第一輪復(fù)習(xí)的教學(xué)案之___橢圓

1、 .wd. 圓錐曲線與方程橢圓1橢圓定義：一個動點P，平面內(nèi)與兩定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)=2為常數(shù)2的點的軌跡叫做橢圓假設(shè)2，那么動點P的軌跡是橢圓假設(shè)2=，那么動點P的軌跡是線段F1F2假設(shè)2，那么動點P無軌跡其中：兩個定點叫做橢圓的焦點，焦點間的距離叫做焦距；定直線叫做準線。常數(shù)叫做離心率。第二定義：平面內(nèi)與一個定點的距離和到一條定直線的距離的比是常數(shù)的點的軌跡。2橢圓的標準方程：焦點在軸上時，方程為焦點焦點在軸上時，方程為焦點注:橢圓的一般方程：參數(shù)方程為參數(shù))3橢圓的性質(zhì)：(1)范圍：，(2)對稱性：關(guān)于軸、軸、原點對稱(3)頂點坐標、焦點坐標是(4)長軸長2、短軸長2、焦距2

2、c、長半軸、短半軸、半焦距(5)橢圓的，準線方程是，準線到中心的距離為.通徑的長是， 通徑的一半(半通徑)：，焦準距焦點到對應(yīng)準線的距離(6)離心率，離心率越大，橢圓越扁(7)焦半徑：假設(shè)點是橢圓上一點，是其左、右焦點，焦半徑的長：和4橢圓的的內(nèi)外部：1點在橢圓的內(nèi)部2點在橢圓的外部5橢圓系方程：與橢圓共焦點的橢圓系方程可設(shè)為：是與橢圓有一樣離心率的橢圓系方程可設(shè)為：或.補充性質(zhì)：1.假設(shè)在橢圓上，那么過的橢圓的切線方程是.2.假設(shè)在橢圓外 ，那么過Po作橢圓的兩條切線切點為P1、P2，那么切點弦P1P2的直線方程是.3.以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準線相離.4.以焦點半徑PF1為直徑的圓必

3、與以長軸為直徑的圓內(nèi)切.5.橢圓 (ab0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn) 2，點P為橢圓上任意一點，那么橢圓的焦點角形的面積為.6.AB是橢圓的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，那么，即。7.假設(shè)在橢圓內(nèi)，那么被Po所平分的中點弦的方程是.8.假設(shè)在橢圓內(nèi)，那么過Po的弦中點的軌跡方程是.9.點P處的切線PT平分PF1F2在點P處的外角.10.PT平分PF1F2在點P處的外角，那么焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.11.設(shè)過橢圓焦點F作直線與橢圓相交 P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結(jié)AP 和AQ分別交相應(yīng)于焦點F的橢圓準線于M、N兩點，那么MFNF.

4、12.過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點P、Q, A1、A2為橢圓長軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，那么MFNF.13.橢圓ab0，O為坐標原點，P、Q為橢圓上兩動點，且.1;2|OP|2+|OQ|2的最大值為;3的最小值是.14.P為橢圓ab0上任一點,F1,F2為二焦點，A為橢圓內(nèi)一定點，那么,當且僅當三點共線時，等號成立.例題分析例1橢圓的一個焦點為0，2求的值故例 2 1方程表示橢圓，求的取值范圍2表示焦點在軸上的橢圓，求的取值范圍解：1滿足條件的的取值范圍是，且2說明：(1)由橢圓的標準方程知，這是容易無視的地方(2)由焦點在軸上，知，(3)求的取值范圍

5、時，應(yīng)注意題目中的條件例31橢圓的中心在原點，且經(jīng)過點，求橢圓的標準方程2點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點到兩焦點的距離分別為和，過點作焦點所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個焦點，求橢圓方程3動圓過定點，且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程4求中心在原點，對稱軸為坐標軸，且經(jīng)過和兩點的橢圓方程5知圓，從這個圓上任意一點向軸作垂線段，求線段中點的軌跡解：1故橢圓的方程為 或 2所求橢圓方程為或3分析：關(guān)鍵是根據(jù)題意，列出點P滿足的關(guān)系式解：如下圖，設(shè)動圓和定圓內(nèi)切于點動點到兩定點，即定點和定圓圓心距離之和恰好等于定圓半徑，即點的軌跡是以，為兩焦點，半長軸為4，半短軸長為的橢圓的方程：說明

6、：此題是先根據(jù)橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然后根據(jù)橢圓的標準方程，求軌跡的方程這是求軌跡方程的一種重要思想方法例4的底邊，和兩邊上中線長之和為30，求此三角形重心的軌跡和頂點的軌跡分析：1由可得，再利用橢圓定義求解故其方程為2由的軌跡方程、坐標的關(guān)系，利用代入法求的軌跡方程的軌跡方程為，其軌跡是橢圓除去軸上兩點例5橢圓，1求過點且被平分的弦所在直線的方程；2求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程；3過引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；4橢圓上有兩點、，為原點，且有直線、斜率滿足，求線段中點的軌跡方程 分析：此題中四問都跟弦中點有關(guān)，因此可考慮設(shè)弦端坐標的方法解：設(shè)弦兩端點分別為，線段的中點，

7、那么得由題意知，那么上式兩端同除以，有，將代入得1將，代入，得，故所求直線方程為： 將代入橢圓方程得，符合題意，為所求2將代入得所求軌跡方程為： 橢圓內(nèi)局部3將代入得所求軌跡方程為： 橢圓內(nèi)局部4由得 ： ， ， 將平方并整理得， ， ， 將代入得： ， 再將代入式得： ， 即 此即為所求軌跡方程當然，此題除了設(shè)弦端坐標的方法，還可用其它方法解決例6橢圓，試確定的取值范圍，使得對于直線，橢圓上有不同的兩點關(guān)于該直線對稱分析：假設(shè)設(shè)橢圓上，兩點關(guān)于直線對稱，那么條件等價于：(1)直線；(2)弦的中點在上利用上述條件建立的不等式即可求得的取值范圍解：(法1)設(shè)橢圓上，兩點關(guān)于直線對稱，直線與交于點

8、的斜率，設(shè)直線的方程為由方程組消去得。于是，即點的坐標為點在直線上，解得將式代入式得，是橢圓上的兩點，解得(法2)同解法1得出，即點坐標為，為橢圓上的兩點，點在橢圓的內(nèi)部，解得(法3)設(shè)，是橢圓上關(guān)于對稱的兩點，直線與的交點的坐標為，在橢圓上，兩式相減得，即又直線，即。又點在直線上，。由，得點的坐標為以下同解法2.說明：涉及橢圓上兩點，關(guān)于直線恒對稱，求有關(guān)參數(shù)的取值范圍問題，可以采用列參數(shù)滿足的不等式：(1)利用直線與橢圓恒有兩個交點，通過直線方程與橢圓方程組成的方程組，消元后得到的一元二次方程的判別式，建立參數(shù)方程(2)利用弦的中點在橢圓內(nèi)部，滿足，將，利用參數(shù)表示，建立參數(shù)不等式補充練習(xí)

9、1.求適合條件的橢圓的標準方程1長軸長是短軸長的2倍，且過點；或2在軸上的一個焦點與短軸兩端點的聯(lián)機互相垂直，且焦距為63 橢圓的一個頂點為，其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標準方程分析：題目沒有指出焦點的位置，要考慮兩種位置或4 中心在原點，焦點在軸上的橢圓與直線交于、兩點，為中點， 的斜率為0.25，橢圓的短軸長為2，求橢圓的方程說明：1此題求橢圓方程采用的是待定系數(shù)法；2直線與曲線的綜合問題，經(jīng)常要借用根與系數(shù)的關(guān)系，來解決弦長、弦中點、弦斜率問題5求中心在原點，對稱軸為坐標軸，且經(jīng)過和兩點的橢圓方程2.一個橢圓的焦點將其準線間的距離三等分，求橢圓的離心率3.橢圓的離心率，求的值或4.

10、橢圓上一點到右焦點的距離為，求到左準線的距離分析：利用橢圓的兩個定義，或利用第二定義和橢圓兩準線的距離求解5.橢圓內(nèi)有一點，、分別是橢圓的左、右焦點，點是橢圓上一點(1)求的最大值、最小值及對應(yīng)的點坐標；(2)求的最小值及對應(yīng)的點的坐標坐標6. (1)寫出橢圓的參數(shù)方程；(2)求橢圓內(nèi)接矩形的最大面積7. 求橢圓上的點到直線的距離的最小值分析：先寫出橢圓的參數(shù)方程，由點到直線的距離建立三角函數(shù)關(guān)系式，求出距離的最小值8.橢圓及直線1當為何值時，直線與橢圓有公共點？2假設(shè)直線被橢圓截得的弦長為，求直線的方程方程為9.以橢圓的焦點為焦點，過直線上一點作橢圓，要使所作橢圓的長軸最短，點應(yīng)在何處？并求

11、出此時的橢圓方程分析：橢圓的焦點容易求出，按照橢圓的定義，此題實際上就是要在直線上找一點，使該點到直線同側(cè)的兩點即兩焦點的距離之和最小，只須利用對稱就可解決10.橢圓上不同三點，與焦點的距離成等差數(shù)列1求證；2假設(shè)線段的垂直平分線與軸的交點為，求直線的斜率證明：1由橢圓方程知，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知：，同理，且，即2因為線段的中點為，所以它的垂直平分線方程為又點在軸上，設(shè)其坐標為，代入上式，得又點，都在橢圓上，將此式代入，并利用的結(jié)論得11.橢圓與軸正向交于點，假設(shè)這個橢圓上總存在點，使(為坐標原點)，求其離心率的取值范圍分析：、為定點，為動點，可以點坐標作為參數(shù)，把，轉(zhuǎn)化為點坐標的一個等量關(guān)

12、系，再利用坐標的范圍建立關(guān)于、的一個不等式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式為減少參數(shù)，易考慮運用橢圓參數(shù)方程解：設(shè)橢圓的參數(shù)方程是，那么橢圓上的點，即，解得或，舍去，又，又，說明：假設(shè)橢圓離心率范圍，求證在橢圓上總存在點使如何證明？12.橢圓，、為兩焦點，問能否在橢圓上找一點，使到左準線的距離是與的等比中項？假設(shè)存在，那么求出點的坐標；假設(shè)不存在，請說明理由解：假設(shè)存在，設(shè)，由條件得，左準線的方程是，又由焦半徑公式知：，整理得解之得或另一方面那么與矛盾，所以滿足條件的點不存在說明：1利用焦半徑公式解常可簡化解題過程2本例是存在性問題，解決存在性問題，一般用分析法，即假設(shè)存在，根據(jù)條件進展推理和運算進而根據(jù)

13、推理得到的結(jié)果，再作判斷3本例也可設(shè)存在，推出矛盾結(jié)論讀者自己完成13.長軸為12，短軸長為6，焦點在軸上的橢圓，過它對的左焦點作傾斜解為的直線交橢圓于，兩點，求弦的長分析：可以利用弦長公式求得，也可以利用橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點半徑來求解：(法1)利用直線與橢圓相交的弦長公式求解因為，所以因為焦點在軸上，所以橢圓方程為，左焦點，從而直線方程為由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得：設(shè)，為方程兩根，所以， 從而(法2)利用橢圓的定義及余弦定理求解由題意可知橢圓方程為，設(shè)，那么，在中，即；所以同理在中，用余弦定理得，所以(法3)利用焦半徑求解先根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立的方程求出方程的兩根，它們分別是，的

14、橫坐標再根據(jù)焦半徑，從而求出14.是直線被橢圓所截得的線段的中點，求直線的方程分析：此題考察直線與橢圓的位置關(guān)系問題通常將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去(或)，得到關(guān)于(或)的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關(guān)系，直接求出，(或，)的值代入計算即得并不需要求出直線與橢圓的交點坐標，這種“設(shè)而不求的方法，在解析幾何中是經(jīng)常采用的解：方法一：設(shè)所求直線方程為代入橢圓方程，整理得 設(shè)直線與橢圓的交點為，那么、是的兩根，為中點，所求直線方程為方法二：設(shè)直線與橢圓交點，為中點，又，在橢圓上，兩式相減得，即直線方程為方法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個交點為，另一個交點、在橢圓上，。 從而，在方程的圖形上，而過、的直線只有一條，直線方程為說明：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是重點考察的解析幾何問題，“設(shè)而不求的方法是處理此類問題的有效方法假設(shè)焦點是、的橢圓截直線所得弦中點的橫坐標是4，那么如何求橢圓方程？15. 橢圓，、是其長軸的兩個端