40%20%20偏微分方程工具箱

1、 練習(xí) 40 偏微分方程工具箱 數(shù)學(xué)知識背景 與解常微分方程一樣，求解偏微分方程只有在一定條件下，才能得出其解析解。在工程數(shù)學(xué)計算中，經(jīng)常要求解偏微分方程。我們可以在一定初始條件和特殊情況下得到偏微分的數(shù)值解，對于一定形式的偏微分方程，MATLAB提供了求解對應(yīng)偏微分方程的工具包和相應(yīng)函數(shù)。 主要內(nèi)容本練習(xí)講述知識點 本練習(xí)主要考查在特定條件下求解偏微分方程的函數(shù)用法，而主要運用PDE（Partial Differential Equation）工具箱中的函數(shù)來求對偏微分方程進行求解。而PDE工具箱中，則主要提供了求解拋物線型、雙曲線型及本征型偏微分方程的函數(shù)。 練習(xí)過程（1） 求解拋物線型的

2、函數(shù)主要是parabolic,此函數(shù)主要是用有限元法求解拋物線型微分方程以及微分方程組，其用法為： u1= parabolic(u0,tlist,b,p,e,t,c,a,f,d) 網(wǎng)格參數(shù)主要為p、e和t,邊界條件b可以用矩陣形式也可以用m文件格式，主要依賴于時間t,方程參數(shù)c、a、d、f也可是時間的函數(shù)。Tlist是時間序列，可以在函數(shù)末加入誤差限來控制。對于標量形式的偏微分方程，函數(shù)返回值為一個矩陣。u1= parabolic(u0,tlist,K,F,B,ud,M)這個函數(shù)主要用于求解ODE問題，其中初值為u0。例：求熱傳導(dǎo)方程 求解的范圍為正方形區(qū)域： ，初值條件：當時，u(0)=1,

3、在其他條件下，u(0)=0。在命令區(qū)中鍵入下命令得：p,e, t=initmesh('squareg');p,e, t=refinemesh('squareg',p,e,t);u0=zeros(size(p,2),1);ix=find(sqrt(p(1,:).2+p(2,:).2)<0.4);u0(ix)=ones(size(ix);tlist=linspace(0,0.1,20);u1=parabolic(u0,tlist,'squareb1',p,e,t,1,0,1,1);求得的結(jié)果為：Time: 0.00526316Time: 0.0

4、105263Time: 0.0157895Time: 0.0210526Time: 0.0263158Time: 0.0315789Time: 0.0368421Time: 0.0421053Time: 0.0473684Time: 0.0526316Time: 0.0578947Time: 0.0631579Time: 0.0684211Time: 0.0736842Time: 0.0789474Time: 0.0842105Time: 0.0894737Time: 0.0947368Time: 0.196 successful steps0 failed attempts194 funct

5、ion evaluations1 partial derivatives20 LU decompositions193 solutions of linear systems即經(jīng)過了96步計算，失敗次數(shù)為0，194次的函數(shù)賦值，1次求偏導(dǎo)，20次求LU分解運算，193組線形系統(tǒng)的解。（2） 求解雙曲線型偏微分方程的主要函數(shù)是hyperbolic，它也是用有限元的方法來求解偏微分方程或者方程組，其用法為： u1=hyperbolic(u0,ut0,tlist,b,p,e,t,c,a,f,d) u0是初始值，網(wǎng)格參數(shù)為b、e、t,邊界條件b可用矩陣形式也可以用m文件格式，它依賴于時間，而方程系數(shù)c

6、、a、d、f也可以是時間的函數(shù)，可以對函數(shù)設(shè)置誤差限。 u1=hyperbolic(u0,ut0,tlist,K，F(xiàn)，B，ud，M)可以用于求解ODE問題，初值為u0。（3） 求解特征值主要用函數(shù)pdeeig，函數(shù)主要用有限元法來求解特征方程，其用法為： v,1=pdeeig(b,p,e,t,c,a,d,r)參數(shù)p、e、t描述區(qū)域，參數(shù)b描述邊界條件，r兩個元素的數(shù)組。所得結(jié)果中，v是特征向量矩陣，對于標量形式的特征值方程，v對應(yīng)于網(wǎng)格節(jié)點的特征值。 求解一般稀疏特征值問題的函數(shù)主要是sptarn，其主要用法是：xv,lmb,iresult=sptarn(a,b,lb,ub,spd,tolco

7、nv,jmax,maxmul)函數(shù)主要對特征多項式（在區(qū)間lb，ub上的特征值，A和B是稀疏矩陣，lb和ub分別是要求解的特征值的上界與下界。若要求解的是ub左邊的所有特征值，則可以令lb=-inf,若要求解的是lb右邊的所有特征值，則令ub=inf.對于窄區(qū)間，可以較快得到結(jié)果。在復(fù)數(shù)情況下，比較lmb、lb、ub的實數(shù)部分。Xv是特征向量，它的值使得判斷式（a*xv-b*xv*diag(lmb)）最小。Lmb是對應(yīng)的特征值，當iresult大于或者等于0時，可以進行求解并找到所有特征值，而當iresult小于0 時，則求解可能是不完全的，有可能有特征值未求出。如果特征值均為正值，則spd=

8、1，tolconv是期望的相對精度，缺省值為100*eps,這里dps為機器精度。Jmax是基向量的最大數(shù)目，求解中需要jmax*n的工作空間。Maxmul是Arnoldi運行次數(shù)，應(yīng)是所有特征值的倍數(shù)。例：求解方程：在L型區(qū)域上的小于100的特征值及其相應(yīng)的特征模態(tài)，命令窗口中演示有：p,e,t=initmesh('lshapeg');p,e,t=refinemesh('lshapeg',p,e,t);v,l=pdeeig('lshapeb',p,e,t,1,0,1,-Inf100);pdesurf(p,t,v(:,16)運行結(jié)果為： Basi

9、c=10, Time=0.65, New cov eig=0 Basic=19, Time=1.09, New cov eig=3Basic=28 , Time=1.59 , New cov eig=6Basic=37 , Time=2.25, New cov eig=9Basic=46 , Time= 3.07, New cov eig=13Basic= 55, Time=4.01 , New cov eig=27End of sweep: Basic= 55, Time= 4.01, New cov eig=27 Basic=37, Time=4.77, New cov eig=0 Bas

10、ic= 46 , Time= 5.54, New cov eig=0End of sweep: Basic=46, Time= 5.54, New cov eig=0(4)求解非線性偏微分方程可以用函數(shù)pdenonlin，其用法為：u，res=pdenonlin（b,p,e,t,c,a,f）這個函數(shù)主要用來求解非線性標量形式的偏微分方程，其中，c，a，f是依賴于u的函數(shù)，該函數(shù)主要用牛頓迭代法求解。在參數(shù)中，主要用于設(shè)置方程的迭代次數(shù)，迭代中止誤差或者初解等。例：求解最小表面積的問題，在命令框中輸入：g=circleg; b=circleb2; c=1./sqrt(1+ux.2);a=0; f=0; rtol=le-3; p,e,t=initmes