向量代數(shù)與空間解析幾何06288

1、第五章 向量代數(shù)與空間解析幾何15.1 向量及其運(yùn)算15.1.1 向量的概念15.1.2 向量的線性運(yùn)算25.1.3 向量的數(shù)量積（點(diǎn)積、內(nèi)積）55.1.5 向量的混合積85.2 點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)85.2.1 控件直角坐標(biāo)系85.2.2 向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示115.3 空間的平面與直線175.3.1 平面175.2.3 空間直線195.3.3 點(diǎn)、平面、直線的位置關(guān)系215.4 曲面與曲線265.4.1 曲面、曲線的方程26第五章 向量代數(shù)與空間解析幾何5.1 向量及其運(yùn)算5.1.1 向量的概念即有大小又有方向的量，稱為向量（或矢量）。在數(shù)學(xué)上，往往以有向線段表示向量，其方向表示向量的方向，

2、其長 B度表示向量的大小。以為起點(diǎn)，為終點(diǎn)的有向線段所表示的向量記作（圖51）。有時(shí)也用一個黑體字來表示向量，例如a、r、v、F A或等等。 圖51向量的大小稱為向量的模。向量、a、的模依次記作、|a|、。在實(shí)際問題中，有些向量與其起點(diǎn)有關(guān)（例如質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的速度，與該質(zhì)點(diǎn)的位置有關(guān)，力與力的作用點(diǎn)有關(guān)），有些向量與其起點(diǎn)無關(guān)。由于一切向量的共性是大小和方向，所以在數(shù)學(xué)上我們只研究與起點(diǎn)無關(guān)的向量，并稱為自由向量（簡稱向量）,即只考慮向量的大小和方向，而不論他的起點(diǎn)在那。如果兩個向量和大小相同方向一致，就說兩個向量相等，記作。這就是說，經(jīng)過平行移動后能完全重合的向量是相等的。模等于1的向量叫做單位

3、向量。模等于零的向量叫做零向量，記作或。零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)重合，它的方向是任意的。與向量模相等而方向相反的向量稱為的負(fù)向量，記做。若將向量、平移，使它們的起點(diǎn)重合，則表示它們的有向線段的夾角稱為向量和的夾角（見圖5-2）,記做兩個非零向量如果它們的方向相同或者方向相反，就稱這兩個向量 圖52平行。向量與平行，記作，零向量平行于任意向量。當(dāng)兩個平行向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí)，它們的終點(diǎn)和公共起點(diǎn)應(yīng)在一條直線上，稱兩向量共線。若與的夾角為，則稱與垂直或正交，記做。類似還有向量共面的概念。設(shè)有（）個向量，當(dāng)把它們的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí)，如果個終點(diǎn)和公共起點(diǎn)在一個平面上，就稱這個向量共面。5.1.2 向量的線

4、性運(yùn)算1向量的加減法向量的加法運(yùn)算規(guī)定如下：設(shè)有兩個向量與，任取一點(diǎn)，作，再以為起點(diǎn)，作，連接（圖53），那么向量稱為向量與的和，記作，即 圖53 圖54.此方法稱為三角形法則。向量的平行四邊形法則：當(dāng)向量與不平行時(shí)，作，以為邊作一平行四邊形，連接對角線(圖54)，顯然向量即等于向量與的和+向量加法復(fù)合下列運(yùn)算規(guī)律：（1） 交換率 +=+（2） 結(jié)合率 (a+b)+c=a+(b+c).由圖54易得交換率 a+b=+=c b + a =+=c圖55圖56由圖55易證結(jié)合率，由加法的交換率和結(jié)合率，n個向量相加可以寫成，由三角形法則，可得n個向量相加的法則如下：使前一向量的終點(diǎn)作為次一向量的起點(diǎn)，

5、相繼作向量，再以第一向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，最后一向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)作一向量，這一向量即為所求之和。我們規(guī)定兩個向量b與a的差 b-a=b+(-a).即把向量-a加到b上，便得a與b的差b-a(圖57(a).特別地，當(dāng)b=a時(shí)，有 a-a=a+(-a)=0. 圖57（a） 圖57（b）顯然，任給向量及點(diǎn)，有因此，若把向量a與b移到同一點(diǎn)O,則從a終點(diǎn)A向b的終點(diǎn)B所引向量便是向量a與b的差b-a(圖5-7(b).由三角形兩邊之和大于第三邊的原理，有|a+b|a| + |b| 及 |ab|a| + |b|其中等號在a與b同向或反向時(shí)成立。2向量與數(shù)的乘法向量a與實(shí)數(shù)的乘積記作a規(guī)定a是一個向量，它的模|

6、a |=|a|,它的方向當(dāng)>0時(shí)與a相同，當(dāng)<0時(shí)與a相反，當(dāng)0時(shí)，|a |=0,即a為零向量，這時(shí)它的方向可以是任意的。特別地，當(dāng)時(shí)，有 1aa，（1）aa .向量與數(shù)的乘積復(fù)合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）結(jié)合率 aaa；（2）分配率 aa + a； aba + b .例1 在平行四邊形中，設(shè)a，b。試用a和b表示向量、和，這里是平行四邊形對角線的交點(diǎn)（圖58）解 由于平行四邊形的對角線互相平行，所以 ab2即 （ab）2于是 （ab）。因?yàn)?，所以（ab）.圖58又因ab2，所以（ba）.由于，（ab）.設(shè)表示與非零向量a同方向的單位向量，則|a|與同向，即|a|與a同向，因此，a|a|

7、。我們規(guī)定，當(dāng)時(shí)，則上式可寫為。即向量除以它的模為與原向量的單位向量。命題1 設(shè)向量，那么，向量b平行于a的充分必要條件是：存在唯一的實(shí)數(shù)，使。證：條件的充分性是顯然的，下面證必要性設(shè)，設(shè)，當(dāng)b與a同向時(shí)取正值，當(dāng)b與a反向時(shí)取負(fù)值，即與b同向，且，故再證數(shù)的唯一性。設(shè)，又設(shè)，兩式想減，便得，即.因，故，即.命題2 如向量、b、c共面，而、b部共線，則存在實(shí)數(shù)和，使得c=a +b.證明 因?yàn)?、b不共線，故可知、b均為非零向量，過一定點(diǎn)O作OA=a、OB=b、OC=c.由題設(shè)OA、OB、OC共面。過點(diǎn)C分別作直線OB、OA的平行線，交OA與E、OB與F（圖5-10）,從而OC=OEOF，又因OE

8、與OA共線，由命題1知存在實(shí)數(shù)，使得OEOAa同理存在實(shí)數(shù)，使得OFOBb，于是OCa +b，即c=a +b。命題3 若向量、b、c不共面，則對任一向量d，存在實(shí)數(shù)、，使得dbc。5.1.3 向量的數(shù)量積（點(diǎn)積、內(nèi)積）設(shè)一物體在常力作用F下沿直線從點(diǎn)移動到點(diǎn)。依s表示位移。由物理學(xué)知道，力F所作的功為 ，其中為F與s的夾角（圖59）。由此，我們可以看到有時(shí)要對兩個向量a與b作這樣的運(yùn)算，其結(jié)果為一數(shù)值，等于兩個向量的模與它們夾角余弦的乘積。我們稱這樣的運(yùn)算為向量a與b的數(shù)量積、點(diǎn)積或內(nèi)積，記作a·b（圖510），即 a·b| a |·| b |cos. 圖59圖5

9、10由此定義，力做功可以表示為 。設(shè)非零向量a所在的直線為l，且。用有限線段AB表示向量b，過點(diǎn)A和點(diǎn)B作平面垂直于直線l，并與l分別交于點(diǎn)和點(diǎn)分別是點(diǎn)A和點(diǎn)B在l上的投影，稱有向線段為向量b在向量a上的投影向量。容易看出（|AB|）=(|b|) 稱上式中的實(shí)數(shù)|b|為向量b在向量a上的投影，并記做Prjb。當(dāng)時(shí)，Prjb等于b在a上投影向量的長度；當(dāng)時(shí)，Prjb等于b在a上投影向量的長度的相反數(shù)；當(dāng)時(shí)，Prjb等于零。投影具有維一性。由數(shù)量積的定義，立即得到a·b| a |Prjb投影具有下列性質(zhì)：Prj(b)=PrjbPrj(b+c)= Prjb+ Prjc數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律（1）

10、 交換律 a·bb·a. 由定義顯然（2） 數(shù)乘交換率(a)·(b)(a·b)（3） 分配律 （ab）·ca·cb·c.（1）a·a| a |. 這時(shí)因?yàn)閍·a| a |cos0| a |.或 。（2）cos 。對于兩個非零向量a、b，a·b0是ab. 這是因?yàn)?a·b0cos0.由于零向量的方向可以看作是任意的，故可以認(rèn)為零向量與任何向量都垂直。因此上述結(jié)論可以敘述為：a·b0是ab.例2 設(shè)液體流過平面S上面積為A的一個區(qū)域，液體在這區(qū)域上各點(diǎn)處的速度均為（常向量）v。設(shè)

11、n為垂直于S的單位向量（圖511（a），計(jì)算單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過這區(qū)域流向n所指向一側(cè)的液體的質(zhì)量P（液體得密度為）. （a）（b）圖511解 該斜柱體的斜高| v |，斜高與地面垂線的夾角為v與n的夾角，所以這柱體的高為| v |cos,體積為 A| v |cos=Av·n.從而，單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過這區(qū)域流向n所指向一側(cè)的液體的質(zhì)量為P= Av·n.5.1.4 向量的向量積（叉積、外積）設(shè)O為一根杠桿L的支點(diǎn).有一個力F作用于這杠桿上P點(diǎn)處. F與的夾角為（圖513）.由力學(xué)規(guī)定，力F對支點(diǎn)O的力矩是一向量M，它的模| M | =|OQ|F |=|F |sin,而M的方向垂直于與F

12、所確定的平面，M的指向是按右手規(guī)則從以不超過的角轉(zhuǎn)向F來確定的，如圖514。設(shè)向量c由兩個向量a與b按下列方式給出：c的模| c |=| a | b |sin，其中為a、b間的夾角；c的方向垂直于a、b所決定的平面，c的指向按右手規(guī)則從a轉(zhuǎn)向b來決定（圖512）那么向量c叫做向量a與b的向量積，即cab.圖512因此上面的力矩M等于與F的向量積，即 MF. 圖513圖514向量積的幾何意義：（1）ab的模|ab|是以a、b為鄰邊的平行四邊形的面積（2）ab與一切即平行于a又平行于b的平面垂直。向量積的運(yùn)算規(guī)律（1）abba.（2）（a+b）cacbc.（3）（a）ba（b）（ab）（為數(shù)）.向

13、量積的性質(zhì) （1）aa0。 這是因?yàn)閵A角0，所以| aa |=| a|sin0=0.（2）對于兩個非零向量a與b：如果ab0，那么a/b；反之，如果a/b那么ab0.這是因?yàn)閍b0，但| a |0.| b |0，所以sin0，于是0或；反之，如果a/b，那么0或，于是sin0，從而|ab|0,即ab0.由于零向量可以認(rèn)為與任意向量平行，所以上述結(jié)論可敘述為a/b是ab0.例3 設(shè)的三條邊分別是a、b、c(圖515)，試用向量運(yùn)算證明正弦定理 證明 注意到CB=CA+AB,故有CBCA=(CA+AB) CA=CACA+ABCA =ABCA =AB(CB+BA) =ABCB圖515于是得到 CBC

14、A=ABCA =ABCB從而 |CBCA|=|ABCA| =|ABCB|即 absinCcbsinAcasinB所以5.1.5 向量的混合積設(shè)已知三個向量a、b和c. 如果先作兩個向量a和b的向量積ab，把所得的向量與第三個向量c再作數(shù)量積（ab）·c，這樣得到的數(shù)量叫做三向量a、b、c的混和積，記作abc.向量的混和積a b c=(ab)·c是這樣的一個數(shù)，它的絕對值表示以向量a、b、c為棱的平行六面體的體積. 如果向量a、b、c組成右手系(即c的指向按右手規(guī)則從a轉(zhuǎn)向b來確定)，那么混和積的符號是正的；如果a、b、c組成左手系(即c的指向按左手規(guī)則從a轉(zhuǎn)向b來確定)，那

15、么混和積的符號是負(fù)的.當(dāng)abc=0時(shí)，平行六面體的體積為零，此時(shí)該六面體的三條棱落在同一平面上，即a、b、c共面；反之，當(dāng)a、b、c共面時(shí)，(ab)c，此時(shí)，由混合積的定義，立即得到abc=0。于是得到三向量a、b、c共面的充要條件是abc=0。作業(yè) 1，3，5，6，7，10，125.2 點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)5.2.1 控件直角坐標(biāo)系在空間取定一點(diǎn)和三個兩兩垂直的單位向量，就確定了三條都以為原點(diǎn)的兩兩垂直的數(shù)軸，依次記為軸（橫軸）、軸（縱軸）軸（豎軸），統(tǒng)稱坐標(biāo)軸。它們構(gòu)成一個空間直角坐標(biāo)系。稱為坐標(biāo)系或坐標(biāo)系(圖516)，軸、軸、軸組成右手系。如圖517圖516圖517三條坐標(biāo)軸中的任意兩條

16、可以確定一個平面，這樣定出的三個平面統(tǒng)稱為坐標(biāo)面。軸、軸確定的叫面，軸、軸確定的叫，軸、軸確定的叫面.三個坐標(biāo)面分空間為八個部分，每一部分叫做一個卦限，含有軸、軸、軸正半軸的叫第一卦限，其他第二、第三、第四卦限在面上方，按逆時(shí)針方向確定。第一卦限下面的為第五，第二下的為第六、第三下的為第七、第四下的為第八。如圖518 圖518圖519設(shè)M是空間的一點(diǎn)，過點(diǎn)M分別作平面垂直于三條坐標(biāo)軸，并依次與x軸、y軸、z軸交于P、Q、R三點(diǎn)，P、Q、R三點(diǎn)在x軸、y軸、z軸上的坐標(biāo)分別為x、y、z，這樣點(diǎn)M就和有序數(shù)組(x,y,z)建立了一一對應(yīng)的關(guān)系。我們稱有序數(shù)組(x,y,z)為點(diǎn)M的坐標(biāo)，依次把x,y

17、,z稱為點(diǎn)M的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)，并將點(diǎn)M記做M(x,y,z)（圖5-19），特別地有P(x,0,0),Q(0,y,0),R(0,0,z),O(0,0,0).設(shè)和是空間兩點(diǎn)。過和各作三各垂直于x軸、y軸、z軸的平面。這6個平面圍成一個長方體，為其對角線，該長方體的三條棱的長度分別為、，于是得到和兩點(diǎn)間的距離為特別地，點(diǎn)于坐標(biāo)原點(diǎn)O（0，0，0）的距離為。例1 已知點(diǎn)A(4,1,7)、B(-3,5,0)，在y軸上求一點(diǎn)M，使得|MA|=|MB|.解 因?yàn)辄c(diǎn)在y軸上，故設(shè)其坐標(biāo)為，則由兩點(diǎn)間的距離公式，有解得，故所求點(diǎn)為例2 求證以三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是一個等腰三角形.解 因?yàn)樗裕礊榈妊?/p>

18、形.任給向量，對應(yīng)有點(diǎn)M，使，以為對角線、三條坐標(biāo)軸為棱作長方體，如圖712所示，有設(shè)、，則。此式稱為向量r的坐標(biāo)分解式，、稱為向量r沿三個坐標(biāo)軸方向的分向量。顯然，給定向量r，就確定了點(diǎn)M及、三個分量，進(jìn)而確定了x、y、z三個有序數(shù)；反之，給定三個有序數(shù)x、y、z也就確定了向量r與點(diǎn)M.于是點(diǎn)M、向量r與三個有序數(shù)x、y、z之間有一一對應(yīng)的關(guān)系Mrxi+yj+zk(x，y，z),據(jù)此，定義：有序數(shù)x、y、z稱為向量r(在坐標(biāo)系Oxyz中)的坐標(biāo)，記作r =(x，y，z)。向量r 稱為點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)O的向徑.上述定義表明，一個點(diǎn)與該點(diǎn)的向徑有相同的坐標(biāo)。記號(x，y，z)即表示點(diǎn)M，又表示向量.

19、如點(diǎn)M在yOz面上，則x0；同樣，如點(diǎn)M在zOx面上，則y0；在xOy面上，則z0。如點(diǎn)M在x軸上，則yz0；同樣，在y軸上的點(diǎn)，則zx0；在z軸上的點(diǎn)，有xy0。如點(diǎn)M為原點(diǎn)，則xyz0.5.2.2 向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示利用向量的坐標(biāo)，可得向量的加法、減法以及向量與數(shù)的乘法的運(yùn)算如下：設(shè) a，b，即aijk，bijk利用向量的運(yùn)算規(guī)律，有ab（）i（）j（）kab（）i（）j（）ka（）i（）j（）k，（為實(shí)數(shù)）即ab（，）ab（，）a（，）由此可見，對向量進(jìn)行加、減及數(shù)乘，只需對向量的各個坐標(biāo)分別進(jìn)行相應(yīng)的數(shù)量運(yùn)算就行了，5.1節(jié)命題1指出，當(dāng)向量a0時(shí)，向量b/a相當(dāng)于b=a,坐標(biāo)表示式(

20、,)=(,)這就相當(dāng)于向量b與a的對應(yīng)坐標(biāo)稱比例：即例3 設(shè)有點(diǎn)，求向量的坐標(biāo)表示式。解 由于，而，于是 即例4 已知兩點(diǎn)A（4，0，5）和B（7，1，3），求與方向相同的單位向量e.解 因?yàn)椋?，1，3）（4，0，5）（3，1,2），所以，于是 e.例5 求解以向量為未知元的線性方程組 其中a（2,1,2），b=(-1,1,-2).解 解此方程組得x=2a3b , y =3a5b以a，b代入，即得x=2(2,1,2)3(1,1,2)=(7,1,10)y=3(2,1,2)5(1,1,2)=(11,2,16).例6 已知兩點(diǎn)A和B以及實(shí)數(shù)，在直線AB上求點(diǎn)M，使.解 如圖713所示.由于，因此（

21、），從而（）.以、的坐標(biāo)（即點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)）代入圖713本例中的點(diǎn)M稱為定比分點(diǎn)，特別地當(dāng)時(shí)，得線段AB的中點(diǎn)為.利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，計(jì)算向量的模、方向角設(shè)向量r（x，y，z），作r，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為，由兩點(diǎn)間距離公式立即得到| r |=。 圖520非零向量r與三條坐標(biāo)軸的夾角稱為向量r的方向角.從圖520可見，設(shè)r（x，y，z），由于x是有向線段的值，MPOP，故，類似地 ， 從而 稱為向量r的方向余弦。上式表明，以向量r的方向余弦為坐標(biāo)的向量就是與r同方向的單位向量，并由此可得.例7 已知兩點(diǎn)和，計(jì)算向量的模、方向余弦和方向角.解 （12, 32,0） =(1, 1,);|= =;.下面我

22、們來推導(dǎo)數(shù)量積的坐標(biāo)表示式設(shè)aijk，bijk。按數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律可得a·b(ijk)·(ijk)=i·(ijk)j·(ijk)k·(ijk)=i·ii·ji·kj·ij·jj·kk·ik·jk·k由于i、j、k互相垂直，所以i·jj·kk·i0，j·ik·ji·k0，又由于i、j、k的模均為1，所以i·ij·jk·k1. 因此得a·b.這就是兩個向量數(shù)量積

23、的坐標(biāo)表示式.由于a·b| a |·| b |cos，所以當(dāng)a、b都是非零向量時(shí)，有cos.將向量的坐標(biāo)表示式代入上式得cos.這就是兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式.由此可得的充要條件是0例8 已知三點(diǎn)M( 1, 1, 1)、A( 2, 2, 1)和B( 2, 1, 2), 求AMB.解 作向量，則AMB為向量與的夾角. 這時(shí)=( 1, 1, 0)，=( 1, 0, 1)，從而 =11+10+01=1; |=;=.從而cosAMB=,由此得AMB.例9 設(shè)立方體得一條對角線為OM，一條棱為OA，且|OA|=a，求在方向OM上的投影.解 如圖521所示，記MOA，有，于是.圖52

24、1下面來推導(dǎo)向量積的坐標(biāo)表示式設(shè)aijk，bijk。按向量積的運(yùn)算規(guī)律可得ab(ijk) (ijk)=i(ijk)j(ijk)k(ijk)=（ii）（ij）（ik）（ji）（jj）（jk）（kI）（kj）（kk）.由于iijjkk0，i jk，jki，kij，jik，kji，ikj，所以ab（）i（）j（）k.為了幫助記憶，利用三階行列式，上式可以寫成ab例10 設(shè)a（2，1，1），b（1，1，2），計(jì)算ab.解 ab.例11 已知三角形ABC的頂點(diǎn)分別是A（1，2，3）、B（3，4，5）、和C（2，4，7），求三角形ABC的面積.解 由向量積對于，可知三角形ABC的面積由于（2，2，2），

25、（1，2，4），因此于是 例12 設(shè)剛體以等角速度繞軸旋轉(zhuǎn)，計(jì)算剛體上一點(diǎn)M的線速度.解 剛體繞軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，我們可以用在軸上的一個向量表示角速度，它的大小等于角速度的大小，它的方向由右手規(guī)則定出：即以右手握住軸，當(dāng)右手的四個手指的轉(zhuǎn)向與剛體的旋轉(zhuǎn)方向一致時(shí)，大拇指的指向就是的方向（圖522）. 圖522設(shè)點(diǎn)M到旋轉(zhuǎn)軸軸上任取一點(diǎn)O做向量r，并以表示與r的夾角，那么a=| r |sin.設(shè)線速度為v，那么由物理學(xué)上線速度與角速度的關(guān)系可知，v的大小為| v |=| a=| r |sin;v的方向垂直于通過點(diǎn)M的與軸的平面，即v垂直于與r；又v的指向是使、r、v符合右手規(guī)則，因此有v=r.類似可得向

26、量混合積的表達(dá)式，設(shè)a(,)，b(,), c=()，則 a b c= 例13 已知不在一平面上的四點(diǎn)：A（）、B（）、C（）、D（）. 求四面體ABCD的體積. 解 由立體幾何知道，四面體的體積等于以向量、和為棱的平行六面體的體積的六分之一. 因而=由于=,=,=所以=上式中符號的選擇必須和行列式的符號一致.作業(yè) 3，4，6，8，10，13，155.3 空間的平面與直線5.3.1 平面平面的法線：垂直于平面的任一非零向量稱為平面的法線。平面上的任一向量均垂直于平面的法線。設(shè)已知平面上的一點(diǎn)及其法向量n=(A, B, C), 下面求平面的方程。設(shè)M（x，y，z）為平面上異于的任一點(diǎn)（圖523），

27、那么向量n，從而n0.由于n=(A, B, C)，（）,所以有A（）B（）C（）0.(1)這就是平面上任一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y，z滿足的方程；反過來不在平面上點(diǎn)的坐標(biāo)x，y，z顯然不滿足方程（1）。方程 圖523（1）稱為平面的點(diǎn)法式方程.例1 已知空間兩點(diǎn)和，求經(jīng)過點(diǎn)且與直線垂直的平面方程。解 顯然就是平面的一個法向量由點(diǎn)法式方程可得所求平面的方程為即例2 求過三點(diǎn)（2，1，4）、（1，3，2）和（0，2，3）的平面的方程。解 先找出這平面的法線向量n. 由于向量n與向量、都垂直，而（3，4，6），（2，3，1），所以可取它們的向量積為n：n14i9jk,根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程（1），得所求平面的方

28、程為14(x2)9(y1)(z4)0，即14x9yz150.本題也可以按下面的方法來解設(shè)是平面上的任意一點(diǎn)，則向量，共面，由混合積的幾何意義可得即化簡即得14x9yz150一般地，過已知三點(diǎn)，的平面方程為該方程稱為平面的三點(diǎn)式方程由點(diǎn)法式方程可知平面的方程可以使用三元一次方程來表示，反過來，設(shè)有一次方程Ax+By+Cz+D=0.(2)任取滿足該方程的一組數(shù)，即 A+B+C+D=0.(3)由（2）（3）A(x)+B(y)+C(z)+D=0.(4)與點(diǎn)法式相比可知（4）為過點(diǎn)，法向量為n=(A, B, C)的平面方程。由于（4）與（2）通解，可知任一三元一次方程（2）的圖形總是一個平面。方程（2）

29、稱為平面的一般方程，其中x，y，z的系數(shù)就是該平面的一個法線向量n的坐標(biāo)，即n=(A, B, C).當(dāng)D0時(shí)，方程（2）成為Ax+By+Cz=0，它表示一個過原點(diǎn)的平面.當(dāng)A0時(shí)，方程（2）成為By+Cz+D=0，法線向量n=(0, B, C)垂直于x軸，方程表示一個平行于x軸的平面.同樣，方程Ax+Cz+D=0和Ax+By+D=0，分別表示一個平行于y軸和z軸的平面.當(dāng)AB0時(shí)，方程（2）成為Cz+D=0或，法線向量n=(0,0, C)同時(shí)垂直x軸和y軸，方程表示一個平行于xOy面的平面.同樣，方程Ax+D0和By+D0分別表示一個平行于yOz面和xOz面的平面.例3 設(shè)一平面與x，y，z軸

30、的交點(diǎn)依次為P(a，0，0)、Q(0，b，0)、R(0，0，c)三點(diǎn)（圖524），求這平面的方程（其中a0，b0，c0）.解 設(shè)所求的平面的方程為Ax+By+Cz+D=0.因P(a，0，0)、Q(0，b，0)、R(0，0，c)三點(diǎn)都在平面上，所以點(diǎn)P、Q、R的坐標(biāo)都滿足方程（2）；即有得.以此代入（2）并除以D（D0），便得所求的平面方程為圖524(5)方程（5）叫做平面的截距式方程，而a、b、c依次叫做平面在x、y、z軸上的截距.例4 因平面通過z軸及點(diǎn)（1，2，3）的平面方程。解 因平面通過z軸，故可設(shè)其方程為 AxBy0又因（1，2，3）點(diǎn)在平面上，將其坐標(biāo)代入方程，則有A2B0，即A2

31、B故所求平面方程為2BxBy0，即2xy0例5 設(shè)平面的方程為3x2yz50，求經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)且與平行的平面方程。解 顯然所求平面與平面有相同的法向量n（3，2，1），又所求平面經(jīng)過原點(diǎn)，故它的方程為 3x2yz05.2.3 空間直線空間直線可以看作是空間兩平面的交線，如果兩個相交的平面的方程分別為和，那么直線上的任一點(diǎn)必同時(shí)滿足這兩個平面的方程，即滿足方程組（1）反過來，不在直線上的點(diǎn)，不可能同時(shí)在兩個平面上，所以它的坐標(biāo)不滿足方程組（1）。因此直線可以使用方程組（1）表示。方程組稱為空間直線的一般方程.直線的方向向量：平行于一已知直線的任一向量稱為直線的方向向量。易知直線上的任一向量都平行于

32、直線的方向向量.假設(shè)直線過，且其方向向量為s=(m，n，p)，下面來求它的方程。設(shè)M（x，y，z）為直線上的任一異于的點(diǎn)，則/s, 如圖526，從而兩向量的坐標(biāo)成比例，由于=(), s=(m，n，p), 從而有（2）圖526顯然，如果點(diǎn)M不在直線上，則不平行于s, 從而兩向量的坐標(biāo)不成比例。因此方程組（2）就是直線的方程，叫做直線的對稱式方程或點(diǎn)向式方程.任一方向向量s的坐標(biāo)(m，n，p)叫做這直線的一組方向數(shù)，而向量s的方向余弦叫做該直線的方向余弦.由直線的對稱式方程容易導(dǎo)出直線的參數(shù)式方程. 如設(shè)t，那么（3）方程組（3）就是直線的參數(shù)式方程.例6 求經(jīng)過兩點(diǎn)和的直線方程。解 該直線的方向

33、向量可取n=。由點(diǎn)法式方程立即得到所求直線的方程該方程稱為直線的兩點(diǎn)式方程。例7 用直線的對稱式方程及參數(shù)式方程表示直線（4）解 易得（1，0，2）為直線上的一點(diǎn)。直線的方向向量為兩平面的法線向量的向量積，從而s=4i j - 3k.因此，所給直線的對稱式方程為 令=t，得所給直線的參數(shù)方程為5.3.3 點(diǎn)、平面、直線的位置關(guān)系1 點(diǎn)到平面的距離設(shè)是平面Ax+By+Cz+D=0.外一點(diǎn)，求到這平面的距離（圖526）. 在平面上任取一點(diǎn)(,)，并作一法線向量n，由圖526，并考慮到與n的夾角也可能是鈍角，得所求距離d=|Prj|. 設(shè)為與向量n同法線的單位向量，那么有 Prj，圖526而=，=(

34、)所以Prj= =由于，所以Prj=.由此得點(diǎn)到平面Ax+By+Cz+D=0得距離公式為：d =例8 求兩個平行平面，之間的距離。解 在平面上任取一點(diǎn)，則兩平面間的距離d就是點(diǎn)M到的距離，于是d =2 點(diǎn)到直線的距離設(shè)直線L的方程是，是空間一點(diǎn)，則在直線L上，且L的方向向量s=(m,n,p)。過點(diǎn)作一向量，使s=(m,n,p)，以，和為鄰邊作以平行四邊形（圖527），不難看出到L的距離d等于這個平行四邊形底邊上的高。由向量積的定義知，該平行四邊形的面積圖527又于是點(diǎn)到直線L的距離為 （11）例9 求點(diǎn)到直線L：的距離解 由直線方程知點(diǎn)在L上，且L的方向向量s=(1,-3,5)。從而代入（11

35、），得點(diǎn)M到L的距離為3. 兩平面之間的夾角兩平面的法線向量的夾角（通常指銳角）稱為兩平面的夾角.設(shè)平面和的法線向量的夾角依次為n)和n，那么平面和的夾角（圖528）應(yīng)是()和()() 圖528兩者中的銳角，因此，cos| cos ()|.按兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式，平面和平面的夾角可由 圖525cos（6）來確定.從兩向量垂直、平行的充分必要條件立即推得下列結(jié)論：、互相垂直相當(dāng)于0；、互相平行或重合相當(dāng)于.例10 一平面通過兩點(diǎn)和且垂直于平面x+y+z=0，求它的方程.解 設(shè)所求平面的一個法線向量為 n（A，B，C）.因(1，0，2)在所求平面上，它必與n垂直，所以有A2C=0(7)又因所

36、求的平面垂直于已知平面x+y+z=0，所以又有A+B+C=0.(8)由（7）、（8）得到A=2C， BC.由點(diǎn)法式，平面方程為A(x1)+B(y1)+C(z1)=0.將A=2C，BC代入上式，并約去C(C0)，便得2(x1)+(y1)+(z1)=0或2xyz0.這就是所求的平面方程.4兩直線的夾角兩直線的法線向量的夾角（通常指銳角）叫做兩直線的夾角.設(shè)直線和的法線向量依次為s，s，那么和的夾角應(yīng)是()和()()兩者中的銳角，因此cos|cos()|,從而cos=(5)來確定兩直線、互相垂直相當(dāng)于0；兩直線、互相平行或重合相當(dāng)于例11 求直線:和：的夾角.解 直線的方向向量s=(1,4，1)，的

37、方向向量s=(2,2,1).設(shè)直線和的夾角為，那么由公式（5）有cos，故.5. 直線與平面的夾角當(dāng)直線與平面不垂直時(shí)，直線與它在平面上的投影直線的夾角（）稱為直線與平面的夾角（圖529），當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，規(guī)定直線與平面的夾角為.設(shè)直線的方向向量為s=(m，n，p)，平面的法線向量為n（A，B，C），直線與平面的夾角為，那么，因此sin|cos|,從而有sin(6)直線垂直于平相當(dāng)于； 圖529直線平行于或直線在平面上相當(dāng)于Am+Bn+Cp=0.例12 求過點(diǎn)（1，2，4）且與平面2x3yz40垂直的直線方程。解 因?yàn)橹本€垂直于平面，所以平面的法線向量即為直線的方向向量，從而所求直線的方程

38、為.6平面束設(shè)直線L有方程組其中系數(shù)與不成比例.建立三元依次方程（13）因?yàn)榕c不成比例，所以、不全為零，所以（13）表示一個平面，且直線L上的點(diǎn)滿足（13），反之過直線L的平面一定在（13）所表示的平面內(nèi)，通過定直線的所以平面的全體稱為平面束，而方程（13）就作為通過直線L的平面束方程.例13 求直線在平面x+y+z=0上的投影直線的方程.解 過直線的平面束的方程為即，（14）其中為待定系數(shù)。這平面與平面x+y+z=0垂直的條件是，即.代入（14）式，得投影平面的方程為即.所以投影直線的方程為7雜例例14 求與兩平面x4z3和2xy5z1的交線平行且過點(diǎn)（3，2，5）得直線方程解 因?yàn)樗笾本€

39、與兩平面的交線平行，所以其方向向量s一定同時(shí)垂直于兩平面的法向量n、n，所以可以取s=nn=(4i+3j +k)，因此所求直線方程為.例15 求直線與平面2x+y+z-6=0的交點(diǎn).解 所給直線的參數(shù)方程為x=2+t，y=3+t，z=4+2t，代入平面方程中，得2(2+t)+(3+t)+(4+2t)-6=0.得t=-1,代入?yún)?shù)方程得交點(diǎn)為x=1，y=2，z=2.例16 求過點(diǎn)（2，1，3）且與直線垂直相交的直線的方程.過點(diǎn)（2，1，3）且垂直于已知直線的平面方程為3(x-2)+2(y-1)-(z-3)=0(9)已知直線的參數(shù)方程為x=-1+3t，y=1+2t，z=-t.(10)將（10）代入

40、（9）求得，從而求得直線與平面的交點(diǎn)為.以點(diǎn)（2，1，3）為起點(diǎn)，點(diǎn)為終點(diǎn)的向量這就是所求直線的方向向量，故所求直線的方程為作業(yè) 平面 1（2），2（3），3（1），4（1）（3）（5），直線 5（2）（4）點(diǎn)到平面直線距離7，8，9，10（3），13，14，16，175.4 曲面與曲線5.4.1 曲面、曲線的方程如果曲面S與三元方程 F（x，y，z）=0(1)有下述關(guān)系：（1） 曲面S上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程（1）；（2） 不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程（1）那么，方程（1）就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程（1）的圖形（圖530）。 圖5-30 圖531例1 建立球心在點(diǎn)、半徑為R

41、的球面的方程.解 設(shè)M（x，y，z）是球面上的任一點(diǎn)（圖5-31），那么 |=R.由于|=，所以（2）這就是球心在、半徑為R的球面的方程。如果球心在原點(diǎn)，這時(shí)，從而球面方程為 .例2 設(shè)有點(diǎn)A（1，2，3）和B（2，-1，4），求線段AB的垂直平分面的方程.解 由題意知，所求的平面就是與A和B等距離的點(diǎn)的幾何軌跡。設(shè)M（x，y，z）為所求平面上的任一點(diǎn)，由于 |AM|=|BM|，所以 =等式兩邊平方，然后化簡便得 2x - 6y + 2z 7=0在空間幾何中關(guān)于曲面的研究，有下列兩個基本問題（1）已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí)，建立這曲面的方程；（2）已知坐標(biāo)x，y和z間的方程時(shí)，研究這方程所表

42、示的曲面的形狀.例3 方程表示怎樣的曲面？解通過配方，原方程可以改寫成 ，與（2）式比較知原方程表示球心在點(diǎn)、半徑為R=的球面.一般地，設(shè)有三元二次方程，這個方程的特點(diǎn)是缺xy，yz，zx各項(xiàng)，而且平方系數(shù)相同，只要將方程經(jīng)過配方可以化成方程（2）的形式，那么它的圖形就是一個球面.空間曲線可以看作兩個曲面的交線。設(shè) F（x，y，z）=0 和 G（x，y，z）=0是兩個曲面的方程，它們的交線為C（圖5-32）。因?yàn)榍€C上的任何點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)同時(shí)滿足這兩個曲面的方程，所以應(yīng)滿足方程組（1）反過來，如果點(diǎn)M不在曲線C上，那么它不可能同時(shí)在兩個曲面上，所以它的坐標(biāo)不滿足方程組（1）。因此，曲線C可以用方

43、程組（1）來表示。方程組（1）叫做空間曲線C的一般方程.例4 方程組表示怎樣的曲線？解 方程組中第一個方程表示球心在原點(diǎn)，半徑為2的球面。而方程組中的第二個方程表示一個垂直于z軸的平面，因此他們的交線為一個園，如圖5-33所示。 圖532 圖533 方程組 （2）當(dāng)給定時(shí)，就得到C上的一個點(diǎn)；隨著得變動便可得曲線C上的全部點(diǎn)。方程組（2）叫做空間曲線的參數(shù)方程。例5 如果空間一點(diǎn)M在圓柱面上以角速度繞z軸旋轉(zhuǎn)，同時(shí)又以線速度v沿平行于z軸的正方向上升（其中、v都是常數(shù)），那么點(diǎn)M構(gòu)成的圖形叫做螺旋線.試建立其參數(shù)方程.解 取時(shí)間t為參數(shù).設(shè)當(dāng)t=0時(shí)，動點(diǎn)位于x軸上的一點(diǎn)A（a，0，0）處.

44、經(jīng)過時(shí)間t，動點(diǎn)由A運(yùn)動到M（x，y，z）（圖5-34）.記M在xOy面上的投影為M的坐標(biāo)為x，y，0.由于動點(diǎn)在圓柱面上以角速度繞z軸旋轉(zhuǎn)，所以經(jīng)過時(shí)間t，AOM=t。從而x=|OM|cosAOM=acost, y=|OM|sinAOM=asint.由于動點(diǎn)同時(shí)以線速度v沿平行于z軸的正方向上升，所以 z=MM=vt。因此螺旋線的參數(shù)方程為 也可以用其他變量作參數(shù)；例如令，則螺旋線的參數(shù)方程可寫為 這里，而參數(shù)為.當(dāng)OM轉(zhuǎn)過一周時(shí)，螺旋線上的點(diǎn)M上升固定的高度.這個高度在工程技術(shù)上叫做螺距. 圖5345.4.2 柱面、旋轉(zhuǎn)面和錐面1.柱面例6 方程在xO y面上表示圓心在原點(diǎn)O、半徑為R的圓

45、，在空間中表示圓柱面（圖5-35），它可以看作是平行于z軸的直線l沿xO y面上的圓移動而形成的。這曲面叫做圓柱面（圖5-35），xO y面上的圓叫做它的準(zhǔn)線，這平行于z軸的直線l叫做它的母線.一般地，平行于定直線并沿定曲線C移動的直線L形成的軌跡叫做柱面，這曲線C叫做柱面的準(zhǔn)線，動直線叫做柱面的母線. 圖535 圖536類似地，方程，稱為拋物柱面（圖5-36）又如，方程表示母線平行于z軸的柱面，它的準(zhǔn)線是xO y面上的直線，所以它是過z軸的平面（圖5-37）.一般地，只含x，y而缺z的方程F（x，y）=0在空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于z軸的柱面，其準(zhǔn)線是xO y面上的曲線C：F（x，y）=

46、0（圖5-38）.只含x，z而缺y的方程G（x，z）=0和只含y、z而缺x的方程H（y，x）=0分別母線平行于y軸和x軸的柱面. 圖537 圖5382. 旋轉(zhuǎn)曲面以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面，旋轉(zhuǎn)曲線和定直線依次叫做旋轉(zhuǎn)曲面的母線和軸. 設(shè)在yOz坐標(biāo)面上有一已知曲線C，它的方程為 f（y，z）=0，把這曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周，就得到一個以z軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面（圖5-39）.它的方程可以求得如下：設(shè)為曲線C上的任一點(diǎn)，那么有 （3）圖539當(dāng)曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)繞z軸轉(zhuǎn)到另一點(diǎn)M（x，y，z），這時(shí)保持不變，且點(diǎn)M到z軸的距離 。將，代入（3）式，就有 ，（4）

47、這就是所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程。同理，曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為 （5）例7 將xO z坐標(biāo)面上的雙曲線 ，分別繞z軸和x軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.解 繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面叫做旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面（圖5-41），它的方程為. 圖541 圖542繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面叫做旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面（圖5-42），它的方程為.3錐面設(shè)有一條控件曲線L以及L外的一點(diǎn)，由和L上全體點(diǎn)所在直線構(gòu)成的曲面稱為錐面（cone），稱為該錐面的頂點(diǎn)（vertex），L稱為該錐面的準(zhǔn)線（543）。例9 求頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線為的錐面方程。圖543解 設(shè)為錐面上任一點(diǎn)，過原點(diǎn)與M的直線與平面z=c交于點(diǎn)（圖5-4

48、4），則有由于OM與共線，故既有，代入，整理得（6）這就是所求錐面的方程，該錐面稱為橢圓錐面圖544當(dāng)a=b時(shí)，式（6）相應(yīng)變?yōu)榇藭r(shí)錐面稱為圓錐面，若記，圓錐面的方程為（7）圓錐也可認(rèn)為是yOz平面上經(jīng)過原點(diǎn)的直線L：z=ky(k>0)繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面。只需將z=ky中的y換成，即得圓錐面的方程。即稱為圓錐面的半頂角。5.4.3 二次曲面通常將三元二次方程F（x，y，z）=0所表示的曲面稱為二次曲面。而把平面稱為一次曲面.二次曲面有九種，它們的標(biāo)準(zhǔn)方程如下（1）橢圓錐面 （圖545）（2）橢球面圖545圖546（3）單葉雙曲面（4）雙葉雙曲面 （5）橢圓拋物面 （圖546） （6

49、）雙曲拋物面 （圖547）（7）橢圓柱面 （8）雙曲柱面 （9）拋物柱面 圖546 圖5475.4.4 空間幾何圖形舉例設(shè)是一空間曲線，是一平面，則成以為準(zhǔn)線，母線垂直于的柱面為曲線對平面的投影柱面，稱投影柱面與的交線為在上的投影曲線或投影。設(shè)空間曲線C的一般方程為 （5）現(xiàn)在來研究由方程組（5）消去z后所得的方程. ( 6 )由于方程（6）是由方程（5）消去z后所得的結(jié)果。因此當(dāng)x，y和z滿足方程組（5）時(shí)，前兩個數(shù)x，y必定滿足方程（6），這說明曲線C上的所有點(diǎn)都在方程（6）所表示的曲面上。而方程（6）為母線平行于z軸的柱面。該柱面包含C。以C為準(zhǔn)線、母線平行于z軸的柱面叫做曲線C關(guān)于xO y面的投影柱面，投影柱面與xO y面的交線叫做空間曲線C在xO y面的投影曲線，或簡稱投影。因此，方程（6）所表示的柱面必定包含投影柱面，而方程所表示的曲線必定包含空間曲線C在xO y面上的投影。同理可得空間曲線C在yO z及zOx面上的投影的曲線方程為 及 例10 已知兩球面的方程為 （7）和（8）求它們的交線C在xO y面上的投影方程.解 （7）-（8）得 y + z=1.將z=1 y代入（7）或