一元二次方程解不等式根的分布

1、一元二次方程、解不等式、根的分布例1：解下列方程：（1）（2）（3）（4）（注意：對參數(shù)要分類討論）例2：解不等式：（1）（2）（3）（4）解：原不等式可以化為：若即則或若即則 若即則或例3：關于x的不等式的解集為求關于x的不等式的解集解：由題設且， 從而 可以變形為即： 例4：關于x的不等式 對于恒成立，求a的取值范圍。解：當a>0時不合； 當a=0也不合必有： 例5：若函數(shù)的定義域為R，求實數(shù)k的取值范圍。解：顯然k=0時滿足 而k<0時不滿足k的取值范圍是0,1例6：設函數(shù)f(x)=，已知f(a)1，則a的取值范圍是( )A.(，2)(，+)B.(，)C.(，2)(，1)D.

2、(2，)(1，+)例7：設不等式x22ax+a+20的解集為M，如果M1，4，求實數(shù)a的取值范圍。命題意圖：考查二次不等式的解與系數(shù)的關系及集合與集合之間的關系，屬級題目.知識依托：本題主要涉及一元二次不等式根與系數(shù)的關系及集合與集合之間的關系，以及分類討論的數(shù)學思想.錯解分析：M=是符合題設條件的情況之一，出發(fā)點是集合之間的關系考慮是否全面，易遺漏；構造關于a的不等式要全面、合理，易出錯.技巧與方法：該題實質上是二次函數(shù)的區(qū)間根問題，充分考慮二次方程、二次不等式、二次函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系是關鍵所在；數(shù)形結合的思想使題目更加明朗.解：M1，4有n種情況：其一是M=，此時0；其二是M，此時0，分三

3、種情況計算a的取值范圍.設f(x)=x2 2ax+a+2，有=(2a)2(4a+2)=4(a2a2)(1)當0時，1a2，M=1，4(2)當=0時，a=1或2.當a=1時M=11，4；當a=2時，m=21，4.(3)當0時，a1或a2.設方程f(x)=0的兩根x1，x2，且x1x2，那么M=x1，x2，M1，41x1x24即，解得：2a，M1，4時，a的取值范圍是(1，.課后作業(yè)：1設集合P=m|1m0，Q=mR|mx2+4mx40對任意實數(shù)x恒成立，則下列關系中成立的是（ ）APQBQPCP=QDPQ=Q解：Q=mR|mx2+4mx40對任意實數(shù)x恒成立，對m分類：m=0時，40恒成立；m0

4、時，需=（4m）24×m×（4）0，解得m0。綜合知m0，Q=mR|m0。答案為A。2解不等式loga(1)1解：(1)當a1時，原不等式等價于不等式組由此得1a.因為1a0，所以x0，x0.(2)當0a1時，原不等式等價于不等式組： 由 得x1或x0，由得0 x，1x.綜上，當a1時，不等式的解集是x|x0，當0a1時，不等式的解集為x|1x.3解關于x的不等式：(x-x2+12)(x+a)<0.4已知關于x的方程sin2x+2cosx+a=0有解，則a的取值范圍是_。解析：原方程可化為cos2x2cosxa1=0，令t=cosx，得t22ta1=0，原問題轉化為方

5、程t22ta1=0在1，1上至少有一個實根.令f(t)=t22ta1，對稱軸t=1，畫圖象分析可得解得a2，2.答案：2，25. 若不等式對于一切成立，則的取值范圍. 6已知函數(shù)f(x)=x2+px+q，對于任意R，有f(sin)0，且f(sin+2)2.(1)求p、q之間的關系式；(2)求p的取值范圍；(3)如果f(sin+2)的最大值是14，求p的值.并求此時f(sin)的最小值.解：(1)1sin1，1sin+23，即當x1，1時，f(x)0，當x1，3時，f(x)0，當x=1時f(x)=0.1+p+q=0，q=(1+p)(2)f(x)=x2+px(1+p)，當sin=1時f(1)0，1

6、p1p0，p0(3)注意到f(x)在1，3上遞增，x=3時f(x)有最大值.即9+3p+q=14，9+3p1p=14，p=3.此時，f(x)=x2+3x4，即求x1，1時f(x)的最小值.又f(x)=(x+)2，顯然此函數(shù)在1，1上遞增.當x=1時f(x)有最小值f(1)=134=6.7設f(x)=3ax,f(0)0，f(1)0，求證：()a0且-2-1；()方程f(x)=0在（0，1）內(nèi)有兩個實根.證明：（1）因為，所以，由條件，消去，得；由條件，消去，得，故（2）拋物線的頂點坐標為故的兩邊乘以，得又因為，而，所以方程在區(qū)間與內(nèi)分別有一實根，故方程在內(nèi)有兩個實根8已知集合，若，求實數(shù)的取值范

7、圍解：設，它的圖象是一條開口向上的拋物線（1）若，滿足條件，此時，即，解得；（2）若，設拋物線與軸交點的橫坐標為，且，欲使，應有，結合二次函數(shù)的圖象，得即解得綜上可知的取值范圍是點評：本題是一元二次不等式與集合結合的綜合題，考查含參數(shù)一元二次不等式的解法，注意分類討論思想的應用，分類時做到不遺漏。解不等式,()分析：利用絕對值不等式與分式不等式的基本解法進行求解。解： 原不等式等價于移項，通分得 由已知，所以解得；解得或 故原不等式的解集為 已知,關于的不等式: 恒成立，求分析：是已知參數(shù)的范圍,解不等式問題.由于給出了參數(shù)的范圍,我們可以把已知不等式改寫為以為主變量的不等式 解： 變?yōu)?記,

8、由于是關于的一次函數(shù),它的圖象是一條線段,因此,只要它的兩個端點的函數(shù)值小于零,則整條線段在軸的下方,于是, 關于的不等式 的解等價于解得 于是 .注：在解含有參數(shù)的不等式的時候,如果沒有給出參數(shù)的范圍,則要對參數(shù)進行分類討論,如果給出參數(shù)的范圍,則可以把參數(shù)看作主變量,進行研究。作業(yè)布置：1. 解關于x的不等式：（1）；思路將二次項系數(shù)化“+”為：(x2-x-12)(x+a)>0，相應方程的根為：-3，4，-a，現(xiàn)a的位置不定，應如何解？要用串根法解此不等式，需將這三個根按從小到大的順序在數(shù)軸上排列。因此要分類討論它們的大小。解題當-a>4，即a<-4時，各根在數(shù)軸上的分布

9、及穿線如下：原不等式的解集為x| -3<x<4或x>-a.當-3<-a<4，即-4<a<3時，各根在數(shù)軸上的分布及穿線如下：原不等式的解集為x| -3<x<-a或x>4.當-a<-3，即a>3時，各根在數(shù)軸上的分布及穿線如下：原不等式的解集為x| -a<x<-3或x>4.0當-a=4，即a=-4時，各根在數(shù)軸上的分布及穿線如下：原不等式的解集為x| x>-3.當-a=-3，即a=3時，各根在數(shù)軸上的分布及穿線如下：原不等式的解集為x| x>4.（2）；解：(1)當a1時，原不等式等價于不等式組

10、由此得1a.因為1a0，所以x0，x0.(2)當0a1時，原不等式等價于不等式組： 由 得x1或x0，由得0 x，1x.綜上，當a1時，不等式的解集是x|x0，當0a1時，不等式的解集為x|1x.（3）；（4）；（5）；思路1）可將分式不等式移項通分化為>0(或<0)的形式，轉化為：，即轉化為一次、二次或特殊高次不等式形式 .2）（序軸標根法）作數(shù)軸、標根、畫曲線、定解，解題 x+10x·(x1)(x+1)(x+2)(x+5)0，且x1、2，由圖可知，原不等式的解集為：x|x5或2x1或0x1收獲（1）在某一區(qū)間內(nèi)，一個式子是大于0（還是小于0）取決于這個式子的各因式在此

11、區(qū)間內(nèi)的符號；而區(qū)間的分界線就是各因式的根；上述的序軸標根法，幾乎可以使用在所有的有理分式與高次不等式；（2）序軸標根法，分解因式后，必須使各括號內(nèi)的系數(shù)為正。（3）若分式不等式有等號，則解集中應包括分子的根，但不包括分母的根。.（6）。2已知為方程的兩根，求：（1）；（2）。(用韋達定理)（略）3. 若不等式對于一切成立，求a的取值范圍。4已知關于x的方程有解，求a的取值范圍。解析 原方程可化為cos2x2cosxa1=0，令t=cosx，得t22ta1=0，原問題轉化為方程t22ta1=0在1，1上至少有一個實根 令f(t)=t22ta1，對稱軸t=1，畫圖象分析可得解得a2，2 補充：不等式的恒成立,能成立,恰成立等問題如何解不等式的恒成立、能成立、恰成立問題呢?它的操作程序如下：1.恒成立問題若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于函數(shù)在區(qū)間上的最小值大于,若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于函數(shù)在區(qū)間上的最大值小于.2. 能成立問題若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,即在區(qū)間上能成立, ,則等價于函數(shù)在區(qū)間上的最大值大于,若在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,即在區(qū)間上能成立, ,則等價于函數(shù)在區(qū)間上的最小值小于.3. 恰成立問題若不等式在區(qū)間上恰成立, 則等價于不等式的解集為.若不等式在區(qū)間上恰成立, 則等價于不等式的解集為,例9：(2005年春考，北京卷