初三數(shù)學解直角三角形的應(yīng)用題

1、解直角三角形應(yīng)用題考點一、直角三角形的性質(zhì) 1、直角三角形的兩個銳角互余可表示如下：C=90°A+B=90°2、在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。 A=30°可表示如下： BC=AB C=90°3、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 ACB=90° 可表示如下： CD=AB=BD=AD D為AB的中點4、勾股定理直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即5、攝影定理在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的攝影的比例中項，每條直角邊是它們在斜邊上的攝影和斜邊的比例中項ACB=90° CDA

2、B 6、常用關(guān)系式由三角形面積公式可得：ABCD=ACBC考點二、直角三角形的判定 （35分） 1、有一個角是直角的三角形是直角三角形。2、如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a，b，c有關(guān)系，那么這個三角形是直角三角形?？键c三、銳角三角函數(shù)的概念 （38分） 1、如圖，在ABC中，C=90° 銳角A的對邊與斜邊的比叫做A的正弦，記為sinA，即銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做A的余弦，記為cosA，即銳角A的對邊與鄰邊的比叫做A的正切，記為tanA，即銳角A的鄰邊與對邊的比叫做A的余切，記為cotA，即2、銳角三角函數(shù)的

3、概念銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做A的銳角三角函數(shù)3、一些特殊角的三角函數(shù)值三角函數(shù) 0° 30° 45° 60° 90°sin01cos10tan01不存在cot不存在10（3）倒數(shù)關(guān)系tanAtan(90°A)=1（4）弦切關(guān)系tanA=4、各銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系（1）互余關(guān)系sinA=cos(90°A)，cosA=sin(90°A)tanA=cot(90°A)，cotA=tan(90°A)（2）平方關(guān)系5、銳角三角函數(shù)的增減性當角度在0°90°之間變化時，（1）

4、正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?）余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?）正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?）余切值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅┛键c四、解直角三角形 （35） 1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和兩個銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形。2、解直角三角形的理論依據(jù)在RtABC中，C=90°，A，B，C所對的邊分別為a，b，c（1）三邊之間的關(guān)系：（勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：A+B=90°（3）邊角之間的關(guān)系：初三數(shù)學解

5、直角三角形的應(yīng)用 知識精講【同步教育信息】一. 本周教學內(nèi)容： 解直角三角形的應(yīng)用學習目標 1. 了解解直角三角形在測量及幾何問題中的應(yīng)用。 2. 掌握仰角、俯角、坡度等概念，并會解有關(guān)問題。 3. 會用直角三角形的有關(guān)知識解決某些簡單實際問題。二. 重點、難點： 1. 仰角、俯角 在進行測量時，視線與水平線所成角中，規(guī)定：視線在水平線上方的叫做仰角。 視線在水平線下方的叫做俯角。 2. 坡度 坡面的鉛直高度h和水平寬度L的比叫做坡度（或叫坡比），用字母i表示，即。 如果把坡面與水平面的夾角記作（叫做坡角），那么。 3. 直角三角形在實際問題中的應(yīng)用 在解決實際問題時，解直角三角形有著廣泛的作

6、用。具體來說，要求我們善于將某些實際問題中的數(shù)量關(guān)系歸結(jié)為直角三角形的邊，角之間的關(guān)系，這樣就可運用解直角三角形的方法了。教學難點 運用解直角三角形的知識，結(jié)合實際問題示意圖，正確選擇邊角關(guān)系，解決實際問題?！镜湫屠}】 例1. “曙光中學”有一塊三角形形狀的花圃ABC，現(xiàn)可直接測量到A=30°，AC=40米，BC=25米，請你求出這塊花圃的面積。 解：分兩種情況計算 （1）如圖1，過C作CDAB于D，則圖1 ，故（米2） （2）如圖2，過C作CDAB且交AB的延長線于D，圖2 由（1）可得CD=20，所以 （米2） 點撥：通過作高，把解某些斜三角形的問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題。

7、例2. 某片綠地的形狀如圖3所示，其中A=60°，ABBC，ADCD，AB=200m，CD=100m，求AD、BC的長。（精確到1m，）圖3 解：延長AD，交BC的延長線于點E，可構(gòu)成兩個直角三角形， 在RtABE中，A=60°，AB=200m (m) 在RtCDE中，CED=30°，CD=100m 點撥：其他四邊形，如平行四邊形，梯形等，常通過作高實現(xiàn)多邊形向直角三角形轉(zhuǎn)化。 例3. 如圖4所示，某電視塔AB和樓CD的水平距離為100米，從樓頂C處及樓底D處測得塔頂A的仰角分別為45°和60°，試求塔高和樓高。圖4 （精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)

8、：） 解：在RtADB中， ADB=60°，DB=100m， 在ACE中，ACE=45° AE=CE=100 答：電視塔高是173.2m，樓高是73.2m。 點撥：搞清仰角、俯角等概念，同時要找合適的直角三角形。 例4. 如圖5，在比水面高2m的A地，觀測河對岸有一直立樹BC的頂部B的仰角為30°，它在水中的倒影B'C頂部B'的俯角是45°，求樹高BC（結(jié)果保留根號）圖5 解：設(shè)樹高BC=x(m)，過A作AEBC于E， 在RtABE中， B'AE=45°，AEBC 又 答：樹高BC為 點撥：樹與樹的倒影長度相等，即BC=

9、B'C，是此題的隱含條件。 例5. 為防水患，在漓江上游修筑防洪堤，其橫截面為一梯形，如圖6，堤的上底寬AD和堤高DF都是6米，其中B=CDF。圖6 （1）求證：ABECDF； （2）如果tanB=2，求堤的下底BC的長。 （1）證明：AEBC，DFBC B=CDF ABECDF （2）解：在RtABE中， 在RtCDF中， CF=2DF=12 答：堤的下底BC的長是21m。 點撥：與堤壩有關(guān)的問題，首先要搞清坡度（坡比），坡角等概念，同時還要將四邊形問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形。 例6. 如圖7，水庫的橫斷面是梯形，壩頂寬6m，壩高23m，斜坡CD坡度i'=1：1，斜坡AB坡度，求

10、斜坡AB的長及坡角和壩底寬AD（精確到0.1m）。圖7 解：過B，C兩點分別作BEAD于E，CFAD于F， 則m， 在RtABE中， 在RtCFD中， FD=CF=23（m） 答：斜坡AB長4m，坡角為30°，壩底寬AD約為68.8m。 點撥：求出近似值要符合題目要求。 例7. 如圖8，某輪船沿正北方向航行，在A點處測得燈塔C在北偏西30°，船以每小時20海里的速度航行2小時到達B點后，測得燈塔C在北偏西75°，問當此船到達燈塔C的正東方時，船距燈塔C有多遠？（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）？圖8 解：在ABC中，AB=20×2=40（海里），A=30°

11、; 過B作BEAC于E 則（海里） （海里） （海里） 過C作CDAB于D， 則（海里） 答：船到達燈塔正東時，它距燈塔27.32海里。點撥：搞清方向角的概念，同時會找合適的直角三角形。 例8. 今年入夏以來，松花江哈爾濱段水位不斷下降，達到歷史最低水位，一條船在松花江某水段自西向東沿直線航行，在A處測得航標C在北偏東60°方向上，前進100米到達B處，又測得航標C在北偏東45°方向上，如圖9，在以航標C為圓心，120米長為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)有淺灘，如果這條船繼續(xù)前進，是否有被淺灘阻礙的危險？圖9 解：如圖9，過點C作CDAB，設(shè)垂足為D， 在RtADC中， 在RtBDC中，

12、 136.5米120米，故沒有危險。 答：若船繼續(xù)前進沒有被淺灘阻礙的危險。 點撥：熟記特殊三角函數(shù)值，注意所求結(jié)果符合實際情況，情景應(yīng)用題。 例9. 如圖10，某貨船以20海里/時的速度將一批重要物資由A處運往正西方向的B處，經(jīng)16小時的航行到達，到達后必須立即卸貨。此時，接到氣象部門通知，一臺風中心正以40海里/時的速度由A向北偏西60°方向移動，距臺風中心200海里的圓形區(qū)域（包括邊界）均會受到影響。圖10 （1）問：B處是否會受到臺風的影響？請說明理由。 （2）為避免受到臺風的影響，該船應(yīng)在多少小時內(nèi)卸完貨？（）。 解：（1）過點B作BCAC于D， 依題意，BAC=30

13、76; 在RtABD中， B處會受到臺風的影響。 （2）以點B為圓心，200海里為半徑作圓交AC于E，F(xiàn) 由勾股定理，求得 （海里） （小時） 該船應(yīng)在3.8小時內(nèi)卸完貨物。 點撥：不是純數(shù)學化的“已知”，“求解”的模式，而是結(jié)合一種情景，一種實際需求，以解決一種實際問題為標志，旨在考查學生的數(shù)學應(yīng)用能力?！灸M試題】（答題時間：40分鐘）一. 選擇題： 1. 如果坡度的余弦值為，那么坡度比為（ ） A. B. C. 1：3D. 3：1 2. 如果由點A測得點B在北偏東15°的方向，那么由點B測點A的方向為（ ） A. 北偏東15°B. 北偏西75° C. 南偏西

14、15°D. 南偏東75° 3. 如圖1，兩建筑物的水平距離為a米，從A測得D點的俯角為，測得C點的俯角為，則較低建筑物CD的高為（ ） A. 米B. 米 C. 米D. 米 4. 如圖2斜坡AB和水平面的夾角為，下列命題中，不正確的是（ ） A. 斜坡AB的坡角為 B. 斜坡AB的坡度為 C. 斜坡AB的坡度為 D. 斜坡AB的坡度為二. 填空題 5. 在ABC中，C=90°，若，則c=_，A=_，B=_。 6. 一物體沿坡度為1：8的山坡向上移動米，則物體升高了_米。 7. RtABC中，一銳角的正切值為0.75，周長是36，則它的兩條直角邊的和是_。 8. 在地

15、面上一點，測得一電視塔尖的仰角45°，沿水平方面，再向塔底前進a米，又測得塔尖的仰角為60°，那么電視塔為_。 9. 如圖3，在高2米，坡角為30°的樓梯表面鋪地毯，地毯的長度至少需_米。（精確到0.1米）。圖3三. 解答題 10. 如圖4，要測池塘A、B兩端的距離，可以在平地上與AB垂直的直線BF上取一點C，使FCA=120°，并量得BC=20m，求A，B兩端的距離（不取近似值）。圖4 11. 從一船上看到在它的南偏東30°的海面上有一座燈塔，船以30海里/時的速度向東南方航行，半小時后，看到這個燈塔在船的正西，求這時船與燈塔的距離。參考答案