十九含參數(shù)的積分

1、第十九章含參變量的積分1含參變量的正常積分1.求卜列極限：(1)lima：x2 a2dx ;0 . J(2)limaTb o x2 cosax dx ;(3)limaT1 adx0 a 1 x2 a22求F'(X)，其中:2x xy2(I) F(x)x e»ydy ；cosx x F(x) =e 心 dy; sinxb xsin(xy) F(x) = a x dy ;r yx x2 0 t2 f(t,S)dS3. 設f (x)為連續(xù)函數(shù)，f(XX o1F(x) 2h求 F"(x).4. 研究函數(shù)F(y)'fU0 x + y的連續(xù)性，其中f (x)是0, 1上

2、連續(xù)且為正的函數(shù).5. 應用積分號下求導法求下列積分：兀r2 2 2(1) 0 In (a -si n x)dx (a 1)；兀2(2) 0 In(1 -2acosx a )dx (|a| ： 1);n2222(3) .21n(a sin x b cos x)dx (a,b = 0);汙如(atanx)dx (葉J.tan x6. 應用積分交換次序求下列積分:i xb - X* 0 韋dx (a go)； fsin n 1 l，x x dx (a =O,b >0).0 xl nx7. 設f為可微函數(shù)，試求下列函數(shù)的二階導數(shù):x(i) F(x) = o (x y)f (y)dy ；b F(

3、x)二 a f (y)|x - y 0y (a ： b)；&證明：fdxj1 :2dy 式 fdyj *22dx.00(x2 y2)200 (x2 y2)29.設F(y)二°ln , x2 y2dx，問是否成立F'(0) = 0 Tn x2 y2 |ydx.0 cy10.設2：-; -F (x)excos - cos(xsi n Rd)求證F (x)三2二.1 x at11. 設f (x)為兩次可微函數(shù)，:(x)為可微函數(shù)，證明函數(shù)u(x,t)=lf (x-at) f(x at)2滿足弦振動方程c2u-:t2及初始條件u(x,0) = f (x),ut(x,0) =

4、(x).2含參變量的廣義積分證明下列積分在指定的區(qū)間內(nèi)一致收斂:cos(xy) ,/小、0 Ldy .0)；:cos(xy)1.2.3.求證：4.dy ( _：一 . 2二sin x / c、)k (P-°).01 y2討論下列積分在指定區(qū)間上的一致收斂性:(0 ： ： ：)；: .2亦e它dx說 _xy0 xe dy ，(i) X a,b(a0)，( ii)x 0, b；廣eZ2dx，(i)a ： ： b，(ii)；： ：e"y2)sin xdy (0 : x ；：).設 f(t)在 t 0連續(xù)，.0, 'f (t)dt 當-二 a, 二 b 皆收斂，且 a :

5、b。；t'f(t)dt關于在a,b 一致收斂.討論下列函數(shù)在指定區(qū)間上的連續(xù)性:F(x)x-xdyF(x)sin y0 yxF -y)2" dy， x (0, 2).5若f(x, y)在a,b c,：)上連續(xù)，含參變量廣義積分6 .含參變量的廣義積分在a,b)收斂，在x=b時發(fā)散，證明I (x)在a,b)不一致收斂I (x) f (x, y)dy在a,b一致收斂的充要條件是：對任 -c趨于二的遞增數(shù)列An(其中A =c),函數(shù)項級數(shù):An1oOf (x,y)dy =為 Un(x)n在a,b上一致收斂.7用上題的結論證明含參變量廣義積分l(x)二"f (x, y)dy

6、在a,b的積分交換次序c定理(定理19.12 )和積分號下求導數(shù)定理&利用微分交換次序計算下列積分：(定理 19.13).(1)1 n(a)=毗 dx2n 11 (x a)(n為正整數(shù)，a 0)；_bxesin mxdx ( a 0,b0 )；8 仔2l xe sinbxdx(g>°).9用對參數(shù)的積分法計算下列積分:-ax2-bx2:e - - e(1)dx ( a 0,b0)；0-ax-bxesinmxdx ( a 0,b 0 ).010利用11 x2：e1 x2)dy計算拉普拉斯積分二cos： x ,rdx01 x2Li 二:xsin ： x , dx.1x2七c

7、 .71 七csin xsin x dx 二2F1°"cosx2dx:cosx , dx .12. 利用已知積分:sin xdx 二x2二2 二e dx 二) 2計算下列積分:.4(1):sin x廠dx;'x22:sin y cos yx ,dy ;JI-be 220 xedx (a 0)；：e4ax2 bx c)dx (a 0):4x2.:edx (a 0).13. 求下列積分：嚴1 一£(1)costdt ;0 t:ln(1x2)01 x2dx.14. 證明：11(1) fln(xy)dy在,b (b>1)上一致收斂;0b1 dx -在(-：,b (b ：1)上一致收斂.xy1利用歐拉積分計算下列積分:(1)1 dx1 -x4（n為正整數(shù)）；(8)兀 dx.3 -cosx(9)Tt、2sin2n xdx（n為正整數(shù)）；(10)dx （n為正整數(shù)）.0 , x Xln1 Pdx ； 0 x dx ；o ,x xpeln xdx(a>0).(1 一 .x)dx；a一.0 X2 冷 a2 _x3證明:)dx (a 0)；jsin6 xcos4 xdx ；:dx ；0 1 x4 ':2nX2x e d