全等三角形難題集錦超級好-5(1)

1、1、（2007年成都）已知：如圖，ABC中，ABC=45，CDAB于D，BE平分ABC，且BEAC于E，與CD相交于點F，H是BC邊的中點，連結DH與BE相交于點G。 (!)求證：BF=AC； (2)求證：CE=BF； (3)CE與BC的大小關系如何？試證明你的結論。2.（2012內江）已知ABC為等邊三角形，點D為直線BC上的一動點（點D不與B、C重合），以AD為邊作菱形ADEF（A、D、E、F按逆時針排列），使DAF=60，連接CF（1）如圖1，當點D在邊BC上時，求證：BD=CF；AC=CF+CD；（2）如圖2，當點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，結論AC=CF+CD是否成立？若不

2、成立，請寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關系，并說明理由；（3）如圖3，當點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，補全圖形，并直接寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關系3（08河北中考第24題）如圖14-1，在ABC中，BC邊在直線l上，ACBC，且AC = BCEFP的邊FP也在直線l上，邊EF與邊AC重合，且EF=FP（1）在圖14-1中，請你通過觀察、測量，猜想并寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關系和位置關系；（2）將EFP沿直線l向左平移到圖14-2的位置時，EP交AC于點Q，連結AP，BQ猜想并寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關系和位置關系，請證明你的猜想；（3）將EFP沿直線l向左平移到圖1

3、4-3的位置時，EP的延長線交AC的延長線于點Q，連結AP，BQ你認為（2）中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關系和位置關系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由4.如圖1、圖2、圖3，AOB，COD均是等腰直角三角形，AOBCOD90，（1）在圖1中，AC與BD相等嗎，有怎樣的位置關系？請說明理由。（2）若COD繞點O順時針旋轉一定角度后，到達圖2的位置，請問AC與BD還相等嗎，還具有那種位置關系嗎？為什么？ （3）若COD繞點O順時針旋轉一定角度后，到達圖3的位置，請問AC與BD還相等嗎？還具有上問中的位置關系嗎？為什么？考點：旋轉的性質；全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形分析：（1

4、）根據(jù)等腰三角形的兩腰相等進行解答（2）證明DOBCOA，根據(jù)全等三角形的對應邊相等進行說明解答：解：（1）相等在圖1中，AOB，COD均是等腰直角三角形，AOB=COD=90，OA=OB，OC=OD，0A-0C=0B-OD，AC=BD；（2）相等在圖2中，0D=OC，DOB=COA，OB=OA，DOBCOA，BD=AC點評：本題考查了等腰三角形的性質、全等三角形的性質以及旋轉問題，在旋轉的過程中要注意哪些量是不變的，找出圖形中的對應邊與對應角5（2008河南）（9分）復習“全等三角形”的知識時，老師布置了一道作業(yè)題：“如圖，已知在ABC中，AB=AC，P是ABC內部任意一點，將AP繞A順時針

5、旋轉至AQ，使QAP=BAC，連接BQ、CP，則BQ=CP”小亮是個愛動腦筋的同學，他通過對圖的分析，證明了ABQACP，從而證得BQ=CP之后，將點P移到等腰三角形ABC之外，原題中的條件不變，發(fā)現(xiàn)“BQ=CP”仍然成立，請你就圖給出證明考點：全等三角形的判定與性質；等腰三角形的性質專題：證明題；探究型分析：此題的兩個小題思路是一致的；已知QAP=BAC，那么這兩個等角同時減去同一個角（2題是加上同一個角），來證得QAB=PAC；而根據(jù)旋轉的性質知：AP=AQ，且已知AB=AC，即可由SAS證得ABQACP，進而得出BQ=CP的結論解答：證明：（1）QAP=BAC，QAP-BAP=BAC-B

6、AP，即QAB=CAP；在BQA和CPA中， AQ=AP QAB=CAP AB=AC ，BQACPA（SAS）；BQ=CP（2）BQ=CP仍然成立，理由如下：QAP=BAC，QAP+PAB=BAC+PAB，即QAB=PAC；在QAB和PAC中， AQ=AP QAB=PAC AB=AC ，QABPAC（SAS），BQ=CP點評：此題主要考查了等腰三角形的性質以及全等三角形的判定和性質；選擇并利用三角形全等是正確解答本題的關鍵5（2009山西太原）將一張透明的平行四邊形膠片沿對角線剪開，得到圖中的兩張三角形膠片和且。將這兩張三角形膠片的頂點與頂點重合，把繞點順時針方向旋轉，這時與相交于點當旋轉至如

7、圖位置，點，在同一直線上時，與的數(shù)量關系是 當繼續(xù)旋轉至如圖位置時，（1）中的結論還成立嗎？AO與DO存在怎樣的數(shù)量關系？請說明理由考點：旋轉的性質；全等三角形的判定與性質專題：探究型分析：（1）根據(jù)外角的性質，得AFD=D+ABC，DCA=A+ABC，從而得出AFD=DCA；（2）成立由ABCDEF，可證明ABF=DEC則ABFDEC，從而證出AFD=DCA；（3）BOAD由ABCDEF，可證得點B在AD的垂直平分線上，進而證得點O在AD的垂直平分線上，則直線BO是AD的垂直平分線，即BOAD解答：解：（1）AFD=DCA（或相等）（2）AFD=DCA（或成立），理由如下：方法一：由ABCD

8、EF，得AB=DE，BC=EF（或BF=EC），ABC=DEF，BAC=EDFABC-FBC=DEF-CBF，ABF=DEC在ABF和DEC中， AB=DE ABF=DEC BF=EC ABFDEC，BAF=EDCBAC-BAF=EDF-EDC，F(xiàn)AC=CDFAOD=FAC+AFD=CDF+DCA，AFD=DCA方法二：連接AD同方法一ABFDEC，AF=DC由ABCDEF，得FD=CA在AFDDCA， AF=DC FD=CA AD=DA AFDDCA，AFD=DCA（3）如圖，BOAD方法一：由ABCDEF，點B與點E重合，得BAC=BDF，BA=BD點B在AD的垂直平分線上，且BAD=BD

9、AOAD=BAD-BAC，ODA=BDA-BDF，OAD=ODAOA=OD，點O在AD的垂直平分線上直線BO是AD的垂直平分線，BOAD方法二：延長BO交AD于點G，同方法一，OA=OD在ABO和DBO中， AB=DB BO=BO OA=OD ABODBO，ABO=DBO在ABG和DBG中， AB=DB ABG=DBG BG=BG ABGDBG，AGB=DGB=90BOAD點評：本題考查了三角形全等的判定和性質以及旋轉的性質，是基礎知識要熟練掌握例1 正方形ABCD中，E為BC上的一點，F(xiàn)為CD上的一點，BE+DF=EF，求EAF的度數(shù). 考點：旋轉的性質；全等三角形的判定與性質；正方形的性質

10、分析：延長EB使得BG=DF，易證ABGADF（SAS）可得AF=AG，進而求證AEGAEF可得EAG=EAF，再求出EAG+EAF=90即可解題解答：解：延長EB使得BG=DF，在ABG和ADF中，由 AB=AD ABG=ADF=90 BG=DF ，可得ABGADF（SAS），DAF=BAG，AF=AG，又EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE，AEGAEF（SSS），EAG=EAF，DAF+EAF+BAE=90EAG+EAF=90，EAF=45答：EAF的角度為45點評：本題考查了正方形各內角均為直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊、對應角相等的性質，本題中求證EA

11、G=EAF是解題的關鍵例2 D為等腰斜邊AB的中點，DMDN,DM,DN分別交BC,CA于點E,F。（1） 當繞點D轉動時，求證DE=DF。（2） 若AB=2，求四邊形DECF的面積?？键c：旋轉的性質；全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形專題：計算題分析：（1）連CD，根據(jù)等腰直角三角形的性質得到CD平分ACB，CDAB，A=45，CD=DA，則BCD=45，CDA=90，由DMDN得EDF=90，根據(jù)等角的余角相等得到CDE=ADF，根據(jù)全等三角形的判定易得DCEADF，即可得到結論；（2）由DCEADF，則SDCE=SADF，于是四邊形DECF的面積=SACD，由而AB=2可得CD=DA

12、=1，根據(jù)三角形的面積公式易求得SACD，從而得到四邊形DECF的面積解答：解：（1）連CD，如圖，D為等腰RtABC斜邊AB的中點，CD平分ACB，CDAB，A=45，CD=DA，BCD=45，CDA=90，DMDN，EDF=90，CDE=ADF，（圖1）（圖2）（圖3）在DCE和ADF中， DCE=DAF DC=DA CDE=ADF ，DCEADF，DE=DF；（2）DCEADF，SDCE=SADF，四邊形DECF的面積=SACD，而AB=2，CD=DA=1，四邊形DECF的面積=SACD=1 2 CDDA=1 2 點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等，即對應角相等，對應線段相等

13、，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角也考查了等腰直角三角形的性質以及全等三角形的判定與性質6、已知四邊形中，繞點旋轉，它的兩邊分別交（或它們的延長線）于當繞點旋轉到時（如圖1），易證當繞點旋轉到時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段，又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想，不需證明7（西城09年一模）已知:PA=,PB=4,以AB為一邊作 正方形ABCD,使P、D兩點落在直線AB的兩側.(1)如圖,當APB=45時,求AB及PD的長;(2)當APB變化,且其它條件不變時,求PD的最大值,及相應APB的大小.圖1 圖2 圖3（I）如圖1，當點M、N邊

14、AB、AC上，且DM=DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關系是 ； 此時 ； （II）如圖2，點M、N邊AB、AC上，且當DMDN時，猜想（I）問的兩個結論還成立嗎？寫出例8（2005年馬尾）用兩個全等的等邊三角形ABC和ACD拼成菱形ABCD.把一個含60角的三角尺與這個菱形疊合，使三角尺的60角的頂點與點A重合，兩邊分別與AB，AC重合.將三角尺繞點A按逆時針方向旋轉.（1）當三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD相交于點E，F(xiàn)時，（如圖131），通過觀察或測量BE，CF的長度，你能得出什么結論？并證明你的結論；（2）當三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD的延長線相交于點E，F(xiàn)時（如圖1

15、32），你在（1）中得到的結論還成立嗎？簡要說明理由.考點：菱形的性質；三角形的面積；全等三角形的判定與性質；旋轉的性質分析：（1）利用全等三角形的判定得出ABEACF即可得出答案；（2）根據(jù)已知可以得出BAE=CAF，進而求出ABEACF即可；（3）利用四邊形AECF的面積S=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC求出即可解答：解：（1）得出結論是：BE=CF，證明：BAC=EAF=60，BAC-EAC=EAF-EAC，即：BAE=CAF，又AB=AC，ABE=ACF=60， BAE=CAF AB=AC ABE=ACF ，ABEACF（ASA），BE=CF，（2）還成立，證明：BA

16、C=EAF=60，BAC+EAC=EAF+EAC，即BAE=CAF，又AB=AC，ABE=ACF=60，即 BAE=CAF AB=AC ABE=ACF ，ABEACF（ASA），BE=CF，（3）證明：ABEACF，SABE=SACF，四邊形AECF的面積S=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC；而SABC=1 2 S菱形ABCD，S=1 2 S菱形ABCD點評：此題主要考查了全等三角形的判定以及四邊形面積，熟練利用全等三角形判定求出是解題關鍵解：（1）BE=CF. 證明：在ABE和ACF中， BAE+EAC=CAF+EAC=60， BAE=CAF.AB=AC，B=ACF=60，A

17、BEACF（ASA）. BE=CF. （2）BE=CF仍然成立. 根據(jù)三角形全等的判定公理，同樣可以證明ABE和ACF8、兩個大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，B，C，E在同一條直線上，連結DC（1）請找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說明：結論中不得含有未標識的字母）；（2）證明：DCBE考點：全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形專題：證明題圖1圖2DCEAB分析：（1）此題根據(jù)ABC與AED均為等腰直角三角形，容易得到全等條件證明ABEACD；（2）根據(jù)（1）的結論和已知條件可以證明DCBE 解答：證明：（1）ABC與AED均為等腰直角三角形，A

18、B=AC，AE=AD，BAC=EAD=90BAC+CAE=EAD+CAE即BAE=CAD，在ABE與ACD中，AB=ACBAE=CADAE=ADABEACD（2）ABEACD，ACD=ABE=45又ACB=45，BCD=ACB+ACD=90DCBE點評：此題是一個實際應用問題，利用全等三角形的性質與判定來解決實際問題，關鍵是理解題意，得9、 正方形ABCD中，E為BC上的一點，F(xiàn)為CD上的一點，BE+DF=EF，求EAF的度數(shù). 考點：旋轉的性質；全等三角形的判定與性質；正方形的性質分析：延長EB使得BG=DF，易證ABGADF（SAS）可得AF=AG，進而求證AEGAEF可得EAG=EAF，

19、再求出EAG+EAF=90即可解題解答：解：延長EB使得BG=DF，在ABG和ADF中，由 AB=AD ABG=ADF=90 BG=DF ，可得ABGADF（SAS），DAF=BAG，AF=AG，又EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE，AEGAEF（SSS），EAG=EAF，DAF+EAF+BAE=90EAG+EAF=90，EAF=45答：EAF的角度為45點評：本題考查了正方形各內角均為直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊、對應角相等的性質，本題中求證EAG=EAF是解題的關鍵7、D為等腰斜邊AB的中點，DMDN,DM,DN分別交BC,CA于點E,F。當繞點D轉動時

20、，求證DE=DF。若AB=2，求四邊形DECF的面積。10、如圖，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，ABC=AED=90，求五邊形ABCDE的面積 考點：全等三角形的判定與性質專題：應用題分析：可延長DE至F，使EF=BC，可得ABCAEF，連AC，AD，AF，可將五邊形ABCDE的面積轉化為兩個ADF的面積，進而求出結論解答：解：延長DE至F，使EF=BC，連AC，AD，AF，AB=CD=AE=BC+DE，ABC=AED=90，CD=EF+DE=DF，在RtABC與RtAEF中， AB=AE ABC=AEF BC=EF RtABCRtAEF（SAS），AC=AF，在ACD與AFD中， A

21、C=AF CD=DF AD=AD ACDAFD（SSS），SABCDE=2SADF=21 2 DFAE=21 2 22=4點評：本題主要考查了全等三角形的判定及性質以及三角形面積的計算，應熟練掌握五、旋轉例1 正方形ABCD中，E為BC上的一點，F(xiàn)為CD上的一點，BE+DF=EF，求EAF的度數(shù). 將三角形ADF繞點A順時針旋轉90度，至三角形ABG則GE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AE，AF=AG，所以三角形AEF全等于AEG所以EAF=GAE=BAE+GAB=BAE+DAF又EAF+BAE+DAF=90所以EAF=45度 （1）如圖1，現(xiàn)有一正方形ABCD，將三角尺的指直角頂點放

22、在A點處，兩條直角邊也與CB的延長線、DC分別交于點E、F請你通過觀察、測量，判斷AE與AF之間的數(shù)量關系，并說明理由（2）將三角尺沿對角線平移到圖2的位置，PE、PF之間有怎樣的數(shù)量關系，并說明理由（3）如果將三角尺旋轉到圖3的位置，PE、PF之間是否還具有（2）中的數(shù)量關系？如果有，請說明理由如果沒有，那么點P在AC的什么位置時，PE、PF才具有（2）中的數(shù)量關系考點：正方形的性質；全等三角形的判定與性質專題：幾何綜合題分析：（1）證明ABEADF可推出AE=AF（2）本題要借助輔助線的幫助過點P作PMBC于M，PNDC于N，證明PMEPNF可推出PE=PF（3）PE、PF不具有（2）中的

23、數(shù)量關系當點P在AC的中點時，PE，PF才具有（2）中的數(shù)量關系解答：解：（1）如圖1，AE=AF理由：證明ABEADF（ASA）（2）如圖2，PE=PF理由：過點P作PMBC于M，PNDC于N，則PM=PN由此可證得PMEPNF（ASA），從而證得PE=PF（3）PE、PF不具有（2）中的數(shù)量關系當點P在AC的中點時，PE、PF才具有（2）中的數(shù)量關系考點：正方形的性質；全等三角形的判定與性質專題：幾何綜合題分析：（1）證明ABEADF可推出AE=AF（2）本題要借助輔助線的幫助過點P作PMBC于M，PNDC于N，證明PMEPNF可推出PE=PF（3）PE、PF不具有（2）中的數(shù)量關系當點P

24、在AC的中點時，PE，PF才具有（2）中的數(shù)量關系解答：解：（1）如圖1，AE=AF理由：證明ABEADF（ASA）（2）如圖2，PE=PF理由：過點P作PMBC于M，PNDC于N，則PM=PN由此可證得PMEPNF（ASA），從而證得PE=PF（3）PE、PF不具有（2）中的數(shù)量關系當點P在AC的中點時，PE、PF才具有（2）中的數(shù)量關系點評：本題考查的是正方形的性質以及全等三角形的判定例8（2005年馬尾）用兩個全等的等邊三角形ABC和ACD拼成菱形ABCD.把一個含60角的三角尺與這個菱形疊合，使三角尺的60角的頂點與點A重合，兩邊分別與AB，AC重合.將三角尺繞點A按逆時針方向旋轉.（

25、1）當三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD相交于點E，F(xiàn)時，（如圖131），通過觀察或測量BE，CF的長度，你能得出什么結論？并證明你的結論；（2）當三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD的延長線相交于點E，F(xiàn)時（如圖132），你在（1）中得到的結論還成立嗎？簡要說明理由.解：（1）BE=CF. 證明：在ABE和ACF中， BAE+EAC=CAF+EAC=60， BAE=CAF.AB=AC，B=ACF=60，ABEACF（ASA）. BE=CF. （2）BE=CF仍然成立. 根據(jù)三角形全等的判定公理，同樣可以證明ABE和ACF10、用兩個全等的等邊三角形ABC和ACD拼成菱形ABCD.把一個

26、含60角的三角尺與這個菱形疊合，使三角尺的60角的頂點與點A重合，兩邊分別與AB、AC重合.將三角尺繞點A按逆時針方向旋轉.（1）當三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD相交于點E、F時（如圖所示），通過觀察或測量BE、CF的長度，你能得出什么結論？并證明你的結論；（2）當三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD的延長線相交于點E、F時（如圖所示），你在（1）中得到的結論還成立嗎？說明理由。11已知AOB=90，AOB的平分線OM上有一點C，將一個三角板的直角頂點與點C重合，它的兩條直角邊分別與OA、OB或它們的反向延長線相交于D、E。當三角形繞點C旋轉到CD與OA垂直時（如圖1），易證：CD=CE當三角板繞點C旋轉到CD與OA不垂直時，在圖2圖3這兩種情況下，上述結論是否成立，請給予證明，若不成立，請寫出你的猜想，不需證明。3、如圖，正方形ABCD的邊長為1，G為CD邊上一動點（點G與C、D不重合）， 以C為一邊向正方形ABCD外作正方形GCEF，連接DE交BG的延長線于H。