第3章 習題解答

1、第3章 系統(tǒng)的時域分析習題詳解3-1題3-1圖為一裝水的水箱，h(t)是水面的高度，f(t)是流入水箱的水的流速，y(t)是流出水箱的水的流速。若水閥的阻力為R，則y(t)=Rh(t)。若水箱是底面積為A的圓柱體，則水箱中水的體積等于Ah(t)。求該系統(tǒng)的輸入/輸出關系。題3-1圖解：水箱中水的體積等于流入水箱水的體積減去流出水箱水的體積，即將h(t)=y(t)/R代入上式，并對方程兩邊求導即可求出系統(tǒng)輸入/輸出的關系為3-2判斷下列連續(xù)時間系統(tǒng)是否是線性、時不變系統(tǒng)，其中是輸入，是輸出，且系統(tǒng)滿足IR條件。(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【解】 常系數(shù)微分方程

2、描述的連續(xù)系統(tǒng)都是時不變的系統(tǒng)，線性微分方程描述的連續(xù)系統(tǒng)都是線性的系統(tǒng)。因此，常系數(shù)線性微分方程描述的連續(xù)系統(tǒng)都是線性時不變的系統(tǒng)。(1) 線性、時不變 (2) 非線性、時不變(3) 線性、時變(4) 非線性、時不變(5) 非線性、時不變(6) 線性、時不變(7) 線性、時變(8) 非線性、時不變3-3判斷下列離散時間系統(tǒng)是否是線性、時不變系統(tǒng)，其中是輸入，是輸出，且系統(tǒng)滿足IR條件。(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【解】常系數(shù)差分方程描述的離散系統(tǒng)都是時不變的系統(tǒng)，線性差分方程描述的離散系統(tǒng)都是線性的系統(tǒng)。因此，常系數(shù)線性差分方程描述的離散系統(tǒng)都是線性時不變

3、的系統(tǒng)。(1) 線性、時不變(2) 非線性、時不變(3) 線性、時變(4) 非線性、時不變(5) 線性、時不變(6) 線性、時變(7) 非線性、時變(8) 線性、時不變3-4已知描述某連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的微分方程， ，試求系統(tǒng)在下列輸入激勵作用下系統(tǒng)的固有響應、強迫響應及完全響應。(1)(2)(3)(4)(5)(6)【解】利用經(jīng)典法可以求解微分方程的完全解，其由齊次解yh(t)和特解yp(t)組成，即。其中系統(tǒng)的完全響應對應微分方程的完全解，系統(tǒng)的固有響應對應微分方程的齊次解，系統(tǒng)的強迫響應對應微分方程的特解。先根據(jù)微分方程的齊次方程列出特征方程，再由特征方程求出特征根，由特征根的形式寫出齊次

4、解的形式，齊次解中所含的待定系數(shù)由初始條件決定。系統(tǒng)的微分方程的齊次方程為特征方程為 s+3 = 0特征根為 s= -3 故齊次解形式為： ， t>0 (1) 由輸入的形式，可設微分方程的特解為 yp(t)=C，將特解yp(t)代入原微分方程，即可求得常數(shù)C=1/3, 故微分方程的特解為 yp(t)= 1/3， t>0完全解y(t)的表示式為， t>0由初始條件確定y(t)中的未知數(shù)A，可得A=2/3，則系統(tǒng)的完全響應為系統(tǒng)的固有響應為，強迫響應為yp(t)= 1/3，t>0。(2) 由輸入的形式，可設微分方程的特解為 yp(t)，將特解yp(t)代入原微分方程，即可求

5、得常數(shù)C=1/2, 故微分方程的特解為yp(t) ， t>0完全解y(t)的表示式為， t>0由初始條件確定y(t)中的未知數(shù)A，可得A= 1/2，則系統(tǒng)的完全響應為系統(tǒng)的固有響應為，強迫響應為，t>0。(3) 由于輸入激勵，而系統(tǒng)微分方程的特征根為s = -3，所以特解形式應設為 yp(t) ，t>0將假設的特解yp(t)代入微分方程可得常數(shù)C=1, 故微分方程的特解為yp(t)，t>0完全解y(t)的表示式為，t>0由初始條件確定y(t)中的未知數(shù)A，系統(tǒng)的完全響應為系統(tǒng)的固有響應為，強迫響應為，t>0。(4) 由輸入的形式，可設微分方程的特解為

6、yp(t)= C+Dt，t>0將特解yp(t)代入微分方程可求得常數(shù)C=-1/9，D=1/3, 故微分方程的特解為yp(t) = t /3-1/9，t>0完全解y(t)的表示式為，t>0由初始條件確定y(t)中的未知數(shù)A，可得 A= 10/9系統(tǒng)的完全響應為系統(tǒng)的固有響應為，強迫響應為，t>0。(5) 由輸入信號的形式，可設方程的特解為，t>0將特解代入微分方程可得常數(shù)C=1/10，D=3/10, 故微分方程的特解為完全解的表示式為：，t>0由初始條件確定y(t)中的未知數(shù)A，求得 A=7/10系統(tǒng)的完全響應為系統(tǒng)的固有響應為，強迫響應為，t>0。(6

7、) 由輸入的形式，設特解為 ，t>0將特解代入微分方程即可求得常數(shù)C=1，D=0, 故微分方程的特解為， t>0完全解的表示式為：由初始條件確定y(t)中的未知數(shù)A，系統(tǒng)的完全響應為系統(tǒng)的固有響應為，強迫響應為， t>0。3-5試求下列微分方程所描述系統(tǒng)的固有響應、強迫響應及完全響應。(1) ，；，。(2) ，；，。(3) ，；，。(4) ，；，。(5) ，；，?！窘狻?從題3-4求解微分方程的過程可以看出，經(jīng)典法求解系統(tǒng)響應存在不足：輸入激勵或系統(tǒng)初始條件發(fā)生變化，系統(tǒng)的固有響應和強迫響需重新求解。經(jīng)典法求解n階微分方程需要的是初始條件，若系統(tǒng)在t=0加入激勵信號的瞬間有突

8、變，則初始條件不等于系統(tǒng)的初始狀態(tài)。若激勵信號較復雜，則難以設定相應的特解形式。此外，經(jīng)典法是一種純數(shù)學方法，無法突出系統(tǒng)響應的物理概念。對于線性時不變系統(tǒng)，將系統(tǒng)的完全響應分解為零輸入響應與零狀態(tài)響應之和，而零輸入響應由系統(tǒng)初始狀態(tài)單獨作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的響應，零狀態(tài)響應是由輸入激勵單獨作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的響應。這種分析方法基于信號分解的理論，其物理概念清晰，可以有效克服經(jīng)典法的不足。(1) 系統(tǒng)的完全響應為系統(tǒng)的固有響應為， t>0系統(tǒng)的強迫響應為， t>0。(2) 系統(tǒng)的完全響應為系統(tǒng)的固有響應為， t>0系統(tǒng)的強迫響應為， t>0。(3) 系統(tǒng)的完全響應為系統(tǒng)的固有響應

9、為，t>0系統(tǒng)的強迫響應為yp(t)， t>0。(4) 系統(tǒng)的完全響應為系統(tǒng)的固有響應為，t>0系統(tǒng)的強迫響應為yp(t) ， t>0。(5) 系統(tǒng)的完全響應為系統(tǒng)的固有響應為， t>0系統(tǒng)的強迫響應為yp(t) ， t>0。3-6試求下列連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的零輸入響應。(1) ，；，(2) ，；，(3) ，；，(4) ，；【解】系統(tǒng)的零輸入響應是由系統(tǒng)的初始狀態(tài)單獨作用于系統(tǒng)而產(chǎn)生的響應。求解過程是：先由微分方程對應的齊次方程得到特征方程，由特征方程的特征根寫出的形式，再由給定的系統(tǒng)初始狀態(tài)求出其中的待定系數(shù)。(1) 系統(tǒng)的特征方程為 s2+5s+4 =

10、0特征根為 s1 = -1, s2 = -4（兩不等實根）系統(tǒng)的零輸入響應為 , 代入系統(tǒng)的初始狀態(tài)，有 =1=5（由于在 時刻，系統(tǒng)的響應只有零輸入響應，所以=）解得 =3，= -2 系統(tǒng)的零輸入響應為 ，(2) 系統(tǒng)的特征方程為 s2+4s+4 = 0特征根為 s1 = s2 = -2（相等實根）系統(tǒng)的零輸入響應為 , 代入初始狀態(tài)，有 =-2=3解得 =-2，=-1 系統(tǒng)的零輸入響應為 ，(3) 系統(tǒng)的特征方程為s2+4s+8 = 0特征根為 s1 =-2+2j， s2 = -2-2j（一對共軛復根）系統(tǒng)的零輸入響應為 , 代入初始狀態(tài)，有 =5=2解得 =5，=6 系統(tǒng)的零輸入響應為

11、，(4) 系統(tǒng)的特征方程為s3+3 s2+2s = 0特征根為s1 = 0, s2 = -1, s3 = -2（不等實根）系統(tǒng)的零輸入響應為 , 代入初始狀態(tài)，有 =1=0=1解得 =3/2，=-1，=1/2 系統(tǒng)的零輸入響應為 ，3-7試求下列連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。(1) ，；(2) ，；(3) ，；(4) ，；(5) ，；(6)，；【解】 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應是由外部激勵單獨作用于系統(tǒng)而產(chǎn)生的響應。對于線性時不變系統(tǒng)，通過卷積法求系統(tǒng)零狀態(tài)響應的基本方法是，將任意信號分解為單位沖激信號的線性組合，先計算單位沖激信號作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應，然后利用線性時不變系統(tǒng)的特性，從而解得系統(tǒng)

12、在任意信號激勵下的零狀態(tài)響應。(1) 利用沖激平衡法可得系統(tǒng)的單位沖激響應，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為(2) 系統(tǒng)的單位沖激響應為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為(3) 系統(tǒng)的單位沖激響應為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為(4) 系統(tǒng)的單位沖激響應為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為(5) 系統(tǒng)的單位沖激響應為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為(6) 系統(tǒng)的單位沖激響應為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為3-8試求下列連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的零輸入響應、零狀態(tài)響應和完全響應。(1) ，； ，(2) ，；，(3) ，； ，(4) ，；【解】 (1) 系統(tǒng)的特征方程為s2+5s+4 = 0解得特征根為s1 = -1, s2 = -4（兩不等實根）系統(tǒng)的零輸入響應為 , 代入初始狀態(tài)，

13、有 =2=4解得 =4，=-2 系統(tǒng)的零輸入響應為 利用沖激平衡法可得系統(tǒng)的單位沖激響應系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為系統(tǒng)的完全響應為(2) 系統(tǒng)的特征方程為s2+4s+4 = 0解得特征根為s1 = s2 = -2（相等實根）系統(tǒng)的零輸入響應為 , 代入初始狀態(tài)，有 =-2=3解得 =-2，=-1 。 系統(tǒng)的零輸入響應為 ，利用沖激平衡法可得系統(tǒng)的單位沖激響應系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為系統(tǒng)的完全響應為(3) 系統(tǒng)的零輸入響應為， 系統(tǒng)的單位沖激響應為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為系統(tǒng)的完全響應為(4) 系統(tǒng)的零輸入響應為，系統(tǒng)的單位沖激響應為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為系統(tǒng)的完全響應為3-9已知連續(xù)時間LTI系統(tǒng)y'(t)+

14、ay(t)=f(t)，a¹0的完全響應為y(t)=3+2e-3t，t³0試求(1)系統(tǒng)的固有響應和強迫響應。(2)a和y(0-) 的值，f(t)的表示式。(3)系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應。(4)的零輸入響應和零狀態(tài)響應。【解】 利用經(jīng)典法求解系統(tǒng)響應時，微分方程的完全解由齊次解yh(t)和特解yp(t)組成，即。微分方程的完全解對應系統(tǒng)的完全響應，微分方程的齊次解對應系統(tǒng)的固有響應，微分方程的特解對應系統(tǒng)的強迫響應。(1) y'(t)+ay(t)=f(t)，a¹0的齊次解為：根據(jù)系統(tǒng)的完全響應y(t)=3+2e-3t，可得因此有 ，且特解為yp(t)=3

15、所以系統(tǒng)的固有響應為，強迫響應為。(2) 由于強迫響應為yp(t)=3，所以輸入激勵為常數(shù)形式設，考慮輸入激勵在時刻加入。利用沖激平衡法，系統(tǒng)的單位沖激響應為。所以系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為 設系統(tǒng)的零輸入響應為則系統(tǒng)的完全響應為根據(jù)已知的完全響應為y(t)=3+2e-3t可得 ，。因此有， ，y(0-)=(3) 零輸入響應，零狀態(tài)響應。(4) 當延遲，則系統(tǒng)的零輸入響應不變，仍然為 根據(jù)LTI 系統(tǒng)特性，作相應的延遲，即。3-10已知連續(xù)時間LTI系統(tǒng)，的完全響應為，試求(1)a和y(0) 的值，f(t)的表示式。(2)系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應。(3) 若y(0)=6，的零輸入響應和零狀態(tài)響應。

16、(4) 若y(0)=6，的零輸入響應和零狀態(tài)響應。【解】 y'(t)+ay(t)=f(t)，a¹0的齊次解為：根據(jù)完全響應可得因此有 ，且特解為。即系統(tǒng)的固有響應為，強迫響應為。根據(jù)強迫響應的形式，應設利用沖激平衡法可得系統(tǒng)的單位沖激響應為。所以有 設系統(tǒng)的零輸入響應為則完全響應，根據(jù)已知的完全響應可得，。系統(tǒng)的零輸入響應為，零狀態(tài)響應為。，y(0-)=(3) 若y(0)=6，則系統(tǒng)的零輸入響應為。若，表明系統(tǒng)的輸入由，根據(jù)LTI系統(tǒng)的特性，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應也為原來零狀態(tài)響應的微分，即。(4) 若y(0)=6，則系統(tǒng)的零輸入響應為。若，根據(jù)LTI系統(tǒng)的特性，同理可得3-11試

17、求下列微分方程所描述的連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的沖激響應。(1) ， ；(2) ， (3) ， ；(4) ， ；(5) ， ；(6) ， ；【解】 系統(tǒng)的沖激響應是系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下，輸入激勵為單位沖激信號的響應。在時，系統(tǒng)沖激響應的形式為 ，si為系統(tǒng)特征根。式中的待定系數(shù)可以采用沖激平衡法確定。所謂沖激平衡法就是比較等式兩邊及其高階導數(shù)的系數(shù)以確定待定系數(shù)。在時，要使方程式兩邊所具有的沖激信號及其高階導數(shù)相等，則表示式中還應含有及其相應階的導數(shù)。(1) ， ；由于，系統(tǒng)的特征根si= -3，故設則，代入微分方程得，根據(jù)沖激平衡法，解得所以 (2) ， ；由于，系統(tǒng)的特征根si= -4，故設代入微

18、分方程，解得，。所以 (3) ， ；設，代入微分方程，解得，。 所以 (4) ， ；設， 代入微分方程，解得，。所以 (5) ， ；設，代入微分方程，解得，。所以 (6) ， ；設，代入微分方程，解得，。所以 。3-12求題3-12圖示RC電路電容電壓的沖激響應和階躍響應。題3-12圖【解】 電路中輸入信號為電壓源，輸出信號為電容電壓。根據(jù)基爾霍夫電壓定律可得整理可得系統(tǒng)的輸入輸出關系為利用沖激平衡法，可得沖激響應為。階躍響應為。3-13求題3-13圖示RL電路電感電流的沖激響應和階躍響應。 題3-13圖【解】 電路中的輸入信號為電流源，輸出信號為電感電流。根據(jù)基爾霍夫電流定律可得整理可得系統(tǒng)

19、的輸入輸出關系為 。利用沖激平衡法，可得沖激響應為。階躍響應為。3-14由時域求下列沖激響應所對應連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的微分方程式。(1)， (2)，(3)【解】 已知微分方程可以求得系統(tǒng)的沖激響應，相應地，已知系統(tǒng)的沖激響應也可求得對應的微分方程。首先，根據(jù)系統(tǒng)沖激響應的形式得到表達關系的微分方程，其含待定系數(shù)。然后將，代入微分方程，即可求得待定系數(shù)。(1) 由沖激響應的形式，可知此微分方程是一階微分方程，且其特征根為。由于不含及其高階導數(shù)，所以微分的最高階次比微分的最高階次高。因而微分方程可設為：。將，代入微分方程可得，求得。所以系統(tǒng)的微分方程為：。(2) 由沖激響應的形式，可知此微分方程是

20、一階微分方程，且其特征根為。由于含，所以微分的最高階次與微分最高階次相等。因而微分方程可設為：。將，代入微分方程可得，求得。所以系統(tǒng)的微分方程為：。(3) 由沖激響應的形式，可知此微分方程是二階微分方程，且其特征根為。由于不含及其高階微分，所以微分的最高階次高于微分的最高階次。所以微分方程可設為：。將，代入微分方程可得求得。所以系統(tǒng)的微分方程為：。3-15用圖解法計算題3-15圖卷積積分(a)(b)題3-15圖【解】 利用圖解法計算信號卷積的基本過程是：(1) 將中的自變量由t改為t，t成為函數(shù)的自變量；(2) 把其中一個信號翻轉(zhuǎn)，如將翻轉(zhuǎn)得；(3) 把平移t，成為，t是參變量。t>0時

21、，圖形右移；t<0時，圖形左移。(4) 將與相乘；(5) 對乘積后的圖形積分。(a) ，由0(a)(b)(c)可知(1) 當時， (2) 當時，(3) 當時，(4) 當時，(5) 當時， 的圖形如0所示。 (a) (b) (c) (d) 題3-15(a)解答圖(b) ，由0 (a)(b)(c)(d)可知(1) 當時， (2) 當時，(3) 當時，(4) 當時，(5) 當時，(6) 當時， 的圖形如0(e)所示。 (a) (b) (c) (d) (e) 題3-15 (b)解答圖3-16計算下列卷積積分(1) , (2) (3) ,(4) (5) ,(6) (7),(8) 【解】 (1) 根

22、據(jù)單位階躍信號和單位斜坡信號的關系：和卷積的位移性質(zhì)，可得 (2) 因為，利用卷積的移位性質(zhì)，所以(3) (4) 利用卷積的移位性質(zhì)和題(3)的結(jié)論， (5) (6) =(7) =(8) =3-17利用卷積積分的微、積分性質(zhì)計算題3-15信號的卷積。(a) 利用卷積的等效特性：，如0(a)所示。，如0 (b)所示。 所以即 。 (a) (b) 題3-15 (a) 解答圖(b) 信號與單位階躍信號的卷積等于對該信號積分。令 所以 3-18利用卷積積分的性質(zhì)計算題3-18圖信號的卷積，并畫出結(jié)果波形。(a)(b)題3-18圖【解】 (a)， 題3-18 (a) 解答圖(b) 利用卷積的等效特性，

23、題3-18 (b) 解答圖3-19已知為題3-19圖(a)所示的三角波，是題3-19圖 (b)所示的單位沖激序列，計算，并分別畫出，和時的卷積結(jié)果波形。(a)(b)題3-19圖【解】 信號與沖激信號的卷積，可以將信號平移，即因此可以實現(xiàn)對信號的周期延拓，周期為T，即。，和時的卷積結(jié)果波形分別如0(a)(b)(c)所示。顯然，當周期T小于的信號長度時，延拓過程中將會產(chǎn)生信號混疊。 (a) 時(b) 時 (c)時 題3-19解答圖由于信號的寬度為，當延拓周期小于信號寬度時，延拓信號發(fā)生了混疊。 3-20證明(a) (b) (c) (d) 【解】 (a) 證明： （沖激信號的取樣特性）(b) 證明：

24、因為，所以任何信號和單位階躍信號卷積，就是對這個信號的積分。(c) 證明：利用(b)的結(jié)論和卷積的位移特性，所以有。(d) 證明： n=0，n=1， n=2，根據(jù)數(shù)學歸納法，可以證明。3-21已知某線性非時變系統(tǒng)的輸入為f(t)，系統(tǒng)的階躍響應為g(t)，試證明系統(tǒng)的零狀態(tài)響應可以表示為上式稱為杜阿美爾積分。證明：若系統(tǒng)的沖激響應為h(t)，則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為利用卷積積分的等效特性，即可證得3-22已知某線性非時變系統(tǒng)的階躍響應g(t)如題3-22圖 (a)所示，試求當系統(tǒng)輸入為題3-22圖(b)所示的f(t)時系統(tǒng)的零狀態(tài)響應yf (t)，并畫出波形。 (a) (b)題3-22圖【解】 因

25、為系統(tǒng)的輸入輸出關系為：，而根據(jù)線性時不變系統(tǒng)特性可得： 題3-22解答圖3-23已知某線性時不變系統(tǒng)在階躍信號激勵下產(chǎn)生的階躍響應為，試求系統(tǒng)在激勵下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應?！窘狻扛鶕?jù)信號是的微分，因此系統(tǒng)的單位沖激響應為所以有 3-24已知一線性時不變系統(tǒng)對的零狀態(tài)響應為，試求(1) 系統(tǒng)的沖激響應；(2) 系統(tǒng)對輸入激勵產(chǎn)生的零狀態(tài)響應?！窘狻?根據(jù)信號是的積分，因此系統(tǒng)的單位沖激響應為 當時， 3-25已知某線性時不變系統(tǒng)在激勵下產(chǎn)生的響應為，試求系統(tǒng)在激勵下產(chǎn)生的響應，、如題3-25圖所示。 題3-25圖【解】 從和圖形可以看得出，與存在以下關系）根據(jù)線性時不變性質(zhì)，和之間也存在同樣的關系

26、。 3-26已知某線性時不變系統(tǒng)在激勵下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應為，如題3-26圖所示，試求：(1) 系統(tǒng)的沖激響應；(2)系統(tǒng)在激勵下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應。 題3-26圖【解】 (1) 從和圖形可以看得出，是的積分后的時移，即 所以系統(tǒng)的沖激響應為 (2)3-27已知某連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的微分方程為，。(1)求系統(tǒng)的單位沖激響應 h(t)(2)求系統(tǒng)的零輸入響應，零狀態(tài)響應及完全響應y(t)(3)指出系統(tǒng)響應中的瞬態(tài)響應分量和穩(wěn)態(tài)響應分量，及其固有響應分量和強迫響應分量。【解】 系統(tǒng)的完全響應可分解為零輸入響應和零狀態(tài)響應，可以分解為瞬態(tài)響應分量和穩(wěn)態(tài)響應分量，也可以分解為固有響應分量和強迫響應分量。瞬

27、態(tài)響應分量是系統(tǒng)完全響應中隨著時間的增加而趨于零的分量，穩(wěn)態(tài)響應分量是系統(tǒng)完全響應中不隨時間的增加而趨于零的分量。固有響應分量對應微分方程的齊次解，它與系統(tǒng)的特征根有關，僅依賴于系統(tǒng)本身的特性，與激勵信號的形式無關，強迫響應分量由激勵信號確定，對應微分方程的特解。(1) 利用沖激平衡法可得(2) 系統(tǒng)的特征方程為s2+5s+6 = 0解得特征根為 s1 = -2, s2 = -3（兩不等實根）故設系統(tǒng)的零輸入響應為 , 代入初始狀態(tài)，可得 =1=0解得 =3，= -2 。 因此零輸入響應為 。 零狀態(tài)響應為完全響應為。(3) 因為系統(tǒng)完全響應中，當t趨于無窮時，分量衰減為零，所以，。系統(tǒng)完全響

28、應中的分量與系統(tǒng)的特征根有關，與激勵信號的形式無關，所以系統(tǒng)的固有響應為；系統(tǒng)完全響應中的分量由激勵信號確定，所以系統(tǒng)的強迫響應。3-28已知描述某離散時間LTI系統(tǒng)的差分方程， ；，試求系統(tǒng)在下列輸入激勵作用下系統(tǒng)的固有響應、強迫響應及完全響應。(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【解】 差分方程的完全解由齊次解yh k和特解yp k兩部分組成。即。齊次解的形式由差分方程的特征根確定，特解的形式由激勵信號的形式確定。差分方程的齊次解對應系統(tǒng)的固有響應，差分方程的特解對應系統(tǒng)的強迫響應。此差分方程的特征方程為解得特征根為，故齊次解設為(1) 由于輸入，因此差分方程的特解形式為將特解

29、代入差分方程得解出待定系數(shù)A= 2差分方程的特解為差分方程的完全解為，代入初始條件，有解得，因此差分方程的齊次解為差分方程的完全解為，(2) 由于輸入，因此差分方程特解的形式為 將特解代入差分方程得解出待定系數(shù)A= 2/3差分方程的特解為差分方程的完全解為，代入初始條件，有解得，因此差分方程的齊次解為差分方程的完全解為，(3) 由于輸入，因此差分方程特解的形式為將特解代入差分方程得解出待定系數(shù)A= 4/3差分方程的特解為差分方程的完全解為，代入初始條件有解得，因此差分方程的齊次解為差分方程的完全解為，(4) 由于輸入，因此差分方程特解的形式為將特解代入差分方程得解出待定系數(shù)A= 1差分方程的特

30、解為差分方程的完全解為，代入初始條件有因此差分方程的齊次解為差分方程的完全解為，(5) 由于輸入，因此差分方程特解的形式為將特解代入差分方程得解出待定系數(shù)差分方程的特解為差分方程的完全解為，代入初始條件有解得，因此差分方程的齊次解為差分方程的完全解為，(6) 由于輸入，因此差分方程特解的形式為將特解代入差分方程得解出待定系數(shù)，差分方程的特解為差分方程的完全解為 代入初始條件有解得，因此差分方程的齊次解為差分方程的完全解為 3-29求離散時間系統(tǒng)，的零輸入響應，式中(1)； (2)；(3) ?！窘狻?離散時間LTI系統(tǒng)的完全響應yk可以看作是由系統(tǒng)的初始狀態(tài)與輸入激勵分別單獨作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的響應

31、迭加，即 ，其中，零輸入響應yxk是由初始狀態(tài)單獨作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的響應，零狀態(tài)響應yfk是由輸入激勵單獨作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的響應。求解零輸入響應yxk的步驟是：首先根據(jù)差分方程列出特征方程，求出特征根；再根據(jù)特征根列出零輸入響應yxk的形式，內(nèi)含待定系數(shù)；然后根據(jù)系統(tǒng)的初始狀態(tài)求出待定系數(shù)。(1) 當時，系統(tǒng)的差分方程為差分方程對應的特征方程為解得特征根，因此系統(tǒng)零輸入響應設為代入系統(tǒng)的初始狀態(tài)可得解得，故系統(tǒng)的零輸入響應為(2) 當時，系統(tǒng)的差分方程為特征方程為，解得特征根，因此系統(tǒng)的零輸入響應設為代入初始狀態(tài)可得解得，故系統(tǒng)的零輸入響應為(3) 當時，系統(tǒng)的差分方程為特征方程為 ，解得特征根因

32、此系統(tǒng)的零輸入響應設為代入初始狀態(tài)可得解得，故系統(tǒng)的零輸入響應為 3-30 求下列方程描述的離散時間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。(1)，(2)，(3)，(4) ，【解】 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應yfk是由輸入激勵單獨作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的響應。求解yfk的步驟是：首先根據(jù)差分方程求出系統(tǒng)的單位脈沖響應，再計算。(1)利用迭代法或等效條件法，可求得系統(tǒng)的單位脈沖響應為所以，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為(2)系統(tǒng)的單位脈沖響應為，因此系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為(3)系統(tǒng)的單位脈沖響應為，因此零狀態(tài)響應為(4) 系統(tǒng)的單位脈沖響應為，因此零狀態(tài)響應為3-31求下列離散時間系統(tǒng)的零輸入響應，零狀態(tài)響應及完全響應。(1), ，(2), ，【解】

33、 (1) 差分方程對應的特征方程為解得特征根為 所以系統(tǒng)的零輸入響應為代入初始狀態(tài)有解得 所以 系統(tǒng)的單位脈沖響應為所以，零狀態(tài)響應yfk為系統(tǒng)的完全響應為(2) 差分方程對應的特征方程為解得特征根為所以系統(tǒng)的零輸入響應為代入初始狀態(tài)，可得解得 所以 系統(tǒng)的單位脈沖響應為所以，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應yfk為系統(tǒng)的完全響應為。3-32已知離散時間LTI系統(tǒng)，的完全響應為，試求(1)系統(tǒng)的固有響應和強迫響應；(2)y-1 的值，fk的表示式；(3)系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應；(4)的零輸入響應和零狀態(tài)響應；(5) 若y-1=8，的零輸入響應和零狀態(tài)響應。【解】(1)，(2), y-1=4(3),(4)

34、 ,(5) ,3-33求下列方程描述的離散時間系統(tǒng)的單位脈沖響應 hk。(1) (2)(3) (4) 【解】 求解離散系統(tǒng)的單位脈沖序列hk 可以用迭代法或等效初始條件法。迭代法難以得到封閉解的形式，一般采用等效初始條件法。選擇初始條件的基本原則是必須將的作用體現(xiàn)在初始條件中。 (1) 根據(jù)單位脈沖響應hk的定義，它應滿足方程根據(jù)差分方程的特征根可設 hk中只含有一個待定系數(shù)，需要求出一個等效初始條件，在差分方程中取可有 解得等效初始條件，將其代入可得C=1，所以 (2)根據(jù)單位脈沖響應hk的定義，它應滿足方程(3) 根據(jù)單位脈沖響應hk的定義，它應滿足方程根據(jù)差分方程的特征根可設hk中含有兩

35、個待定系數(shù)，需要根據(jù)差分方程求出兩個等效初始條件， ， 解得等效初始條件為將等效初始條件代入可得(4) 根據(jù)單位脈沖響應hk的定義，它應滿足方程設 hk中含有三個待定系數(shù)，需要根據(jù)差分方程求出兩個等效初始條件， ， ，解得等效初始條件為，將等效初始條件代入，可得3-34求加權平均系統(tǒng)，M=3的單位脈沖響應 hk及其階躍響應 gk?！窘狻?M=3時， 根據(jù)單位脈沖響應hk的定義，可得系統(tǒng)單位脈沖響應hk為由于該系統(tǒng)為LTI系統(tǒng)，所以階躍響應 gk和單位脈沖響應hk滿足關系 3-35由時域求下列單位脈沖響應所對應離散時間LTI系統(tǒng)的差分方程式。(1)(2) (3)(4) 【解】 首先根據(jù)系統(tǒng)單位脈

36、沖響應寫出關系的差分方程形式，其含有待定系數(shù)；將，代入差分方程，即可求得待定系數(shù)。(1)根據(jù)單位脈沖響應的定義，可以直接列出系統(tǒng)差分方程為(2) 根據(jù)單位脈沖響應的形式，該差分方程是一階常系數(shù)差分方程，其特征根為。因此，差分方程應為將，代入差分方程可得，解得所以系統(tǒng)的差分方程為(3) 根據(jù)單位脈沖響應的形式，該差分方程是一階常系數(shù)差分方程，其特征根為。由于單位脈沖響應含有，故差分方程可設為。將，代入差分方程可得，解得。所以系統(tǒng)的差分方程為(4) 根據(jù)單位脈沖響應的形式，該差分方程是二階常系數(shù)差分方程，其特征根為。故差分方程可設為。將，代入差分方程可得。所以系統(tǒng)的差分方程為3-36用圖解法計算(

37、1), (2), 解：利用圖解法計算卷積和的步驟如下：(1) 將fk、h k中的自變量由k改為n；(2) 把其中一個信號如h n翻轉(zhuǎn)，并平移k；(3) 將fn與h k-n相乘，并對乘積后的圖形求和；(1) fk hk的波形如0(a) (b)所示 ，將hn翻轉(zhuǎn)，并平移k，根據(jù)fn與h k-n重疊的情況分段討論。當N<0時，=0當時，fn與h k-n 的重疊區(qū)間為0，k，如0(c)所示，故當時，fn與h k-n 的重疊區(qū)間為0，N-1 ，如0(d)所示，故(a) fk (b) hk(c) (d) (2) fk hk的波形如0(a) (b)所示，將hn翻轉(zhuǎn)，并平移k，根據(jù)fn與h k-n重疊的情況分段討論。當N<0時，=0當時，fn與h k-n 的重疊區(qū)間為0，k，如0(c)所示，故當時，fn與h k-n 的重疊區(qū)間為k-(N-1)，N-1 ，如0(d)所示，故(a) fk (b) hk(c) (d) 3-37計算以下序列的卷積和。(1)(2)(3)(4) 【解】 兩個序列和的卷積，的起點等于和的起點之和，的終點等于和的終點之和，的長度等于和的長度之和減1。(1) (2) (3) (4) 3-38計算以下序列的卷積和。(1) (2)(3) (4