淺談如何提高數(shù)學(xué)解題能力

1、淺談如何提高數(shù)學(xué)解題能力教育學(xué)院04數(shù)本 勇解題能力的上下是衡量數(shù)學(xué)能力強弱的重要標志，提高學(xué)生解題能力是數(shù)學(xué)教育的主 要目標。“解題是數(shù)學(xué)的心臟。解數(shù)學(xué)問題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要環(huán)節(jié)和根本途徑。對待一個數(shù)學(xué)命題，首先需要考慮的是：探索解決它的途徑，給出它的嚴格證明或解 法?；蜃x懂前人已有的論證或解法中，常會受到某種啟迪，也可能從中總結(jié)出值得借鑒的 經(jīng)歷。但如果僅僅會讀、會證或會解，很難到達深入理解，更談不上靈活運用。數(shù)學(xué)是“思 維的體操，僅僅讀懂、會證、會解，能力的培養(yǎng)也只能停留在初級階段。可見，讀懂、會證、會解之后，還要繼續(xù)深入思考并作許多方面的探索。弄清問題的 來龍去脈，進而適當變換題目的形式

2、，如尋求多種證法、解法，以廣開思路，增強分析和 理解能力，為靈活運用奠定根底，再廣泛聯(lián)想，從橫向比照中挖掘出聯(lián)系，甚至由此發(fā)現(xiàn) 巧妙的解法我以為要提高數(shù)學(xué)解題能力，必須做到以下幾個方面：一、一題多解，廣開思路，培養(yǎng)思維的發(fā)散性。發(fā)散性思維是從某一點出發(fā)，不依常規(guī)，尋找變異進展放射性聯(lián)想，從多方面尋求答 案的思維。發(fā)散思維又叫求異思維，求異是創(chuàng)造的核心。所謂一題多解就是同一個題目，因思考的角度不同，可得到多種不同的思路，廣泛尋 求不同的解法，有助于拓寬解題思路，開展思維能力。一題多解有利于培養(yǎng)學(xué)生綜合運用 數(shù)學(xué)知識的能力，一題多解能使我們廣泛地、綜合的應(yīng)用根底知識，提高根本技能，更有 效的發(fā)揮邏

3、輯思維，提高全面分析問題的能力，找到最便捷的解題途徑，又能增強學(xué)習(xí)數(shù) 學(xué)的興趣。對于一個題目，尋求多種證法，即能廣開思路，以收培養(yǎng)發(fā)散思維，又可幫助我們加 深對問題的認識。因為不同的解法往往是從各自的側(cè)面，相異的渠道反映出條件與結(jié)論間 的聯(lián)系。解法的繁簡，實質(zhì)上又是聯(lián)系緊松、深淺的標志，而奇解、妙法那么是發(fā)現(xiàn)某種 新的聯(lián)系的反映。因而尋求多種解法或證法是培養(yǎng)能力的重要方面。例1、：如圖，在OO直徑 AB延長線上取一點C作CD切。0于E,連接AE并過點EADM證法1：連接BE由AB為直徑得/ AEB= 90oAB為OO直徑=之 AEB= 90o'/ AED# AEBy BEC= 180o

4、-注 AED# BEC= 90o、Z A=Z BEC 九 AED# AEF jEF± AB>Z AEF+Z A= 90o 丿證法2:連接OEEF± AB>Z AEF+Z A= 90o、CD為OO切線、»Z AEDZ AEG 90o注 AEDZ AEF >OE為半徑JOE=OAZ AEOZA丿證法3:延長EF交OO于M,連接AM,EF± AB=>EF=FM>xAB為OO直徑=>AM=AE>Z AEMZ M»Z AEMZAEDAF丄 MEZ AEDZ M 丿證法4:過點A作OO切線AD交CE延長線于DAF為

5、OO切線#D=DE>Z AEDZ DAEDE為OO切線-AD為OO 切線AEF# AED=>ADL ABf、AB為OO直徑=>AD/ EFnZAEF#AEDEF 丄 AB二、一題多變，應(yīng)機思索，培養(yǎng)思維的靈活性。對于一個數(shù)學(xué)題，解完后還應(yīng)考慮能否能一題多變，一題多變是題目結(jié)構(gòu)的變式，指變換題目的條件或結(jié)論，變換題目的形式，而題目的實質(zhì)不變，以便從不同角度不同方面 提醒題目的實質(zhì)。用這種方法考慮問題可隨時根據(jù)變化了解情況，積極進展探索，迅速提 出解決的方法，從而防止和消除呆板和僵化，培養(yǎng)思維的靈活性。一題多變可以改變條件, 保存結(jié)論；可以保存條件，改變結(jié)論；可以同時改變條件和結(jié)

6、論；也可以將某項條件和結(jié) 論對換。從一題多變中抓住問題的核心，提醒問題的根本原因，掌握問題的根本原因，是 數(shù)學(xué)思維得到訓(xùn)練和開展。例：如圖，PA切圓于A, PA=PB線段BCD是圓的割線，DP交圓于E，BE交圓于F，bP=PE PD、pe pbPD PD= peba pbd/ BPDM BPD 丿=/ 仁/D -=> / 仁/ F=BP/ CF/ D=/F -可將此題作如下幾種變化：1如果假設(shè)點A、P、B在一條直線上，其他條件不變圓求證結(jié)論 CF/ BP是否成立？證明過程同上。2、假設(shè)把CF/ BP換成條件，把PA=PB換成結(jié)論，所得題目是否成立?-3 - / 11證明：CF/ BP=

7、/ 仁ZF -|=>Z 仁ZDAZ F=Z D=>PBDZ 2=Z2= BP = PD = > BP二PE PD PE PB=> PA二PE PDAP=PB假設(shè)能這樣把題目演變，使題目由一道題變?yōu)橐活愵}，他們的解法彼此具有嚴密的聯(lián) 系，能起到舉一反三、逐類旁通的作用，而這正是思維靈活性得到形成的表達。三、多題一解、透表求里，培養(yǎng)思維的深刻性。解數(shù)學(xué)題時，經(jīng)常會遇到一些題目，外表上看互不相干，但實質(zhì)上結(jié)構(gòu)一樣，因而他 們可以用同一種方法解答，將這類題歸類分析，可透表與里，從而自覺注意到從本質(zhì)上看 問題，以形成思維的深刻性。例1如圖1:從C點測旗桿AB的仰角為30°

8、;,前進10米到點D,從點D測旗桿AB 的仰角為60°，求旗桿AB的長。例2、如圖2,圓形暗礁群半徑為4.8海里，在礁群中心有一燈塔 A,某船在點C處測 得燈塔在北偏東30處，前進10海里到D處，測得燈塔在北偏東30°處，問船繼續(xù)向東航 行，能否觸礁？例3、如圖3：山上有一鐵塔高10 米,從點A測得點C仰角為60°，點D仰角為30°,圖1圖2圖3分析：這三代題可用一種解法來解。D解法 1:如圖：I / ADBM C+Z CBD/ C=30 Z BDA=60Z CBD=60 -30° =30°Z C=Z CBD BD=CD=10AB在

9、Rt ABD中有 sin Z BDA=ABBD AB=BD sin Z BDA=10 sin60=5 43解法2 :設(shè)AB=xAD在 Rt ABD中有 cot Z BDA=ADAB AD=AB cot Z BDA3AD=x cot60。二x3在 Rt ABC中有tanC二 一x即 tan30 ° =x10 x10 x解得：x=5 3探求這些題目同一解法的過程中，實踐了從事物間一樣與變異矛盾的統(tǒng)一中認識事 物的本質(zhì)，可防止和減少外表性和絕對化毛病，從而形成思維的深刻性。四、尋找源頭，弄清問題的“來龍。數(shù)學(xué)的開展與社會的開展不同，即使缺乏資料，亦可從題目間的邏輯聯(lián)系去分析，去 推斷，倘假

10、設(shè)執(zhí)果尋因，聯(lián)系合情又合理，那么是成立的，因為實際的開展，有時難免走 彎路，而邏輯的必然聯(lián)系，比曲折的事實對我們更有啟迪，所以追溯源頭，對深鉆數(shù)學(xué)與 數(shù)學(xué)教學(xué)都很有必要，很有價值。例2:如圖，正方形 ABCD邊長為8，DB2,在AC上找一點P,使PM PE最小。分析：可看作的變形，而是八年級課本上的例題，要在I直線上找一點P使AP+PB最小，作A關(guān)于I對稱點C,連接BC交I于P點即可,中B于D關(guān)于AC對稱,連接BE 交AC于 P,那么P為所求點。五、變形推廣，看出問題的“去脈每年中考會上反復(fù)強調(diào)：“相當數(shù)量中考題都來源于課本的例題、習(xí)題或稍做改造、或拼合、或稍做提高。使常規(guī)題型、常見思路、常用

11、方法在試卷中占主導(dǎo)地位。即中考題目是對書此題目變形或由書本的題目組合而成，也有將書中題目與實際結(jié)合起來而編的。 為了適合中考的要求我們每做完一個題后應(yīng)考慮它能做哪些變化，或如何引申或可與那些 題目結(jié)合而成新的題目，以探究問題的去脈，從而到達將每個問題作以可能的延伸。從而 將所學(xué)的知識盡可能的推廣，使自己將知識學(xué)活，也可將題目與實際結(jié)合起來以加強解決 問題的能力。對于初學(xué)的學(xué)生，最忌陷入單純、枯燥的推理之中，如果能把某些推理與結(jié)論同生活 實際聯(lián)系起來，就會使初學(xué)者倍感親切又趣味無窮， 從而就會消除推理的枯燥，從而主動, 積極地去學(xué)好數(shù)學(xué)；如果一個有趣的題目，初看難如上青天，甚至疑心不可能解決，一

12、旦 得到解決，方法之妙又簡單出奇，令人拍案叫絕。這不僅激發(fā)了學(xué)生的極大興趣，又感到 數(shù)學(xué)之美。許多問題，單就題目的本身，往往很難弄清其中的奧秘，如果適當變形推廣， 就會豁然貫穿。例3、如圖：AB是OO的直徑,CD是弦，AE!CD于E， BF丄CD于 F變形過圓心0=>CM=MD丄CDAE! EF=>EM=MF ,證明：過圓心 0作OML EF于點M0M0MBF 丄 EF 、OML EF => AE / OM/ BF、OA=OB=>EM-CM=MF-MD =>EC=DF六、變形轉(zhuǎn)化，尋找問題的“去脈。唯物辯證法指出客觀事物是開展變化的，各事物間有種種聯(lián)系、各種矛盾在

13、一定條件 下可相互轉(zhuǎn)化，數(shù)學(xué)解題也不例外。轉(zhuǎn)化，是數(shù)學(xué)研究中克制難關(guān)的利器。如：初等變換在解幾何證明題能將比較復(fù)雜的 題目轉(zhuǎn)化得比較容易。轉(zhuǎn)化，還是數(shù)學(xué)重大發(fā)現(xiàn)的思維方法。如：解析幾何就是通過坐標，把幾何對象轉(zhuǎn)化 成數(shù)和方法，從而使眾多的幾何問題可用代數(shù)運算去統(tǒng)一解決，可以說，解析幾何這門重 要的數(shù)學(xué)分支，為“轉(zhuǎn)化樹立了一座榮耀奪目的豐碑。在解題中轉(zhuǎn)化更是廣為運用的法寶，面臨一些難題，或推理中遇到難關(guān)而一籌莫展時, 一旦找到適當?shù)霓D(zhuǎn)化，難關(guān)就會變成易行的大道；有時冗長的推導(dǎo)或復(fù)雜的演算令人頭痛, 倘假設(shè)找到巧妙的轉(zhuǎn)化，簡明的論證、簡練的演算又會讓人拍案叫絕；更多的時候，題目 的陌生，讓人不知如

14、何下手，一經(jīng)轉(zhuǎn)換而現(xiàn)其原貌，卻原來是我們已經(jīng)解過的題型。由此可見，轉(zhuǎn)化在解題過程中常能收到化難為易，以簡馭繁、變生為熟的效果，值得 我們?nèi)ツ》?、搜索，從而很好地掌握這一銳利的武器?？傊?，在解題過程中，我們既應(yīng)對未知結(jié)論或條件進展變形，尤應(yīng)善于對于各個問題 進展變形。另外熟悉化、簡單化和直觀化是一切轉(zhuǎn)化方法應(yīng)遵循的根本原那么，而轉(zhuǎn)化的 方向應(yīng)該是由未知向、由難向易、化繁為簡、從抽象到具體、化一般為特殊，同時又須由 特殊到一般。分析：將三個陰影旋轉(zhuǎn)在同一象限，那么它們之和是大面積的1/4，即S陰影二畀/4七、廣泛聯(lián)想一一妙法誕生之源。聯(lián)想是思維的一種形式，也是記憶的一種表現(xiàn)，是由一種事物想到另一事

15、物的心理過程?？陀^事物總是相互聯(lián)系的。具有不同聯(lián)系的事物反響在人腦中就形成了各種不同的聯(lián)想。在教育教學(xué)中應(yīng)用聯(lián)想，能使學(xué)生進一步了解數(shù)量關(guān)系，促進思維的靈活性，特別是 開展學(xué)生的創(chuàng)造性思維有很重要的作用。聯(lián)想是回憶舊知識發(fā)現(xiàn)新知識的重要手段，是聯(lián)系新舊問題的橋梁。在解題中是不可 缺少的心理活動，如缺乏聯(lián)想就不容易找到解題所需的定義、定理、公式、法那么與思想 方法，就難以建立題設(shè)條件與解題目標間的聯(lián)系，解題會遇到困難，可見，聯(lián)想在解題中 是十分重要的。聯(lián)想分為：接近聯(lián)想、類比聯(lián)想、關(guān)系聯(lián)想、逆向聯(lián)想、橫向聯(lián)想。在具體應(yīng)用時要 結(jié)合題目特點與前面學(xué)習(xí)的有關(guān)知識的聯(lián)系中靈活運用以上各種聯(lián)想解題。數(shù)學(xué)

16、是思維的體操，發(fā)現(xiàn)問題、探索思路，都是這項體操鍛煉的重要容，而發(fā)現(xiàn)、探 索都離不開廣泛的聯(lián)想。不管什么問題，只要有路可循，無論如何復(fù)雜、曲折，總可以到 達目的。最傷腦筋的那么是面對問題茫茫然，不知從何下手。其原因不外是遇到的題目， 其面貌與我們所學(xué)的知識、會做的題型相差懸殊，或與我們掌握的解題方法聯(lián)系不上，解 題之難，也就在于沒有一個普遍又行之有效的方法，去打破這無從下手的窘?jīng)r。這時不妨 跳出原來局限的圍，聯(lián)想到與之相近的知識或類似的問題，并著力去開掘它們在的聯(lián)系， 由此與彼，以收“他山之石，可以攻玉的效果，甚至聯(lián)想到與它的反面進展比照，相反 相成，受到有益的啟示。如此這般進展了聯(lián)想，就有可能

17、出現(xiàn)柳暗花明的局面。因此，當 我們面臨難題，百思不得其解時，廣泛的進展聯(lián)想，是值得一試的法寶。例5、如圖：E、F為四邊形ABCD邊AD與BC中點BA FE、CD的延長線分別交于H、G,且A吐CD求證：/ H=Z FGC分析：此題初看無法下手，但如果能想到將四邊形轉(zhuǎn)化為三角形與 見了中點想到中位線結(jié)合起來，此題就迎刃而解了。證明：連接AC，作EP/ DC交AC于P,連接PF。EP/ DC r=>AP=PCAE=EDEP=DC/2AE=DE 丿 EP / DC>Z PEFW FGC同理： PF/ AB 宀 H=Z EFPPE=ABPE=ABED=-DC mE=P3 PEF母FE2AB=

18、DC/ PEF=JFGC=>Z H=Z FGC/ H=Z EFP即使有好的解法，甚至多種解法，也不排斥還存在更好的方法。因此，廣泛的聯(lián)想，就有 助于我們做出新的發(fā)現(xiàn)。以上種種，是筆者借鑒書本和自己教學(xué)實踐中摸索出來的。實踐也證明，我的大膽嘗試結(jié)出了豐碩的果實，因此我把他編寫出來，和各位一起分享。當然學(xué)海無涯，教海亦無涯。我衷心的希望在以后的教學(xué)中與各位繼續(xù)努力，全面提高學(xué)生的解題能力探索出更加 快捷的解題方法。以上幾點是我在教學(xué)實踐中反復(fù)嘗試的結(jié)果，我深刻地認識到要提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問 題的能力，必須抓住學(xué)生思維核心培養(yǎng)，鍛煉學(xué)生思維的發(fā)散性、靈活性、深刻性和創(chuàng)造 性。抓住數(shù)學(xué)知識的在聯(lián)系，廣泛聯(lián)想，積極思考。在不斷的實踐中逐步提高分析問題， 解決問題的能力。教學(xué)實踐中我這樣做雖然取得了一些成績，收到了良好的效果，但提高 學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力是一個長期反復(fù)訓(xùn)練的過程，需要我問在今后的教學(xué)中堅持不懈的努力 與探索。參考文獻:1長明，周煥山?