二次函數(shù)知識點總結(jié)及典型例題和練習(極好)

1、黃岡中學九年級沖刺名校名師卷二次函數(shù)知識點總結(jié)及典型例題和練習（極好）知識點一：二次函數(shù)的概念和圖像 1、二次函數(shù)的概念一般地，如果，特別注意a不為零，那么y叫做x 的二次函數(shù)。叫做二次函數(shù)的一般式。2、二次函數(shù)的圖像二次函數(shù)的圖像是一條關于對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。拋物線的主要特征：有開口方向；有對稱軸；有頂點。3、二次函數(shù)圖像的畫法-五點作圖法：（1）先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點坐標，在平面直角坐標系中描出頂點M，并用虛線畫出對稱軸（2）求拋物線與坐標軸的交點：當拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點A,B及拋物線與y軸的交點C，再找到點C的對稱點D。將這五個點按從左到右的順序連接起來

2、，并向上或向下延伸，就得到二次函數(shù)的圖像。當拋物線與x軸只有一個交點或無交點時，描出拋物線與y軸的交點C及對稱點D。由C、M、D三點可粗略地畫出二次函數(shù)的草圖。如果需要畫出比較精確的圖像，可再描出一對對稱點A、B，然后順次連接五點，畫出二次函數(shù)的圖像。【例1】 已知函數(shù)y=x2-2x-3，（1）寫出函數(shù)圖象的頂點、圖象與坐標軸的交點，以及圖象與 y 軸的交點關于圖象對稱軸的對稱點。然后畫出函數(shù)圖象的草圖；（2）求圖象與坐標軸交點構(gòu)成的三角形的面積：（3）根據(jù)第（1）題的圖象草圖，說 出 x 取哪些值時， y=0； y<0； y>0知識點二：二次函數(shù)的解析式 二次函數(shù)的解析式有三種形

3、式：（1）一般式：（2） 交點式：當拋物線與x軸有交點時，即對應的一元二次方程有實根和存在時，根據(jù)二次三項式的分解因式，二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩根式。如果沒有交點，則不能這樣表示。（3）頂點式： 當題目中告訴我們拋物線的頂點時，我們最好設頂點式，這樣最簡潔?！纠?】 拋物線與x軸交于A（1，0），B（3，0）兩點，且過（-1，16），求拋物線的解析式?！纠?】 如圖，拋物線與x軸的一個交點A在點（-2，0）和（-1，0）之間（包括這兩點），頂點C是矩形DEFG上（包括邊界和內(nèi)部）的一個動點，則：（1）abc 0 （或或=）（2）a的取值范圍是 【例3】 下列二次函數(shù)中，圖象以直線x = 2為對稱軸，

4、且經(jīng)過點(0，1)的是 ( )Ay = (x 2)2 + 1 By = (x + 2)2 + 1 Cy = (x 2)2 3 Dy = (x + 2)2 3知識點三：二次函數(shù)的最值 如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當時，。如果自變量的取值范圍是，那么，首先要看是否在自變量取值范圍內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當x=時，；若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當時，當時，；如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當時，當時，。OO-1OxOy1323【例1】 已知二次函數(shù)的圖像（0x3）如圖所示,關于該函數(shù)在所給自變量

5、取值范圍內(nèi),下列說法正確的是( )A有最小值0，有最大值3B有最小值1,有最大值0C有最小值1,有最大值3D有最小值1,無最大值【例2】 某賓館有50個房間供游客住宿，當每個房間的房價為每天l80元時，房間會全部住滿當每個房間每天的房價每增加10元時，就會有一個房間空閑賓館需對游客居住的每個房間每天支出20元的各種費用根據(jù)規(guī)定，每個房間每天的房價不得高于340元設每個房間的房價每天增加x元(x為10的正整數(shù)倍)（1）設一天訂住的房間數(shù)為y，直接寫出y與x的函數(shù)關系式及自變量x的取值范圍；（2）設賓館一天的利潤為w元，求w與x的函數(shù)關系式；（3）一天訂住多少個房間時，賓館的利潤最大? 最大利潤是

6、多少元?知識點四、二次函數(shù)的性質(zhì) 1、二次函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)圖像a>0a<0 y 0 x y 0 x 性質(zhì)（1）拋物線開口向上，并向上無限延伸；（2）對稱軸是x=，頂點坐標是（，）；（3）在對稱軸的左側(cè)，即當x時，y隨x的增大而減小；在對稱軸的右側(cè)，即當x時，y隨x的增大而增大，簡記左減右增；（4）拋物線有最低點，當x=時，y有最小值，（1）拋物線開口向下，并向下無限延伸；（2）對稱軸是x=，頂點坐標是（，）；（3）在對稱軸的左側(cè)，即當x時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，即當x時，y隨x的增大而減小，簡記左增右減；（4）拋物線有最高點，當x=時，y有最大值，2、二次函數(shù)中

7、，的含義：表示開口方向：>0時，拋物線開口向上 <0時，拋物線開口向下與對稱軸有關：對稱軸為x=表示拋物線與y軸的交點坐標：（0，）3、二次函數(shù)與一元二次方程的關系一元二次方程的解是其對應的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點橫坐標。因此一元二次方程中的，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點。當>0時，圖像與x軸有兩個交點；當=0時，圖像與x軸有一個交點；當<0時，圖像與x軸沒有交點?！纠?】 拋物線y=x2-2x-3的頂點坐標是 . 【例2】 二次函數(shù)有( )A 最大值 B 最小值C 最大值 D 最小值【例3】 由二次函數(shù)，可知（ ）A其圖象的開口向下 B其圖象的對稱軸為直線C

8、其最小值為1 D當時，y隨x的增大而增大【例4】 已知函數(shù)的圖象與x軸有交點，則k的取值范圍是( )A.B.C.且D.且【例5】 下列函數(shù)中,當x>0時y值隨x值增大而減小的是（ ）Ay = x2 By = x C y = xDy = 【例6】 若二次函數(shù)當l時，隨的增大而減小，則的取值范圍是（ ） A=l B>l Cl Dl知識點五、二次函數(shù)圖象的平移 對于拋物線y=ax2+bx+c的平移通常先將一般式轉(zhuǎn)化成頂點式，再遵循左加右減，上加下減的的原則化為頂點式有兩種方法：配方法，頂點坐標公式法。在用頂點坐標公式法求出頂點坐標后，在寫頂點式時，要減去頂點的橫坐標，加上頂點的縱坐標。

9、沿軸平移：向上（下）平移（m0）個單位，變成（或） 當然，對于拋物線的一般式平移時，也可以不把它化為頂點式：向左（右）平移（m0）個單位，變成（或）【例1】 將拋物線向左平移2個單位后，得到的拋物線的解析式是( ) A B C D【例2】 將拋物線y=x22x向上平移3個單位,再向右平移4個單位等到的拋物線是_.【例3】 拋物線可以由拋物線平移得到,則下列平移過程正確的是( )A.先向左平移2個單位,再向上平移3個單位 B.先向左平移2個單位,再向下平移3個單位C.先向右平移2個單位,再向下平移3個單位 D.先向右平移2個單位,再向上平移3個單位【補】拋物線y=2x2-3x-7在x軸上截得的線

10、段的長度為_【公式】拋物線y=ax2+bx+c在x軸上截得的線段的長度為_知識點六：拋物線中， a、b、c的作用 （1）決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣. （2）和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線，故：時，對稱軸為軸；（即、同號）時，對稱軸在軸左側(cè)；（即、異號）時，對稱軸在軸右側(cè).口訣-左同，右異 （a、b同號，對稱軸在y軸左側(cè)） （3）的大小決定拋物線與軸交點的位置. 當時，拋物線與軸有且只有一個交點（0，）： ，拋物線經(jīng)過原點; ,與軸交于正半軸； ,與軸交于負半軸. 以上三點中，當結(jié)論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側(cè)，則 .【例1】 如圖為拋物線

11、的圖像，A、B、C 為拋物線與坐標軸的交點，且OA=OC=1，則下列關系中正確的是( ) Aab=1 Bab=1 Cb<2aDac<0 【例2】 已知拋物線yax2bxc(a0)在平面直角坐標系中的位置如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是( )Aa>0 Bb0 Cc0 Dabc>0【例3】 如圖所示的二次函數(shù)的圖象中，劉星同學觀察得出了下面四條信息：（1）；（2）c>1；（3）2ab<0；（4）a+b+c<0。你認為其中錯誤的有( ) A2個B3個C4個D1個【例4】 如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與y軸正半軸相交，其頂點坐標為，下列結(jié)論：ac0；

12、a+b=0；4acb2=4a；a+b+c0.其中正確的個數(shù)是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【例5】 如圖，是二次函數(shù) yax2bxc（a0）的圖象的一部分，給出下列命題 ：a+b+c=0；b2a；ax2+bx+c=0的兩根分別為-3和1；a-2b+c0其中正確的命題是 （只要求填寫正確命題的序號）【例6】 如圖，平面直角坐標系中，兩條拋物線有相同的對稱軸，則下列關系正確的是（ ）Amn，kh Bmn ，kh Cmn，kh Dmn，kh知識點七：中考二次函數(shù)壓軸題中常用到的公式APBO1、兩點間距離公式：如圖：點A坐標為（x1，y1），點B坐標為（x2，y2），則AB間的距離，即

13、線段AB的長度為 （這實際上是根據(jù)勾股定理得出來的）2、中點坐標公式：如圖，在平面直角坐標系中，、兩點的坐標分別為， ，中點的坐標為由，得，同理，所以的中點坐標為3、兩平行直線的解析式分別為：y=k1x+b1，y=k2x+b2，那么k1=k2，也就是說當我們知道一條直線的k值，就一定能知道與它平行的另一條直線的k值。4、兩垂直直線的解析式分別為：y=k1x+b1，y=k2x+b2，那么k1×k2=-1，也就是說當我們知道一條直線的k值，就一定能知道與它垂直的另一條直線的k值。（對于這一條，只要能靈活運用就行，不需要理解）以上四條，我稱它們?yōu)樽鴺讼抵械摹八拇蠼饎偂薄纠?】 如圖，在平面

14、直角坐標系中，拋物線y=x2+2x+3與x軸交于AB兩點，與y軸交于點C，點D是該拋物線的頂點（1）求直線AC的解析式及BD兩點的坐標；（2）點P是x軸上一個動點，過P作直線lAC交拋物線于點Q，試探究：隨著P點的運動，在拋物線上是否存在點Q，使以點AP、Q、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由（3）請在直線AC上找一點M，使BDM的周長最小，求出M點的坐標【例2】 如圖，已知拋物線y=x2+bx+c與一直線相交于A（1，0），C（2，3）兩點，與y軸交于點N其頂點為D（1）求拋物線及直線AC的函數(shù)關系式；（2）設點M（3，m），求使MN+

15、MD的值最小時m的值；（3）若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點B，E為直線AC上的任意一點，過點E作EFBD交拋物線于點F，以B，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點E的坐標；若不能，請說明理由；（4）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求APC的面積的最大值【例3】 如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點（點B在點A的右邊），與y軸交于C，連接BC，以BC為一邊，點O為對稱中心作菱形BDEC，點P是x軸上的一個動點，設點P的坐標為（m，0），過P作x軸的垂線l交拋物線于點Q。（1）求點A、B、C的坐標；（2）當點P在線段OB上運動時，直線l分別交BD、BC于點M、N。試探究m

16、為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形，此時，請判斷四邊形CQBM的形狀，并說明理由。（3）當點P在線段EB上運動時，是否存在點Q，使BDQ為直角三角形，若存在，請直接寫出Q點坐標；若不存在，請說明理由?！揪?習】1、平時我們在跳大繩時，繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線如圖所示，正在甩繩的甲、乙兩名學生拿繩的手間距為4 m，距地面均為1m，學生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離1m、25 m處繩子在甩到最高處時剛好通過他們的頭頂已知學生丙的身高是15 m，則學生丁的身高為(建立的平面直角坐標系如右圖所示)( )A15 m B1625 mC166 m D167 m2、已知函數(shù)，則使y=k成立的

17、x值恰好有三個，則k的值為（ ）A0B1C2D33. 二次函數(shù)的圖象如圖所示，則反比例函數(shù)與一次函數(shù)在同一坐標系中的大致圖象是（ ）.4. 如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1，0），（1，2），當隨的增大而增大時，的取值范圍是 5. 在平面直角坐標系中，將拋物線繞著它與y軸的交點旋轉(zhuǎn)180°，所得拋物線的解析式是（ ）A B C D6. 已知二次函數(shù)的圖像如圖，其對稱軸，給出下列結(jié)果，則正確的結(jié)論是（ ）x21012y04664A B C D 7拋物線上部分點的橫坐標，縱坐標的對應值如上表：從上表可知，下列說法中正確的是 （填寫序號）拋物線與軸的一個交點為（3,0）； 函數(shù)的最大值為

18、6；拋物線的對稱軸是； 在對稱軸左側(cè)，隨增大而增大8. 如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，點A的坐標是（2，4），過點A作ABy軸，垂足為B，連結(jié)OA(1)求OAB的面積；(2)若拋物線經(jīng)過點A求c的值；將拋物線向下平移m個單位，使平移后得到的拋物線頂點落在OAB的內(nèi)部（不包括OAB的邊界），求m的取值范圍（直接寫出答案即可）9、“已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（c，2）， ） ，這個二次函數(shù)圖象的對稱軸是x=3?！鳖}目中的矩形框部分是一段被墨水污染了無法辨認的文字。根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有的信息，你能否求出題中的二次函數(shù)解析式？若能，請寫出求解過程，并畫出二次函數(shù)圖象；若不能，請說明理由。10、如圖所示，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是直角梯形，BCAD，BAD= 90°，BC與y軸