二次函數(shù)與相似三角形問題(含答案)

1、 綜合題講解 函數(shù)中因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題 例題 如圖1，已知拋物線的頂點(diǎn)為A（2，1），且經(jīng)過原點(diǎn)O，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B。求拋物線的解析式；（用頂點(diǎn)式求得拋物線的解析式為）若點(diǎn)C在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)D在拋物線上，且以O(shè)、C、D、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；連接OA、AB，如圖2，在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得OBP與OAB相似？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。例1題圖圖1圖2分析:1.當(dāng)給出四邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)時(shí)應(yīng)以兩個(gè)頂點(diǎn)的連線為四邊形的邊和對(duì)角線來考慮問題以O(shè)、C、D、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形要分類討論:按OB為邊和對(duì)角線兩種情況 2

2、. 函數(shù)中因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題一般有三個(gè)解題途徑 求相似三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，先要分析已知三角形的邊和角的特點(diǎn)，進(jìn)而得出已知三角形是否為特殊三角形。根據(jù)未知三角形中已知邊與已知三角形的可能對(duì)應(yīng)邊分類討論。 或利用已知三角形中對(duì)應(yīng)角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函數(shù)、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等知識(shí)來推導(dǎo)邊的大小。 若兩個(gè)三角形的各邊均未給出，則應(yīng)先設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而用函數(shù)解析式來表示各邊的長(zhǎng)度，之后利用相似來列方程求解。 例題2：如圖，已知拋物線y=ax2+4ax+t（a0）交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，0）（1）求拋物線的對(duì)稱軸及點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2

3、）過點(diǎn)C作x軸的平行線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)P，你能判斷四邊形ABCP是什么四邊形？并證明你的結(jié)論；（3）連接CA與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)D，當(dāng)APD=ACP時(shí)，求拋物線的解析式 練習(xí)1、已知拋物線經(jīng)過及原點(diǎn)（1）求拋物線的解析式（由一般式得拋物線的解析式為）（2）過點(diǎn)作平行于軸的直線交軸于點(diǎn)，在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)且位于直線下方的拋物線上，任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線平行于軸交軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，直線與直線及兩坐標(biāo)軸圍成矩形是否存在點(diǎn)，使得與相似？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由（3）如果符合（2）中的點(diǎn)在軸的上方，連結(jié)，矩形內(nèi)的四個(gè)三角形之間存在怎樣的關(guān)系？為什么？練習(xí)2、如圖，四邊形OABC是一

4、張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，將邊BC折疊，使點(diǎn)B落在邊OA的點(diǎn)D處。已知折疊，且。（1）判斷與是否相似？請(qǐng)說明理由；（2）求直線CE與x軸交點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）是否存在過點(diǎn)D的直線l，使直線l、直線CE與x軸所圍成的三角形和直線l、直線CE與y軸所圍成的三角形相似？如果存在，請(qǐng)直接寫出其解析式并畫出相應(yīng)的直線；如果不存在，請(qǐng)說明理由。Oxy練習(xí)2圖CBED練習(xí)3、在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），與軸交于點(diǎn)，其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，且過點(diǎn)和（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；（由一般式得拋物線的解析式為）（2）若直線與線段交于點(diǎn)（不與點(diǎn)重合

5、），則是否存在這樣的直線，使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出該直線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；CBA練習(xí)4圖PyyCxBA練習(xí)3圖（3）若點(diǎn)是位于該二次函數(shù)對(duì)稱軸右邊圖象上不與頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，試比較銳角與的大小（不必證明），并寫出此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍O練習(xí)4 、如圖所示，已知拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)（2）過點(diǎn)A作APCB交拋物線于點(diǎn)P，求四邊形ACBP的面積（3）在軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M，過M作MG軸于點(diǎn)G，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCA相似若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說明理由練習(xí)5、已知：如圖，

6、在平面直角坐標(biāo)系中，是直角三角形，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，（1）求過點(diǎn)的直線的函數(shù)表達(dá)式；點(diǎn)，（2）在軸上找一點(diǎn)，連接，使得與相似（不包括全等），并求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，如分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，連接，設(shè)，問是否存在這樣的使得與相似，如存在，請(qǐng)求出的值；如不存在，請(qǐng)說明理由ACOBxy練習(xí)6、如圖，已知拋物線與交于A(1，0)、E(3，0)兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)B(0，3)。（1） 求拋物線的解析式；（2） 設(shè)拋物線頂點(diǎn)為D，求四邊形AEDB的面積；（3） AOB與DBE是否相似？如果相似，請(qǐng)給以證明；如果不相似，請(qǐng)說明理由。練習(xí)7、如圖，已知拋物線yx2bxc與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點(diǎn)， A點(diǎn)的坐

7、標(biāo)為（1，0），過點(diǎn)C的直線yx3與x軸交于點(diǎn)Q，點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作PHOB于點(diǎn)H若PB5t，且0t1（1）填空：點(diǎn)C的坐標(biāo)是_ _，b_ _，c_ _；（2）求線段QH的長(zhǎng)（用含t的式子表示）；（3）依點(diǎn)P的變化，是否存在t的值，使以P、H、Q為頂點(diǎn)的三角形與COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，說明理由練習(xí)8、如圖，拋物線經(jīng)過三點(diǎn)（1）求出拋物線的解析式；（2）P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過P作軸，垂足為M，是否存在P點(diǎn)，使得以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）在直線AC上方的拋物線上有一點(diǎn)D，使得的面積最大，求

8、出點(diǎn)D的坐標(biāo)練習(xí)9、已知，如圖1，過點(diǎn)作平行于軸的直線，拋物線上的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為1和4，直線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)分別作直線的垂線，垂足分別為點(diǎn)、，連接（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求證：；（3）點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸右側(cè)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使得與相似？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由練習(xí)10、當(dāng)x2時(shí)，拋物線yax2bxc取得最小值1，并且拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，3），與x軸交于點(diǎn)A、B （1）求該拋物線的關(guān)系式；（2）若點(diǎn)M（x，y1），N（x1，y2）都在該拋物線上，試比較y1與y2的大小；ABCDOxyEF3（第26題圖）（3）D是線段AC的中點(diǎn)，E為

9、線段AC上一動(dòng)點(diǎn)（A、C兩端點(diǎn)除外），過點(diǎn)E作y軸的平行線EF與拋物線交于點(diǎn)F問：是否存在DEF與AOC相似？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，則說明理由練習(xí)11、如圖，一次函數(shù)y=2x的圖象與二次函數(shù)y=x2+3x圖象的對(duì)稱軸交于點(diǎn)B.（1）寫出點(diǎn)B的坐標(biāo) ；（2）已知點(diǎn)P是二次函數(shù)y=x2+3x圖象在y軸右側(cè)部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將直線y=2x沿y軸向上平移，分別交x軸、y軸于C、D兩點(diǎn). 若以CD為直角邊的PCD與OCD相似，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 . OBCD練習(xí)12、如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)A（1，0），B（1，0），與軸交于點(diǎn)C(1)求拋物線的解析式；(2)過點(diǎn)B作BDCA與拋物線交于點(diǎn)D，求

10、四邊形ACBD的面積； (3)在軸下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M，過M作MN軸于點(diǎn)N，使以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與BCD相似？若存在，則求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由 練習(xí)13、已知：函數(shù)y=ax2+x+1的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)（1）求這個(gè)函數(shù)關(guān)系式；（2）如圖所示，設(shè)二次函數(shù)y=ax2+x+1圖象的頂點(diǎn)為B，與y軸的交點(diǎn)為A，P為圖象上的一點(diǎn)，若以線段PB為直徑的圓與直線AB相切于點(diǎn)B，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；AxyOB（3）在(2)中，若圓與x軸另一交點(diǎn)關(guān)于直線PB的對(duì)稱點(diǎn)為M，試探索點(diǎn)M是否在拋物線y=ax2+x+1上，若在拋物線上，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不在，請(qǐng)說明理由練習(xí)14、如圖,設(shè)拋

11、物線C1:, C2:,C1與C2的交點(diǎn)為A, B,點(diǎn)A的坐標(biāo)是,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是2.（1） 求的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)； （2）點(diǎn)D在線段AB上,過D作x軸的垂線,垂足為點(diǎn)H,在DH的右側(cè)作正三角形DHG. 記過C2頂點(diǎn)的直線為,且與x軸交于點(diǎn)N. 若過DHG的頂點(diǎn)G,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1, 2)，求點(diǎn)N的橫坐標(biāo)； 若與DHG的邊DG相交,求點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的取值范圍.練習(xí)15、如圖，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，設(shè)AP=，現(xiàn)將紙片折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)P重合，得折痕EF（點(diǎn)E、F為折痕與矩形邊的交點(diǎn)），再將紙片還原。 （1）當(dāng)時(shí)，折痕EF的長(zhǎng)為 ；當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，折痕EF的長(zhǎng)為 ；

12、（2）請(qǐng)寫出使四邊形EPFD為菱形的的取值范圍，并求出當(dāng)時(shí)菱形的邊長(zhǎng)；（3）令，當(dāng)點(diǎn)E在AD、點(diǎn)F在BC上時(shí)，寫出與的函數(shù)關(guān)系式。當(dāng)取最大值時(shí)，判斷與是否相似？若相似，求出的值；若不相似，請(qǐng)說明理由。練習(xí)16、如圖，已知 ，現(xiàn)以A點(diǎn)為位似中心，相似比為9:4，將OB向右側(cè)放大，B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C(1) 求C點(diǎn)坐標(biāo)及直線BC的解析式;(2) 一拋物線經(jīng)過B、C兩點(diǎn)，且頂點(diǎn)落在x軸正半軸上，求該拋物線的解析式并畫出函數(shù)圖象;(3) 現(xiàn)將直線BC繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)與拋物線相交與另一點(diǎn)P，請(qǐng)找出拋物線上所有滿足到直線AB距離為的點(diǎn)P參考答案例題、解:由題意可設(shè)拋物線的解析式為拋物線過原點(diǎn)，.圖1拋物線的解析式為

13、,即 如圖1,當(dāng)OB為邊即四邊形OCDB是平行四邊形時(shí),CDOB,由得,B(4,0),OB4.D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6 將x6代入,得y3,D(6,3); 根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知,在對(duì)稱軸的左側(cè)拋物線上存在點(diǎn)D,使得四邊形ODCB是平行四邊形,此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,3), 當(dāng)OB為對(duì)角線即四邊形OCBD是平行四邊形時(shí),D點(diǎn)即為A點(diǎn),此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1)如圖2，由拋物線的對(duì)稱性可知:AOAB,AOBABO.若BOP與AOB相似,必須有POBBOABPO 圖2設(shè)OP交拋物線的對(duì)稱軸于A點(diǎn),顯然A(2,1)直線OP的解析式為 由,得.P(6,3)過P作PEx軸,在RtBEP中,BE2,PE3,PB4.

14、PBOB,BOPBPO,PBO與BAO不相似, 同理可說明在對(duì)稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的P點(diǎn).所以在該拋物線上不存在點(diǎn)P,使得BOP與AOB相似. 練習(xí)1、解：（1）由已知可得： 解之得，因而得，拋物線的解析式為：（2）存在設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，要使，則有，即解之得，當(dāng)時(shí)，即為點(diǎn)，所以得要使，則有，即解之得，當(dāng)時(shí)，即為點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，所以得故存在兩個(gè)點(diǎn)使得與相似點(diǎn)的坐標(biāo)為（3）在中，因?yàn)樗援?dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，所以因此，都是直角三角形又在中，因?yàn)樗约从兴?，又因?yàn)椋跃毩?xí)2解：（1）與相似。Oxy圖1CBED312A理由如下：由折疊知，又，。（2），設(shè)AE=3t，則AD=4t。圖2OxyCBE

15、DPMGlNAF由勾股定理得DE=5t。由（1），得，。在中，解得t=1。OC=8，AE=3，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，8），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（10，3），設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b，解得，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（16，0）。（3）滿足條件的直線l有2條：y=2x+12，y=2x12。如圖2：準(zhǔn)確畫出兩條直線。練習(xí)3解：（1）二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，且過點(diǎn)和，由解得此二次函數(shù)的表達(dá)式為（2）假設(shè)存在直線與線段交于點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似在中，令，則由，解得yxBEAOCD令，得設(shè)過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為要使或，已有，則只需，或成立若是，則有而

16、在中，由勾股定理，得解得（負(fù)值舍去）點(diǎn)的坐標(biāo)為將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中，求得滿足條件的直線的函數(shù)表達(dá)式為或求出直線的函數(shù)表達(dá)式為，則與直線平行的直線的函數(shù)表達(dá)式為此時(shí)易知，再求出直線的函數(shù)表達(dá)式為聯(lián)立求得點(diǎn)的坐標(biāo)為若是，則有而在中，由勾股定理，得解得（負(fù)值舍去）點(diǎn)的坐標(biāo)為將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中，求得滿足條件的直線的函數(shù)表達(dá)式為存在直線或與線段交于點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似，且點(diǎn)的坐標(biāo)分別為或（3）設(shè)過點(diǎn)的直線與該二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中，求得此直線的函數(shù)表達(dá)式為設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，并代入，得解得（不合題意，舍去）xBEAOCP·點(diǎn)的坐標(biāo)為此時(shí)，銳角又二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，銳角；當(dāng)時(shí)，銳角；當(dāng)時(shí)，銳角練習(xí)四圖1CPByA解：（1）令，得 解得令，得 A B C （2）OA=OB=OC= BAC=ACO=BCO=APCB， PAB=過點(diǎn)P作PE軸于E，則APE為等腰直角三角形令OE=，則PE= P點(diǎn)P在拋物線上 解得，（不合題意，舍去）PE=四邊形ACBP的面積=ABOC+ABPE=(3) 假設(shè)存在PAB=BAC = PAACMG軸于點(diǎn)G， MGA=PAC =在RtAOC中，OA=OC= AC=在RtPAE中，AE=PE= AP= 設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則M 點(diǎn)M在軸左側(cè)時(shí)，則GM圖2CByPA() 當(dāng)AMG PCA時(shí)，有=AG