1找出數(shù)列的排列規(guī)律(一)(含答案)-

1、奧數(shù)專題找出數(shù)列的排列規(guī)律（一）找規(guī)律是我們在生活、學習、工作中經(jīng)常使用的一種思想方法，在解數(shù)學題時人們也常常使用它，下面我們利用找規(guī)律的方法來解一些簡單的數(shù)列問題。（一）思路指導例 1. 在下面數(shù)列的（ ）中填上適當?shù)臄?shù)。1，2，5，10，17，（ ），（ ）， 50分析與解：這個數(shù)列的排列規(guī)律是什么？我們逐項分析：第一項是：1第二項是：2211第一項1第三項是：5523第二項3第四項是：10105 5第三項5可以看出，這個數(shù)列從第二項起，每一項都等于它的前一項依次分別加上單數(shù)1， 3，5, 7, 9，這樣我們就可以由第五項算出括號內(nèi)的數(shù)了，即：第一個括號里應填17 9 26；第 2 個括號

2、里應填26 11 37。例 2. 自 1 開始,每隔兩個整數(shù)寫出一個整數(shù),這樣得到一個數(shù)列：1 , 4, 7, 10問：第 100 個數(shù)是多少？分析與解：這個題由于數(shù)太多，很難像例 1 那樣遞推，我們可以換一種思路： 數(shù)列中每相鄰兩個數(shù)的差都是 3，我們把這樣的數(shù)列叫做等差數(shù)列。我們把“ 3”叫做 這個等差數(shù)列的公差。觀察下面的數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它們的公差是幾？（1）2, 3, 4, 5, 6, 7（2）5, 10, 15, 20, 25, 30（3）1, 2, 4, 8, 16（4）12 , 14 , 16 , 18 , 20現(xiàn)在我們結(jié)合例 2 找一找每一項與第一項 公差有什么關(guān)系？

3、第 1 項是 1，第二項比第一項多 3，第三項比第一項多 2 個 3 ，第四項比第一項多 3 個 3 , 依次類推，第 100 項就比第一項多 99 個 3 ,所以第 100 個數(shù)是1 100 1 3 298。由此我們可以得出這樣的規(guī)律：等差數(shù)列的任一項都等于：第一項+（這項的項數(shù)一 1）x公差我們把這個公式叫做等差數(shù)列的通項公式。利用通項公式可以求出等差數(shù)列的任一 項。試試看：你能求出數(shù)列 3, 5, 7, 9中的第 92 個數(shù)是多少嗎？例 3.已知一列數(shù)：2, 5, 8, 11, 14,44,，問：44 是這列數(shù)中的第幾個數(shù)？ 分析與解：顯然這是一個等差數(shù)列，首項（第一項）是2，公差是 3

4、。我們觀察數(shù)列中每一個數(shù)的項數(shù)與首項 2，公差 3 之間有什么關(guān)系？以首項 2 為標準，第二項比 2 多 1 個 3，第三項比首項多 2 個 3，第四項比首項多 3 個 3,44比首項 2 多 42,多 14 個 3，所以 44 應排在這個數(shù)列中的第 15 個數(shù)。由此可得，在等差數(shù)列中，每一項的項數(shù)都等于：（這一項一首項）十公差+1這個公式叫做等差數(shù)列的項數(shù)公式，利用它可以求出等差數(shù)列中任意一項的項數(shù)。 試試看：數(shù)列7, 11, 15,195,共有多少個數(shù)？例 4. 觀察下面的序號和等式，填括號。序號等式1123623 5715358112447111533（分析與解：表中等式的第）1 個加數(shù)

5、是( )+()+7983=()2，第二個1,3,5,7,9,是一個等差數(shù)列，公差是加數(shù)也是一個等差數(shù)列，公差是3， 第三個加數(shù)也是一 個等差數(shù)列，公差是4 ，和同樣是一個等差數(shù)列，公差是 9。由于第三個加數(shù)的最后一項是 7983，可以根據(jù)等差數(shù)列的項數(shù) 公式求出7983 是 3 , 7 , 11 , 15這個等差數(shù)列的第幾項，也就是序號。7983 3 4 1 1996。這樣我們就可以分別求出各個等差數(shù)列的第 1996 項是多少了，利用通項公式：1199612399121996135987619961917961綜上所述，括號里應填的數(shù)是：(1996)(3991) + ( 5987)+ 7983

6、=( 17961)例 5.已知數(shù)列 1, 4, 3, 8, 5, 12 , 7, 16,，問：這個數(shù)列中第 1997 個數(shù)是多少? 第 2000 個數(shù)呢？分析與解： 從整體觀察不容易發(fā)現(xiàn)它的排列規(guī)律,注意觀察這個數(shù)列的單數(shù)項和雙數(shù) 項,它們各自的排列規(guī)律為：單數(shù)項：1, 3, 5, 7,雙數(shù)項：4, 8, 12, 16, 顯然，它們各自均成等差數(shù)列。為了求出這個數(shù)列中第 1997 個數(shù)和第 2000 個數(shù)分別是多少，必須先求出它們各自在 等差數(shù)列中的項數(shù)，其中：第 1997 個數(shù)在等差數(shù)列 1, 3, 5, 7,中是第(1997 1) 2 999個數(shù)；第 2000 個數(shù)在等差數(shù)列 4, 8,

7、12, 16,中是第200021000 個數(shù)。所以，第 1997 個數(shù)是1999 121997。第 2000 個數(shù)是41000144000答題時間： 40 分鐘二)嘗試體驗1. 按規(guī)律填數(shù)。1) 1，2，4，( )， 16；2) 1，4，9， 16，( )，36，49；3) 0，3，7， 12，( )，25，33；4) 1，1，2， 3，5，8，()， 21 ，34；5) 2，7，22， 64， 193，() 。2. 數(shù)列 3, 6, 9, 12, 15,387 共有多少個數(shù)？其中第50 個數(shù)是多少？3. 有數(shù)組(1,1 , 1),(2, 4, 8),(3, 9, 27),，求第 100 組的

8、三個數(shù)之和。4. 下面各列數(shù)中都有一個“與眾不同”的數(shù)，請將它們找出來：(1) 6, 12, 3, 27, 21, 10, 15, 30,;(2) 2, 3, 5, 8, 12, 16, 23, 30,。試題答案】二）嘗試體驗1. 按規(guī)律填數(shù)。(1) 1，2，4，( )， 16；( 2)1，4，9，16，( )，36，49；( 3)0，3，7， 12，( )，25，33；( 4)1，1，2， 3，5，8，（）， 21， 34；( 5)2，7，22， 64， 193，() 。答案：(1)后一個數(shù)是前一個數(shù)的2倍：1，2，4，（ 8），16；（2）從 1 開始自然數(shù)的平方數(shù)： 1，4，9，16，（

9、25）， 36，49；（3）相鄰兩個數(shù)的差是逐漸增加的：0，3，7，12，（ 18）， 25，33；（4）前兩個數(shù)之和等于后面的數(shù)：1， 1， 2， 3， 5， 8，（ 13）， 21，34；（5）后一個數(shù)總是前一個數(shù)的3 倍多 1：2，7，22，64，193，（ 580）。2. 數(shù)列 3, 6, 9, 12, 15,387 共有多少個數(shù)？其中第 50 個數(shù)是多少？387 3 3 1 1293 50 1 3 150答：共有 129 個數(shù),其中第 50 個數(shù)是 150。3. 有數(shù)組（1,1 , 1）, （2, 4, 8）,（3, 9, 27）,，求第 100 組的三個數(shù)之和。每組第 1 個數(shù)是按自然數(shù)順序排列的，公差是 1 的等差數(shù)列每組第 2 個數(shù)是平方數(shù)每組第 3 個數(shù)是立方數(shù)23第 100 組的三個數(shù)之和是100 1002100310101004. 下面各列數(shù)中都有一個“與眾不同”的數(shù)，請將它們找出來：（1）6, 12, 3, 27, 21, 10, 15, 30,;（2）2,