時域采樣和頻域采樣

1、 實(shí)驗(yàn)二：時域采樣與頻域采樣1、 實(shí)驗(yàn)?zāi)康模簳r域采樣理論與頻域采樣理論是數(shù)字信號處理中的重要理論。要求掌握模擬信號采樣前后頻譜的變化，以及如何選擇采樣頻率才能使采樣后的信號不丟失信息；要求掌握頻率域采樣會引起時域周期化的概念，以及頻率域采樣定理及其對頻域采樣點(diǎn)數(shù)選擇的指導(dǎo)作用。二、實(shí)驗(yàn)原理與方法：1、時域采樣定理的要點(diǎn)：1）對模擬信號以間隔T進(jìn)行時域等間隔理想采樣，形成的采樣信號的頻譜是原模擬信號頻譜以采樣角頻率（）為周期進(jìn)行周期延拓。公式為： 2）采樣頻率必須大于等于模擬信號最高頻率的兩倍以上，才能使采樣信號的 頻譜不產(chǎn)生頻譜混疊。 利用計(jì)算機(jī)計(jì)算上式并不方便，下面我們導(dǎo)出另外一個公式，以便

2、用計(jì)算機(jī)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。 理想采樣信號和模擬信號之間的關(guān)系為 對上式進(jìn)行傅立葉變換，得到： 在上式的積分號內(nèi)只有當(dāng)時，才有非零值，因此 上式中，在數(shù)值上，再將代入，得到： 上式的右邊就是序列的傅立葉變換，即 上式說明理想采樣信號的傅立葉變換可用相應(yīng)的采樣序列的傅立葉變換得到，只要將自變量用代替即可。 2、頻域采樣定理的要點(diǎn)：a) 對信號x(n)的頻譜函數(shù)X(ej)在0，2上等間隔采樣N點(diǎn)，得到則N點(diǎn)IDFT得到的序列就是原序列x(n)以N為周期進(jìn)行周期延拓后的主值區(qū)序列，公式為： b) 由上式可知，頻域采樣點(diǎn)數(shù)N必須大于等于時域離散信號的長度M(即NM)，才能使時域不產(chǎn)生混疊，則N點(diǎn)IDFT得到的

3、序列就是原序列x(n),即=x(n)。如果N>M，比原序列尾部多N-M零點(diǎn)；如果N<M，z則=IDFT發(fā)生了時域混疊失真，而且的長度N也比x(n)的長度M短，因此。與x(n)不相同。 在數(shù)字信號處理的應(yīng)用中，只要涉及時域或者頻域采樣，都必須服從這兩個采樣理論的要點(diǎn)。 對比上面敘述的時域采樣原理和頻域采樣原理，得到一個有用的結(jié)論，這兩個采樣理論具有對偶性：“時域采樣頻譜周期延拓，頻域采樣時域信號周期延拓”。因此放在一起進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及步驟：1、時域采樣理論的驗(yàn)證：給定模擬信號， 式中A=444.128，=50，=50rad/s，它的幅頻特性曲線如圖2.1 圖2.1 的幅頻特性

4、曲線現(xiàn)用DFT(FFT)求該模擬信號的幅頻特性，以驗(yàn)證時域采樣理論。安照的幅頻特性曲線，選取三種采樣頻率，即=1kHz，300Hz，200Hz。觀測時間選。為使用DFT，首先用下面公式產(chǎn)生時域離散信號，對三種采樣頻率，采樣序列按順序用，表示。 因?yàn)椴蓸宇l率不同，得到的，的長度不同， 長度（點(diǎn)數(shù)）用公式計(jì)算。選FFT的變換點(diǎn)數(shù)為M=64，序列長度不夠64的尾部加零。X(k)=FFTx(n) ， k=0,1,2,3,-,M-1式中k代表的頻率為 。要求： 編寫實(shí)驗(yàn)程序，計(jì)算、和的幅度特性，并繪圖顯示。觀察分析頻譜混疊失真。2、頻域采樣理論的驗(yàn)證給定信號如下： 編寫程序分別對頻譜函數(shù)在區(qū)間上等間隔采

5、樣32和16點(diǎn)，得到： 再分別對進(jìn)行32點(diǎn)和16點(diǎn)IFFT，得到： 分別畫出、的幅度譜，并繪圖顯示x(n)、的波形，進(jìn)行對比和分析，驗(yàn)證總結(jié)頻域采樣理論。提示：頻域采樣用以下方法容易變程序?qū)崿F(xiàn)。 直接調(diào)用MATLAB函數(shù)fft計(jì)算就得到在的32點(diǎn)頻率域采樣 抽取的偶數(shù)點(diǎn)即可得到在的16點(diǎn)頻率域采樣，即。 當(dāng)然也可以按照頻域采樣理論，先將信號x(n)以16為周期進(jìn)行周期延拓，取其主值區(qū)（16點(diǎn)），再對其進(jìn)行16點(diǎn)DFT(FFT),得到的就是在的16點(diǎn)頻率域采樣。4 實(shí)驗(yàn)程序：實(shí)驗(yàn)一：%= close all;clear all;clc;Tp=64/1000; %觀察時間Tp=64微秒%產(chǎn)生M長采

6、樣序列x(n)% Fs=1000;T=1/Fs; Fs=1000;T=1/Fs;M=Tp*Fs;n=0:M-1;A=444.128;alph=pi*50*20.5;omega=pi*50*20.5;xnt=A*exp(-alph*n*T).*sin(omega*n*T);Xk=T*fft(xnt,M); %M點(diǎn)FFTxnt)yn='xa(nT)'subplot(3,2,1);tstem(xnt,yn); %調(diào)用自編繪圖函數(shù)tstem繪制序列圖box on;title('(a) Fs=1000Hz');k=0:M-1;fk=k/Tp;subplot(3,2,2);

7、plot(fk,abs(Xk);title('(a) T*FTxa(nT),Fs=1000Hz');xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度');axis(0,Fs,0,1.2*max(abs(Xk)%= % Fs=300Hz和 Fs=200Hz的程序與上面Fs=1000Hz完全相同。實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析：由圖可見，采樣序列的頻譜的確是以采樣頻率為周期對模擬信號頻譜的周期延拓。當(dāng)采樣頻率為1000Hz時頻譜混疊很??；當(dāng)采樣頻率為300Hz時，在折疊頻率150Hz附近頻譜混疊很嚴(yán)重；當(dāng)采樣頻率為200Hz時，在折疊頻率110Hz附近頻譜混疊更很

8、嚴(yán)重。 由實(shí)驗(yàn)圖像可以看出，時域非周期對應(yīng)著頻域連續(xù)。對連續(xù)時間函數(shù)對采樣使其離散化處理時，必須滿足時域采樣定理的要求，否則，必將引起頻域的混疊。要滿足要求信號的最高頻率Fc不能采樣頻率的一半（Fs/2），不滿足時域采樣定理，頻率將會在=附近或者f=Fs/2混疊而且混疊得最嚴(yán)重。 實(shí)驗(yàn)二：%=close all;clear all;clc;M=27;N=32;n=0:M;%產(chǎn)生M長三角波序列x(n)xa=0:floor(M/2); xb= ceil(M/2)-1:-1:0; xn=xa,xb;Xk=fft(xn,1024); %1024點(diǎn)FFTx(n), 用于近似序列x(n

9、)的TFX32k=fft(xn,32) ;%32點(diǎn)FFTx(n)x32n=ifft(X32k); %32點(diǎn)IFFTX32(k)得到x32(n)X16k=X32k(1:2:N); %隔點(diǎn)抽取X32k得到X16(K)x16n=ifft(X16k,N/2); %16點(diǎn)IFFTX16(k)得到x16(n)subplot(3,2,2);stem(n,xn,'.');box ontitle('(b) 三角波序列x(n)');xlabel('n');ylabel('x(n)');axis(0,32,0,20)k=0:1023;wk=2*k/10

10、24; subplot(3,2,1);plot(wk,abs(Xk);title('(a)FTx(n)');xlabel('omega/pi');ylabel('|X(ejomega)|');axis(0,1,0,200)k=0:N/2-1;subplot(3,2,3);stem(k,abs(X16k),'.');box ontitle('(c) 16點(diǎn)頻域采樣');xlabel('k');ylabel('|X_1_6(k)|');axis(0,8,0,200)n1=0:N/2-1;

11、subplot(3,2,4);stem(n1,x16n,'.');box ontitle('(d) 16點(diǎn)IDFTX_1_6(k)');xlabel('n');ylabel('x_1_6(n)');axis(0,32,0,20)k=0:N-1;subplot(3,2,5);stem(k,abs(X32k),'.');box ontitle('(e) 32點(diǎn)頻域采樣');xlabel('k');ylabel('|X_3_2(k)|');axis(0,16,0,200)n

12、1=0:N-1;subplot(3,2,6);stem(n1,x32n,'.');box ontitle('(f) 32點(diǎn)IDFTX_3_2(k)');xlabel('n');ylabel('x_3_2(n)');axis(0,32,0,20)實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析：該圖驗(yàn)證了頻域采樣理論和頻域采樣定理。對信號x(n)的頻譜函數(shù)X(ej)在0，2上等間隔采樣N=16時， N點(diǎn)IDFT得到的序列正是原序列x(n)以16為周期進(jìn)行周期延拓后的主值區(qū)序列：由于N<M，所以發(fā)生了時域混疊失真，因此。與x(n)不相同，如圖圖3.3(c)和(d)所示。當(dāng)N=32時，如圖圖3.3(c)和(d)所示，由于N>M，頻域采樣定理，所以不存在時域混疊失真，因此。與x(n)相同。由實(shí)驗(yàn)內(nèi)容2的結(jié)果可知，對一個信號的頻譜進(jìn)行采樣處理時，必須嚴(yán)格遵守頻域采樣定理，否則，用采樣的離散頻譜恢復(fù)原序列信號時，所得的時域離散序列是混疊失真，得不到原序列。5 思考題： 如果序列x(n)的長度為M，希