中考數(shù)學(xué)經(jīng)典難題解答集錦

1、經(jīng)典難題（一）1、已知：如圖，O是半圓的圓心，C、E是圓上的兩點(diǎn)，CDAB，EFAB，EGCO求證：CDGF（初二）AFGCEBOD2、已知：如圖，P是正方形ABCD內(nèi)點(diǎn)，PADPDA150APCDB 求證：PBC是正三角形（初二）假設(shè)三角形PBC不是正三角形，則必能在正方形內(nèi)找一點(diǎn)Q，使三角形QBC是正三角形如圖，連接QB、QC，則有QB=AB=QC=CD，角ABQ=DCQ=30度，角BAQ=BQA=CDQ=CQD=75度角QAD=QDA=15度而角PAD=PDA=15度，從而角QAD與PAD，角QDA與PDA重合，從而點(diǎn)P與Q重合，三角形PBC與QBC重合所以三角形PAB是正三角形。3、如

2、圖，已知四邊形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分別是AA1、BB1、CC1、DD1的中點(diǎn)求證：四邊形A2B2C2D2是正方形（初二）連接BC1和AB1分別找其中點(diǎn)F,E.連接C2F與A2E并延長相交于Q點(diǎn)，連接EB2并延長交C2Q于H點(diǎn)，連接FB2并延長交A2Q于G點(diǎn)，由A2E= A1B1= B1C1= FB2 ，EB2= AB= BC=FC1 ，又GFQ+Q=900和GEB2+Q=900,所以GEB2=GFQ又B2FC2=A2EB2 ，可得B2FC2A2EB2 ，所以A2B2=B2C2 ， 又GFQ+HB2F=900和GFQ=EB2A2 ,D2C2B2A2D1C1

3、B1CBDAA1從而可得A2B2 C2=900 ，同理可得其他邊垂直且相等，從而得出四邊形A2B2C2D2是正方形。4、已知：如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延長線交MN于E、F求證：DENF求DEN，不是吧，這求不出來的吧，是不是求證：DENMFCANFECDMB連接AC,取AC中點(diǎn)G,連接MG,NGN,G是CD,AC的中點(diǎn)GNAD,GN=0.5DAGNM=DEN同理,NMG=MFC,MG=0.5BCAD=BCMG=NGGMN=GNMDENMFC經(jīng)典難題（二）1、已知：ABC中，H為垂心（各邊高線的交點(diǎn)），O為外心，且OMBC于M·AD

4、HEMCBO（1）求證：AH2OM；（2）若BAC600，求證：AHAO（初二）·GAODBECQPNM2、設(shè)MN是圓O外一直線，過O作OAMN于A，自A引圓的兩條直線，交圓于B、C及D、E，直線EB及CD分別交MN于P、Q求證：APAQ（初二）3、如果上題把直線MN由圓外平移至圓內(nèi)，則由此可得以下命題：·OQPBDECNM·A設(shè)MN是圓O的弦，過MN的中點(diǎn)A任作兩弦BC、DE，設(shè)CD、EB分別交MN于P、Q求證：APAQ（初二）PCGFBQADE4、如圖，分別以ABC的AC和BC為一邊，在ABC的外側(cè)作正方形ACDE和正方形CBFG，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)求證：點(diǎn)P到

5、邊AB的距離等于AB的一半（初二）分別過P、C、E、F作AB的垂線，垂足依次是Q、H、M、N。ACDE是正方形，EAM、CAH互余，又CAH、ACH互余，EAMACH，ACDE是正方形，AECA，顯然有AMECHA90°，AEMCAH，EMAH。CBFG是正方形，F(xiàn)BN、CBH互余，又FBN、BFN互余，BFNCBH，CBFG是正方形，BFCB，顯然有BNFCHB90°，BFNCBH，F(xiàn)NBH。由EMAH、FNBH，得：EMFNAHBHAB。由PQAB、EMAB、FNAB，得：FNPQEM，又EPFP，PQ是梯形EFNM的中位線，由梯形中位線定理，有：PQ（EMFN）/2，

6、結(jié)合證得的EMFNAB，得：PQAB/2。經(jīng)典難題（三）1、如圖，四邊形ABCD為正方形，DEAC，AEAC，AE與CD相交于FAFDECB求證：CECF（初二）證明：連接BD交AC于點(diǎn)O，過點(diǎn)E作EGAC.四邊形ABCD是正方形，AC=BD，OD=BD/2，DOC=90°，ACD=45°，EGAC，EGO=90°，DOC+EGO=180°，OD/EG，又OG/DE，四邊形DOGE是矩形，DO=EG=BD/2=AC/2，AE=AC，在RtAGE中，EG=AE/2，ACE=AEC，EAG=30°，AEC+ACE=180°-EAG=180

7、°-30°=150°，AEC=ACE=150°÷2=75°，ECF=ACE-ACD=75°-45°=30°，EFC=180°-ECF-FEC=180°-30°-75°=75°，EFC=CEF，CECF.2、如圖，四邊形ABCD為正方形，DEAC，且CECA，直線EC交DA延長線于FEDACBF求證：AEAF（初二）過E，D分別做AC的垂線交點(diǎn)為G，HAC是正方形ABCD的對角線DH = AC/2ED/ACEG=DHAC = AEDH = AE/2在RtEG

8、C中，ECG = 30°CEA = CAE = 75°DCA = 45°DCF = 15°EFA = DFC = 75° EFA = FEA AE = AF 3、設(shè)P是正方形ABCD一邊BC上的任一點(diǎn)，PFAP，CF平分DCEDAEPCBA求證：PAPF（初二）證明：【此題見過，E應(yīng)為BC延長線上的點(diǎn)】在AB上截取AG=PC，連接PGABCD是正方形AB=BC，B=DCB=APF=90º【PFAP】AC=CPBG=BP【等量減等量】BGP=BPG=45ºAGP=180º-BGP=135ºCF平分DCEFC

9、E=45ºPCF=180º-FCE=135ºAGP=PCFBAP+APB=90º FPC+APB=90ºBAP=FPC【加上AGP=PCF，AG=PC】AGPPCF（ASA）PA=PFODBFAECP4、如圖，PC切圓O于C，AC為圓的直徑，PEF為圓的割線，AE、AF與直線PO相交于B、D求證：ABDC，BCAD（初三）經(jīng)典難題（四）1、已知：ABC是正三角形，P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，PA3，PB4，PC5APCB求：APB的度數(shù)（初二）2、設(shè)P是平行四邊形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，且PBAPDA求證：PABPCB（初二）過點(diǎn)P作DA的平行線，過點(diǎn)A作D

10、P的平行線，兩者相交于點(diǎn)E；連接BE PADCB因為DP/AE，AD/PE 所以，四邊形AEPD為平行四邊形 所以，PDA=AEP 已知，PDA=PBA 所以，PBA=AEP 所以，A、E、B、P四點(diǎn)共圓 所以，PAB=PEB 因為四邊形AEPD為平行四邊形，所以：PE/AD，且PE=AD 而，四邊形ABCD為平行四邊形，所以：AD/BC，且AD=BC 所以，PE/BC，且PE=BC 即，四邊形EBCP也是平行四邊形 所以，PEB=PCB 所以，PAB=PCB3、Ptolemy（托勒密）定理：設(shè)ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形，求證：AB·CDAD·BCAC·BDCBDA（初三）4、平行四邊形ABCD中，設(shè)E、F分別是BC、AB上的一點(diǎn)，AE與CF相交于P，且AECF求證：DPADPC（初二）FPDECBA連接DF，DE，過點(diǎn)D做DMCF，DNAECFD的面積=1/2平行四邊形的面積AED的面積=1/2平行四邊形的面積SCFD=SAED1/2CF×DM=1/2AE×DNAE=CFDM=DN：DPADPC，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上經(jīng)典難題（五）1、設(shè)P是邊長為1的正ABC內(nèi)任一點(diǎn)