù)的最大值分析：由。可求， 從圖像分析可證明 令 可求在處的切線方程證明曲線在切線上方，由數(shù)形結(jié)合可知14。已知函數(shù)的圖像的一條切線為軸，球?qū)崝?shù)的值令若不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)滿足，求證解析：易求，令則，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)。因此，在上遞增。，又。所以，在上小于0，在上大于0.且在上減，在上增，當(dāng)時(shí)，記可求，故在上單調(diào)增。所以，所以。不妨設(shè)，則。由單調(diào)性知故 極值點(diǎn)偏移極值點(diǎn)偏移問題常見的處理方法有構(gòu)造一元差函數(shù)或者。其中為函數(shù)的極值點(diǎn)。利用對(duì)數(shù)平均不等式。變換主元等方法。15.已知函數(shù)，設(shè)。若成等差數(shù)列，則A B C D. 符號(hào)不確定 分析：，由圖像知，在上，。在上，。是函數(shù)極大值點(diǎn)。 由知 令，則。在上

16、增所以，16.（2016年高考數(shù)學(xué)全國理科第21題）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn) （）求的取值范圍； （）設(shè)是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：解：（）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，得，只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，由得，由得，由得， 故，是的極小值點(diǎn)，也是的最小值點(diǎn)，所以 又，故在區(qū)間內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，即 由又，所以，在區(qū)間 存在唯一零點(diǎn)，即， 故時(shí)，存在兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由得， 若，即時(shí)，故在上單調(diào)遞增，與題意不符 若，即時(shí)，易證故在上只有一 個(gè)零點(diǎn)，若，即時(shí)，易證 ，故在上只有一個(gè)零點(diǎn)綜上述，（）解法一、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明由（）知，且令，則因?yàn)?，所以，所以，所以在?nèi)單調(diào)遞增所以，即，所以，所以，因?yàn)?，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞

17、減，所以，即解法二、利用對(duì)數(shù)平均不等式證明由（）知，又 所以，當(dāng)時(shí)，且，故當(dāng)時(shí)，又因?yàn)?即 所以 所以 所以 所以 下面用反證法證明不等式成立 因?yàn)椋?，所?假設(shè)，當(dāng)，,與矛盾； 當(dāng)時(shí),與矛盾，故假設(shè)不成立 所以17.（2014年高考數(shù)學(xué)湖南卷文科第21題）已知函數(shù) （）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （）當(dāng)時(shí)，求證：解：（）函數(shù)的定義域?yàn)镽 由，得，由，得函數(shù)的遞增區(qū)間，由，得函數(shù)的遞減區(qū)間，所以（）解法一、利用函數(shù)的單調(diào)性求解令 ，則令則，則由得，故在內(nèi)單調(diào)遞增故，故在內(nèi)單調(diào)遞增故，故，故在上單調(diào)遞減所以，由（1）及知，故所以，所以，又在上單調(diào)遞增所以，即解法二、利用對(duì)數(shù)平均不等式求解 因?yàn)闀r(shí)，時(shí)

18、， 所以，所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 因?yàn)?，所?下面用反證法證明，假設(shè) 當(dāng)時(shí)，與不等式矛盾 當(dāng)時(shí)，所以，與不等式矛盾.所以假設(shè)不成立，所以18.（2014年江蘇省南通市二模第20題）設(shè)函數(shù)其圖象與軸交于兩點(diǎn)，且. （）求實(shí)數(shù)的取值范圍； （）證明：為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）；解：（），當(dāng)時(shí)，在R上恒成立，不合題意當(dāng)時(shí)，易知，為函數(shù)的極值點(diǎn)，且是唯一極值點(diǎn)，故，當(dāng)，即時(shí)，至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，故舍去；當(dāng)，即時(shí)，由，且在內(nèi)單調(diào)遞減，故在有且只有一個(gè)零點(diǎn)；由令，則，故所以，即在有且只有一個(gè)零點(diǎn).（）解法一、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解由（）知，在內(nèi)遞減，在內(nèi)遞增，且所以，要證，只須證，即證又，故只須

19、證令 ，則，所以在區(qū)間內(nèi)遞增所以，即所以，所以因?yàn)?，且在區(qū)間內(nèi)遞增所以，即，故解法二、利用對(duì)數(shù)平均不等式求解由（）知，在內(nèi)遞減，在內(nèi)遞增，且所以，因?yàn)?，即，所以所以，要證：，只須證，即故，所以，所以因?yàn)?，所以，而所以成立，所以恒成立、存在性問題求參數(shù)的取值范圍恒成立、存在性問題求參數(shù)的取值范圍通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，通常有構(gòu)造函數(shù)、分離參數(shù)、數(shù)形結(jié)合等手段和方法19.（2014遼寧）當(dāng)x2,1時(shí),不等式ax3x24x30恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.5,3 B. C .6,2 D.4,3分析C當(dāng)x(0,1時(shí),得a34,令t,則t1,),a3t34t2t,令g(t)3t34t2t,t1,

20、),則g(t)-9t2-8t1-(t1)(9t1),顯然在1,) 上,g(t)<0,g(t)單調(diào)遞減,所以g(t)maxg(1)-6,因此a-6；同理,當(dāng)x-2,0)時(shí),得a-2.由以上兩種情況得-6a-2,顯然當(dāng)x0時(shí)也成立.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為-6,-2.20. 已知函數(shù)，若且對(duì)任意的恒成立，則的最大值為 2 3 4 5法一 構(gòu)造 則若則當(dāng)時(shí)，在上增，成立若，令，在上 減；在上，增。問題轉(zhuǎn)化為對(duì)大于2的整數(shù)，成立。經(jīng)檢驗(yàn)成立，不成立。所以法二：問題等價(jià)于，構(gòu)造，令，當(dāng)時(shí)， 所以在上增而，所以使在上，在上 所以21.設(shè)函數(shù)，若時(shí)，求的取值范圍函數(shù)零點(diǎn)問題函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)考察的主要手段是數(shù)形結(jié)合，以導(dǎo)數(shù)為