人大版線性代數(shù)課后習題答案

1、第1章 矩 陣習 題 一 (B)1、證明：矩陣A與所有n階對角矩陣可交換的充分必要條件是A為n階對角矩陣.證明：先證明必要性。若矩陣A為n階對角矩陣. 即令n階對角矩陣為：A=, 任何對角矩陣B設為，則AB=，而BA=，所以矩陣A與所有n階對角矩陣可交換。再證充分性，設 A=，與B可交換，則由AB=BA，得：=，比較對應元素，得 ，。又，所以 ，即A為對角矩陣。2、證明：對任意矩陣A，和均為對稱矩陣.證明：()T=(AT)TAT=AAT，所以，為對稱矩陣。 ()T=AT (AT)T=ATA，所以，為對稱矩陣。3、證明：如果A是實數(shù)域上的一個對稱矩陣，且滿足，則A=O.證明：設 A=，其中，均為

2、實數(shù)，而且。由于，故A2=AAT=0。取A2的主對角線上的元素有 ， （i=1,2,n）因為，均為實數(shù)，故所有=0，因此A=O。4、證明：如果A是奇數(shù)階的反對稱矩陣，則detA=0.證明：設 A=為奇數(shù)階反對稱矩陣，即n為奇數(shù)，且 =-，i,j=1,2,n，從|A|中每行提出-1，得 |A|=-|A|（因為n為奇數(shù)，且|AT|=|A|），故得|A|=0。5、設A、B、C均為n階矩陣，且滿足ABC=E，則下列各式中哪些必定成立，理由是什么？（1）BCA=E； （2）BAC=E； （3）ACB=E；（4）CBA=E； （5）CAB=E。答：第(1),(5)必定成立。因為ABC=E，說明是的逆矩陣，

3、AB是的逆矩陣，則(1),(5)必定成立。但是由于可能有，所以其他的不一定成立。6、設A、B均為n階可逆矩陣，則下列各式中有哪些一定成立？為什么？（1） ； （2）；（3）（k為正整數(shù)）； （4） （k為正整數(shù)）；（5） ； （6）；（7） ； （8）。答：一定成立的有(1),(3),(4),(5),(7)。7、已知，令，求（n為正整數(shù)）.解：因為= =，其中 =3，所以 =。8、計算行列式 解：用表示所給的行列式，把分成兩個行列式相加：將右邊第一個行列式的第一列加到第二、第四列，用乘第一列后加到第三列；將第二個行列式變成三階行列式后再拆成兩個三階行列式相加，。9、設A為m階方陣，B為n階方陣

4、，且，。如果 ，求detC.解：把C通過mn次的相鄰換行之后，即可把C化為C1，且 故=。10、證明：n階行列式（1）;（2）.證明：（1）令所給的矩陣為Dn，并按第一列展開得 ，所以= =。 （2）令所給的行列式為Dn，并按第一列分成兩個行列式相加，然后對第一個行列式從第一列開始，每列乘-b后往下一列加，即得Dn=+ =+bDn-1= =。11、證明：n階行列式（1） ;（2）.證明：（1）令，則有 ，xy=1。而且由于，故，從而由第十題的結果直接得 Dn=。（2）令所給的矩陣為Dn，按第一列展開，并應用（1）的結果，得Dn=。12、設A是n階矩陣，求證：。證明：由的定義可知 ，兩邊取行列式

5、，得。下面進行討論。1）若detA ¹ 0，則由上式立即就有 。2）若detA 0，且 A = O，則 0，因而det= 0 ，結論成立。3）若detA 0，且 A ¹ O，此時必有det= 0。因為若det¹ 0，則可逆，于是在O兩邊左乘，得A = O，與A ¹ O矛盾。即此時結論也成立。證畢。13、設A、B、C、D均為n階矩陣，且，AC=CA.求證： 證明：因為，所以矩陣A可逆。根據(jù)矩陣的乘法，有 =又AC=CA，因此， = = =。14、設3階矩陣A、B滿足關系式 ，其中 求B.解：因為 所以， B=。15、設4階矩陣 ，且矩陣A滿足關系式，其中E

6、是4階單位矩陣。試將上式化簡并求出矩陣A .解： 。而= ，再利用矩陣初等變換即可求出。所以A=。第1章矩 陣1、設，求解：；。2、設矩陣滿足，其中，求解：設 ，則，。利用矩陣相等的定義可得：。3、某石油公司所屬的三個煉油廠在1997年和1998年生產的4種油品的產量如下表（單位：萬噸）產 油 量 品煉油廠1997 年1998年 58 27 15 4 72 30 18 5 65 25 14 3 63 25 13 5 90 30 20 7 80 28 18 5（1）作矩陣和分別表示三個煉油廠1997年和1998年各種油品的產量；（2）計算與，并說明其經濟意義；（3）計算，并說明其經濟意義。解：（

7、1）， ；（2），其經濟意義表示三個煉油廠1997年和1998年兩年各種油品產量的和。 ，其經濟意義表示三個煉油廠在1997年和1998年兩年之間各種油品產量的變化量。（3），其經濟意義表示三個煉油廠在1997年和1998年兩年各種油品的平均產量。4、計算下列矩陣的乘積（1）； （2）；（3） ； （4）； （5） ； （6）； （7）。解：（1）。 （2）。 （3） 。 （4）。 （5）。 （6）。（7）。V41V71yV315、如圖，考慮邊長為2的正方形：設其頂點和各邊中點的坐標分別為 V61V81（1） 用矩陣分別左乘給定的V51xV21V11O正方形各頂點和各邊中點坐標，設得到的點依次

8、為試作出由這些點構成的平面圖形；（2）考慮矩陣 分別在當和時，用左乘原正方形各頂點和各邊中點的坐標，若設所得到的點的坐標和分別作出由這兩組點構成的平面圖形。解：(1) 以的坐標為列構造2´8矩陣V，令則矩陣W的每一列依次為的坐標。如圖所示。yW2OW5W6W3W1OxW8W7W4(2) 令則矩陣U的每一列依次為的坐標，如下圖所示。U3yU6U7U2U4U5U8U1xO 令y則矩陣的每一列依次為點的坐標。如圖所示。U ¢4U ¢8U ¢1xOU ¢7U ¢5U ¢6U ¢3U ¢26、設某港口在某月份出口到

9、3個地區(qū)的兩種貨物的數(shù)量以及它們一單位的價格、重量和體積如下表：出 地口 區(qū) 量貨物北美 歐洲 非洲單位價格（萬元）單位重量 單位體積 2000 1000 800 1200 1300 500 0.2 0.350.0110.05 0.12 0.5試利用矩陣乘法計算：（1） 經該港口出口到3個地區(qū)的貨物價值、重量、體積分別各為多少？（2） 經該港口出口的貨物總價值、總重量、總體積為多少？解：（1）=其中第一、二、三列分別表示北美、歐洲、非洲；第一、二、三行分別表示價值、重量、體積。（2）=其中第一、二、三行分別表示總價值、總重量、總體積。7、設A,B均為階對稱矩陣，試判定下列結論是否正確，并說明理

10、由。（1）為對稱矩陣；（2）為對稱矩陣（為任意常數(shù)）；（3）為對稱矩陣。證明：令n階對稱矩陣A=，其中，i=1,2,n ， j=1,2,n; n階對稱矩陣A=，其中，i=1,2,n ， j=1,2,n;(1) 正確。顯然A+B =，又，其中i=1,2,n ， j=1,2,n;所以 =，即 A+B為對稱矩陣。（2）正確。顯然kA=，又，其中i=1,2,n , j=1,2,n;所以 =，即kA為對稱矩陣。（3）錯誤。設對稱矩陣A和B分別為： ， ；所以，顯然AB不為對稱矩陣。8、求所有與可交換的矩陣（1）； (2) 。解：（1）顯然與A可交換的矩陣必為二階方陣，設為X，并令，又 ， ，由可交換條件

11、AX=XA，可得b=0,（其中為任意常數(shù)），即 。（2）顯然與A可交換的矩陣必為三階方陣，設為X，并令，又 ， ，由可交換條件XA=AX，可得d=0,g=0,h=0,c=0,a=e=i,b=f,（其中a,e,i,b,f均為任意常數(shù)），即 。9、設矩陣與矩陣均可交換，求證：與也可交換，且。證明：因為矩陣A與矩陣可交換，即，所以 =+=+=，即矩陣與可交換。又 ，即矩陣與也可交換。所以由有：=。10、計算（其中n為正整數(shù)）（1） ； （2）；（3） ； （4）；（5） ； （6）；解：（1）=。（2）=。下面用數(shù)學歸納法證明。當n=1時，當然成立。假定n=k時成立，即。再證n=k+1時也成立。（3

12、）=，可用數(shù)學歸納法證明之。（4）當n=1時，值為原矩陣；當n=2時，；當n=3時，；當時，。（5）=；（6），由直接計算可知A2=4E。由此進一步得知：11、設為階矩陣。試分別求,與的第行第列。解：的第行第列為， 的第行第列為， 的第行第列為。12、設，對于階矩陣，定義其中為階單位矩陣。（1）如果，求；解：依定義得：。（2）如果，求.解：依定義得：=+=。13、寫出下列圖的鄰接矩陣，并分別計算各鄰接矩陣的平方。解：（1）設鄰接矩陣為A，則 A=，A2=。（2）設鄰接矩陣為A，則 A=，A2=。14、設為同階矩陣，且滿足。求證：的充分必要條件是.證明：先證明必要性：由于，故 （1）如果A2=A

13、，即 由此得B2=E再證充分性：若B2=E，則由（1）式可知， 。 所以，的充分必要條件是。 15、設為階矩陣，稱的主對角線上所有元的和為的跡，記作，即。求證：當均為階矩陣時，有（1）（2）（3）（4）。 證明：（1）因為A，B為階矩陣，所以A+B也為n階矩陣，并設A+B=根據(jù)矩陣加法的定義，可知：,所以因此，=+，即。（2）因為A為階矩陣，所以kA也為n階矩陣，并設kA =。根據(jù)矩陣加法的定義，可知：,所以。因此，=，即。（3）令AT=根據(jù)矩陣轉置的定義可知，又 ，所以 =，即： 。（4）令AB=C=，AB=D=，其中 ， 。顯然，當時，于是，即。16、計算下列行列式（1） ； （2）；（3

14、） ； （4）；（5） ； （6）；（7） ； （8）。解：（1）=1。（2）=12。（3）第一列乘-1加到第二列，并從第二列提取1000，得=6123000。（4）從第二行提取2之后，跟第一行互換，得=8。（5）把第二、三、四行均加到第一行，并在第一行中提取8，得=512。（6）把第二、三、四行均加到第一行，并在第一行中提取10，得=160。（7）這是一個第二行元素為1、2、3、4的范得蒙行列式，因此=12。（8）最后一列乘以-1后，加到第一列，并按最后一行展開，得=192。17、解方程（1） ； （2）。解：（1）=1。即解方程，因此x=3或-1。 （2）=（x+2）（x-1）=0。所以方

15、程的解為：x=1或2。18、設3階行列式，計算下列行列式：（1）； （2） 。解：（1）=+ =+=8+0=8。（2）=+ =0 =8。19、計算下列行列式（1）；（2）；（3）； （4）；（5）。解：（1）=。（2）將第二、三、四列展開得：原式=+=0。（3）=+ =。（4）按第一列展開=+=。（5）按最后一列展開=+=。20、證明：（1）；（2）。證明：（1）=+ =- =+ =2。（2） =+ = =。21、計算下列n階行列式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。解：（1）各列都加到第一列后，再從第一列中提??；然后，第一行乘以-1后加到其余各行，得=（） =（） =。（2）=

16、3;，顯然，當n=1時，原行列式的值為。當n=2時， =。當時，將第2行到第n行的元素減去第一行相應的元素，得到 = 。 然后，將各行的公因子提出得=0（因為有兩行的元素是相等的）。所以，綜合有：當n=1時， 原式= ， 當n =2時， 原式=， 當n3時， 原式=0。（3）設所給的行列式為D，從最后一列依次往前一列加，得D=。（4）設所給的行列式為D，把各行都加到第一行，并在第一行中提取n1，得D=。（5） 設所給的行列式為D，把第一列加到第二列，依次把第j-1列加到到第j列（j=1,2，n），得D=。22、解方程（1）；（2）。解：（1）將所給的行列式的第一行乘以1，加到其他行，得= =0

17、。所以x=1，2，n-1。（2）將所給的行列式的最后一列分別乘以加到第n，n-1，1列，得= =0。所以。23、證明（1） （其中）；（2） （其中）；（3） （）。證明：（1）將行列式的第一行的-1倍分別加到其余各行，然后提出各列的公因子， 再把各列加到第一列，得原式= =，再將第2列到第n列的各元素依次加到第1列上去即得原式= 。 （2）用乘第i列（）分別加到第一列，得原式=。（3）從第n行起，各行的x倍依次加到上面一行，所得到的行列式再按第一行展開得D=。24、利用分塊矩陣的乘法，計算AB（1），其中；（2），其中，。解：（1）AB=其中E2B11=B11，E2B12=B12，A22E2

18、=A22， A21B11=， A21B12=， A22B22=，所以AB=。 （2）AB=，其中A1B1=9， A2B2=9， A3B3=9。所以 AB=。25、設A是3階矩陣，且detA=-2，若將A按列分塊，其中為A的第j列，（j=1，2，3），求下列行列式：（1）；（2）。解：（1）因為=。所以=4。（2）因為=。所以=6。26、設A是矩陣，將其按行分為m塊 ，其中為A的第i行（），對于m階單位矩陣E，也將其按行分為m塊，其中為E的第i行（），試由EA=A證明： （）。 證明：EA=A=所以= ，即（）。27、判斷下列矩陣是否可逆，若可逆，利用伴隨矩陣求其逆矩陣.（1） ； （2）；（3

19、）； （4）。解：（1）令所給的矩陣為A，因為detA=-2,不為零，所以此矩陣可逆。其伴隨矩陣為 A*=，所以其逆矩陣為 =。（2）令所給的矩陣為A，因為detA=0,所以此矩陣不可逆。（3）令所給的矩陣為A，因為detA=0,所以此矩陣不可逆。 （4）令所給的矩陣為A， 因為detA=6,不為零，所以此矩陣可逆。 其伴隨矩陣為 A* =， 所以其逆矩陣為 =。28、利用行初等變換法求下列矩陣的逆矩陣.（1） ； （2）；（3） ； （4）；（5）。解：（1） 。所以，此矩陣的逆矩陣為。（2） ，所以，其逆矩陣為。（3） ，所以，其逆矩陣為。 （4） ，所以，其逆矩陣為。（5）所以，其逆矩陣

20、為。29、求解下列矩陣方程（1）；（2）；（3）；（4）AX+B=X， 其中。解：（1）因為，所以，X=。（2）因為，所以X= =。（3）因為，所以X=。（4）因為AX+B=X，所以X= (E-A)-1B，又 EA=，因此，X=。30、設A為n階矩陣，且存在正整數(shù)，使。求證：E-A可逆，且.證明：作以下乘法 = = =從而EA為可逆矩陣，而且 。31、已知n階矩陣A，滿足，求證：A可逆，并求.證明：因為，即，所以， ，從而，A為可逆矩陣，而且。32、如果矩陣A可逆。（1）求證：也可逆，并求。（2）設，求.（1）證明：因為矩陣A可逆，所以，即從而，A*為可逆矩陣。而且 =。（2）解：因為|A|=

21、10，所以， = 。33、設A為3階矩陣，為A的伴隨矩陣，且已知，求行列式的值.解：因,故=。34、證明：如果A為可逆對稱矩陣，則也是對稱矩陣.證明：因為A為可逆對稱矩陣，即有 AT=A，AA-1=E，由此可得 ，或 =E。即是A的逆矩陣。由逆矩陣的唯一性得 =，即為對稱矩陣。35、設A、B、C為同階方陣，其中C為可逆矩陣，且滿足，求證：對任意正整數(shù)m，有.證明：因為，所以= 。36、求下列分塊矩陣的逆矩陣（1），其中，；（2），其中，；（3），其中，.解：（1）因為，所以 。又 ，因此 。（2）因為，其中 ，所以 。（3）因為，其中 ， ，所以 。37、求下列矩陣的秩（1） ； （2）；（3

22、） ； （4）；（5） ； （6）。解：（1），所以，此矩陣的秩為1。 （2）令A=，因為detA=12，不為零。所以，此矩陣的秩為3。 （3），所以，此矩陣的秩為1。（4），所以，此矩陣的秩為2。（5），所以，此矩陣的秩為3。 （6），所以，此矩陣的秩為3。第五章二 次 型習 題 五（B）1、設A為n階實對稱矩陣，如果對任一n維列向量，都有，試證：A=O。證明：因為矩陣A為實對稱矩陣，設為 A=，其中(i,j=1,2,n).令 X=,由已知得，二次型 =+=0。首先取，(i=1,2,n)則 ，(i=1,2,n)即主對角線上的元素都為零。其次，取， 又，有 ，因，A為對稱矩陣，所以 (i=1,

23、2,n；j=1,2,n)因此 A=O。2、試證：二次型 =+為正定二次型。證明：此二次型的矩陣為 A=，顯然A1=2>0,A2=3>0,An=n+1>0，因此，此二次型為正定二次型。3、設n元二次型 =+其中(i=1,2,n)為實數(shù)。試問：當(i=1,2,n)滿足何種條件時，二次型為正定二次型。解：由題設條件知，對于任意的，有。其中等號成立當且僅當 此方程組僅有零解的充分必要條件是其系數(shù)行列式 =，所以當時，為正定二次型。4、已知A為反對稱矩陣，試證：為正定矩陣。證明：因為A為反對稱矩陣，所以，因此 =。所以為正定矩陣。5、設A是一個實對稱矩陣，試證：對于實數(shù)t，當t 充分大

24、時，tE+A為正定矩陣。證明：設A的特征值為且為實數(shù)，取，則tE+A的特征值為全部大于零。因此，當時，tE+A為正定矩陣。6、設A是實對稱矩陣，且detA<0，試證：必存在n維列向量，使得。證明：因為A為實對稱矩陣，且detA<0，故二次型=的秩為n，且不是正定的，故負慣性指數(shù)至少為1，從而f可經過可逆線性變換X=CY，化成= （1）其中。當yn=1,且其余yi=0時，上式右端小于零。但由X=CY所確定的向量，使（1）式左右兩端相等，即有實n維向量X，使。7、求把二次型 =化為 =的可逆線性變換。解：二次型的矩陣為： A=由初等變換法，可得經過可逆線性變換X=C1Y，使得，其中 C

25、1=二次型的矩陣為： B=存在可逆線性變換Y=C2X，使得，其中 C2=，所以，存在可逆線性變換，使得化為， =。8、設A為實對稱矩陣，且 問A是否為正定矩陣。解：設是A的任一特征值，對應特征向量，即有，代入已知的等式有 =因為，故滿足。得=1或，因A為實對稱矩陣，其特征值一定為實數(shù)，故只有=1，即A的全部特征值就是=1>0,因此A為正定矩陣。9、設為n階正定矩陣。求證A的任一主子式都大于零。證明：首先，令Ak為A的任一個k階主子式， Ak=由于A是正定的，故二次型 對任意不全為零的實數(shù)，都有 ，從而對不全為零的實數(shù)，有 （即在中除外其余變量全取0），但是，對變量為而矩陣為Ak的二次型來

26、說，有 =故g為正定二次型，從而Ak為正定的。故|Ak|>0。10、設A為n階正定矩陣，證明A+E的行列式大于1。證明：因為A為正定矩陣，不妨設A的特征值分別為且，則A+E的特征值為且，從而有 |A+E|=。11、設矩陣A=，矩陣，其中k為實數(shù)，E為單位矩陣，求對角矩陣，使B與相似，并求k為何值時，B為正定矩陣。解： =因此，A的特征值為0，2，2。記對角矩陣 D=。因為A為實對稱矩陣，故存在正交矩陣P，使得 ，所以 =。于是 = = ；由此可得=。因此當時，即所有特征值均大于零時，B為正定矩陣。12、設A為m×n實矩陣，E為n階單位矩陣，已知矩陣，試證：當時，矩陣B為正定矩陣

27、。證明：因為 =B，所以，B為對稱矩陣。對于任意的實n維列向量X，有 =當時，有>0 , ,因此當時，對于任意的，有，即B為正定矩陣。13、設實對稱矩陣A為m階正定矩陣，B為m×n實矩陣，試證BTAB為正定矩陣的充分必要條件是矩陣B的秩r(B)=n.證明：必要性。設BTAB為正定矩陣，則對任意的實n維列向量，有 即 于是，因此只有零解，從而r(B)=n。充分性。因=，即為實對稱矩陣。若r(B)=n，則線性方程組只有零解。從而對任意實n維列向量有。又A為正定矩陣，所以對于，有，于是當時，有 ，故為正定矩陣。14、在R3中，將下述二次方程化為標準形式，并判斷曲面類型。（1）；（2）

28、。解：（1）設 A=，X =。則該二次方程可記為 。由，可得A的特征值和對應的特征向量： ， ， ，。將特征向量單位化，得 ，。取正交矩陣 B =，則 。設X=BY，其中Y=。原二次方程化為 ，即 （1）令，則（1）式可化為 。用平面截此曲面，截痕為橢圓；用平面截此曲面，截痕為雙曲線；用平面截此曲面，截痕為雙曲線，由次可知，此曲面為單葉雙曲面。（2）類似題（1）的做法，可把原二次方程化為： 此曲面為雙葉雙曲面。15、已知二次曲面方程可以經過正交變換 =化為橢圓柱面方程。求a，b的值和正交矩陣P。解：設X=，Y=， A=，B=，則原二次曲面方程可表示為，橢圓柱面方程為，此問題即尋求一正交變換X=

29、PY，把原二次型化為已知的標準形。因此，由已有的標準形，可知矩陣A的3個特征值分別為，由，可得，。由矩陣A的特征值，可求得對應的特征向量： ， ， ，。將各個特征向量單位化得： ，。故 。第二章555線 性 方 程 組習 題 二 (A)1、用克拉默的法則解下列線性方程組（1）解： 設 A= ，由于abc0，則detA=-5abc。故方程組有唯一解。又detB=5abc，,=-5abc，detB=-5abc，從而 x= =-a ， x=b， x=c。(2) 解： 設 A= 由于ab且a- ，detA=（ab）(2a+b) 0。故方程組有唯一解。又 detB=（ab），detB=（ab），detB

30、=（ab），方程組的解為。（3）解： 設 A= ，則detA=16，detB=128，detB=48，detB=96，detB=0，從而 x=-8 ，x=3 ，x=6 ，x=0 。2、當k取何值時，下列齊次線性方程組僅有零解 （1）解： 方程組的系數(shù)行列式為detA=635k，由克拉默法則知k時 ， detA0 ，方程組僅有零解。（2）解： 方程組的系數(shù)行列式為detA=（k+1）(k4)，由克拉默法則知k1且k4時 ，detA0 ，方程組僅有零解。3、用消元法解下列線性方程組 (1) 解：設方程組的增廣矩陣為,對進行初等變換= 所以與原方程組等價的方程組為于是原方程組的解為。(2) 解：設方

31、程組的增廣矩陣為,對進行初等變換= 由最后得到的梯形矩陣最后一行知方程組無解。（3） 解：設方程組的增廣矩陣為,對進行初等變換= 。最后得到的梯形矩陣對應的梯形方程組為則方程組的解為（c為任意常數(shù)）。4、當k為何值時，下面的齊次線性方程組有非零解？并求出此非零解。 解： 齊次線性方程組的系數(shù)行列式為 detA=-(15+5k)。 當detA=0時，齊次線性方程組有非零解 即k=3時 方程組有非零解。 當k=3時方程組為 設方程組的增廣矩陣為,對進行初等變換= 。最后得到的梯形矩陣對應的梯形方程組為則方程組的解為 （c為任意常數(shù)）。5、當k為何值時，下面的線性方程組無解？有解？在有解時，求出方程

32、組的解。 解：設方程組的增廣矩陣為,對進行初等變換 = 得到的梯形方程組為當k=4時 方程組無解。當k4時 方程組的解為（c為任意常數(shù)）。6、當a為何值時，下面的線性方程組無解？有唯一解？有無窮多個解？在有解時，求出方程組的解。解： 設方程組的增廣矩陣為,對進行初等變換=當a=3時， 方程組無解。當a3且a2時， 方程組有唯一解。最后得到的梯形矩陣對應的梯形方程組為，則方程組的解為 。當a=2時， 方程組有無窮多個解。此時梯形矩陣對應的梯形方程組為 則方程組的解為（c為任意常數(shù)）。7、判定下列各組中的向量是否可以表示為其余向量的線性組合。若可以，試求出其表示式 （1）=(4，5，6)T，=（3

33、，-3，2）T，=（-2，1，2）T，=（1,2,-1）T ；解： 設=k+k+k 則k,k,k是方程組 的解。設方程組的增廣矩陣為,對進行初等變換 = 。最后得到的梯形矩陣對應的梯形方程組為，則方程組的解為 ，=2+3+4。(2)=(-1，1，3,1)T，=（1，2，1,1）T，=（1，1，1,2）T，=（-3,-2,1,-3）T； 解： 設=k+k+k 則k,k,k是方程組 的解。設方程組的增廣矩陣為,對進行初等變換=。由梯形矩陣的最后一行知方程組無解。不能表示為，的線性組合。（3）=(1，0，-)T，=（1，1，1）T，=（1，-1，-2）T，。解：設=k+k+k 則k,k,k是方程組

34、的解。設方程組的增廣矩陣為,對進行初等變換 =。最后得到的梯形矩陣對應的梯形方程組為。 k,k,k不唯一。令 k=0，則k= ， k=，=+0。8、設=（1+，1，1）T，=（1，1+，1）T，=（1,1, 1+）T，=(0，)T，為值時（1）不能由，的線性表出（2）可由，的線性表出，并且表示方法唯一（3）可由，的線性表出，并且表示方法不唯一解： 設=k+k+k 則k,k,k是方程組 的解。設方程組的增廣矩陣為,對進行初等變換= 。（1）當方程組的系數(shù)矩陣的秩與其增廣矩陣的秩不相等時 ，不能由，的線性表出。則=3。（2） 當方程組的系數(shù)矩陣的秩與其增廣矩陣的秩都為3時，可由， 的線性表出，并且

35、表示方法唯一。則0且3。（3） 當方程組的系數(shù)矩陣的秩與其增廣矩陣的秩相等且都小于3時，可由，的線性表出，并且表示方法不唯一。 則=0。9、判定下列各向量組是線性相關，還是線性無關：（1）=（3，2，0）T，=（-1，2，1）T； 解： 設k+k=0 ， 則k,k,是方程組 的解。 顯然 k=k=0，線性無關。（2）=（1，1，-1，1）T，=（1，-1，2，-1）T，=（3,1,0，1）T； 解 設k+k+k=0 則k,k,k是方程組 的解 。 設方程組的增廣矩陣為,對進行初等變換 =。由于方程組的系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩且小于4，所以方程組有非零解，因此，線性相關。（3）=（2，1，3

36、）T，=（-3，1，1，）T，=（1,1,-2）T。解： 設k+k+k=0 則k,k,k是方程組 的解。設方程組的增廣矩陣為,對進行初等變換= 。最后得到的梯形矩陣對應的梯形方程組為 ， 顯然 k=k=k=0，所以，線性無關。10、 設向量組=（a，2，1）T，=（2，a，0，）T，=（1,-1,1）T，試確定a為何值時，向量組線性相關。解： 設k+k+k=0， 則k,k,k是方程組 的解。 則，線性相關時，有： detA= =0。即 （a+2）（a-3）=0，由此得 a=2或3時 ，線性相關。11、 設，為R中的3個線性無關的向量。試判定下列各向量組是否線性無關，說明理由，并給出幾何解釋。（

37、1）=-， =-， =-； 解： +=0， ，線性相關。幾何意義： ， ，以其中一個為起點組成一個封閉的三角形。 （2）=+， =+， =+；解： 設k+k+k=0， 則k,k,k是方程組 的解 。顯然k=k=k=0，所以， ，線性無關。 幾何意義：， ，異面。 （3）=+， =-， = +。 解： +-=0， ， ，線性相關。幾何意義：三角形兩邊之和等于第三邊。12、 設向量組，線性無關（s>2）試證明下列各向量組線性無關。（1），+，,+；證明： 設k+k（+）+k（+）=0 , 則 ( k+k+k)+ (k+ k+k)+k=0, 向量組，線性無關 , 解得k=k=k=0， ，+，,

38、+ 線性無關。（2）-+,-+, +- ； 證明： 設k（-+）+k（-+）+k（+ +-）=0 , 則( -k+k+k)+( k-k+k)+ ( k+k+k-k)=0。 向量組，線性無關， ， ( k+k+k)=s ( k+k+k)， k+k+k=0。又 k= k+k+k+k+k (i=1,2, ,s) 2k= k+k+k+k+k ， k=0。-+,-+, +-線性無關 。13 、 判定下列各組中給定的兩個向量組是否等價。（1）=（1，0）T，=（0，1）T與=（1，2）T， =（-1，1）T； 解： = ，而 =，所以= ，即兩個向量組等價。（2）=（1，1）T，=（0，-1）T與=（2，

39、2）T， =（0，0）T。解： = ，而=0，所以，不能由，的線性表出。故兩個向量組不等價。14 、已知向量組，與，滿足證明，與，等價。證明： =，且=4，所以 =，即，與，等價。15 、設n維向量組=（1，0，0）T，=（1，1，0，0）T，=（1，1， ，1）T，求證向量組，與n維標準向量=（1，0，0）T，=（0，1，0，0）T，=（0，0，1）T等價。 證明： =， =+， =+， =。 又 =1， = ，向量組，與n維標準向量組，等價。16 、設向量組，線性無關 （r 2）,任取r-1個數(shù)k，k，k構造向量組， ， ，其中=+k(i=1,2,r-1).求證， ，線性無關 。解： 設

40、， 又 =+k (i=1,2,r-1),所以 ，又向量組，線性無關， l= l= = l= 0。 ， ，線性無關。17 、設向量組， (s>1)中 ，0，并且不能由，線性表出，i=2,3, ，s ，求證向量組，線性無關 。證明：假設向量組，線性相關，則存在不全為零數(shù)k，k，k使得k+k+k=0 。 設等式中從右往左第一個不為零的數(shù)為 k，即 k=k=k=0。于是等式變?yōu)閗+k+k= 0。 若 i=1，則k=0，從而=0，與0矛盾，故i>1，于是 = ，這與不能由，線性表出矛盾。所以向量組，線性無關。18 、設向量可由向量組， 線性表出，但不能由， 線性表出。證明， 與，等價。證明：

41、設= k+k+k , 又不能由， 線性表出 ,所以 k0。于是有 =。向量組，顯然能由向量組，線性表出，而又能由，線性表出，因而，也能由向量組，線性表出，所以， 與，等價。19 、證明n維向量組，線性無關的充分必要條件是任意 n維向都可以表示為量，的線性組合。證明：設=（k，k，k）為任一n維向量，則有 = k+k+k ，于是任一n維向量可由單位向量組線性表示。必要性：因為n維向量，可由單位向量組線性表示，即有n階方陣K使得（，）=（，）K，又，線性無關，故R（，）=n，于是有R（K）R（，）=n，但R（K） n，因此R（K）=n，所以K可逆，并有（，）=（，）K，即，都能由，線性表示。又任一n維向量可由單位向量組線性表示。所以任一n維向量都能由，線性表示。充分性：若任意 n維向量都可以表示為向量組，的線性組合，則向量=（1，0，0）T，=（0，