勾股定理(公開課)

1、3人教版八年級（下）第十八章人教版八年級（下）第十八章求實南校初二數(shù)學組求實南校初二數(shù)學組 朱青朱青345 目前世界上許多科學家正在試圖尋找其他星球目前世界上許多科學家正在試圖尋找其他星球的的“人人”，為此向宇宙發(fā)出了許多信號，如地球上，為此向宇宙發(fā)出了許多信號，如地球上人類的語言、音樂、各種圖形等。我國數(shù)學家華羅人類的語言、音樂、各種圖形等。我國數(shù)學家華羅庚曾建議，發(fā)射一種反映勾股定理的圖形，如果宇庚曾建議，發(fā)射一種反映勾股定理的圖形，如果宇宙人是宙人是“文明人文明人”，那么他們一定會識別這種語言，那么他們一定會識別這種語言的。這個事實可以說明勾股定理的重大意義。的。這個事實可以說明勾股定理

2、的重大意義。B BA AC C圖甲圖甲 圖乙圖乙A A的面積的面積B B的面積的面積C C的面積的面積4 44 48 8S SA A+S+SB B= =S SC C圖甲圖甲1.1.觀察圖甲，小方格觀察圖甲，小方格的邊長為的邊長為1.1.正方形正方形A A、B B、C C的的面積各為多少？面積各為多少？正方形正方形A A、B B、C C的的 面積有什么關系？面積有什么關系？探探索索新新知知A AB BC C2.2.觀察圖乙，小方格觀察圖乙，小方格的邊長為的邊長為1.1.正方形正方形A A、B B、C C的的面積各為多少？面積各為多少？9 916162525正方形正方形A A、B B、C C的的

3、面積有什么關系？面積有什么關系？4 44 48 8A AB BC C圖甲圖甲 圖乙圖乙A A的面積的面積B B的面積的面積C C的面積的面積C CS SA A+S+SB B= =S SC CS SA A+S+SB B= =S SC C圖甲圖甲圖乙圖乙A AB B圖乙圖乙S SA A+S+SB B= =S SC CA AB BC CS SA A+S+SB B= =S SC C圖甲圖甲abcabcC C3.3.猜想猜想a、b、c 之間的關系？之間的關系？a2 +b2 =c2a2 +b2 =c2 如果直角三角形的兩直角邊長分如果直角三角形的兩直角邊長分別為別為a，b，斜邊長為，斜邊長為c，那么，那么

4、 兩千多年來，人們對勾股定理的證明兩千多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣。因為這個定理太貼近人們的生頗感興趣。因為這個定理太貼近人們的生活實際，以致于古往今來，下至平民百姓，活實際，以致于古往今來，下至平民百姓，上至帝王總統(tǒng)都愿意探討它的證明，因此上至帝王總統(tǒng)都愿意探討它的證明，因此不斷涌現(xiàn)新的證法。不斷涌現(xiàn)新的證法。證明結論證明結論 請你利用手中的三角形，結合前面的探請你利用手中的三角形，結合前面的探究，也來探討證明勾股定理的方法吧！究，也來探討證明勾股定理的方法吧！(4)(2)(1)(2)(3)(4)cccc(a-b)2bca(1)(3)2)(baabc2142222babaabc22即

5、即 a2+b2=c2這四個直角這四個直角三角形還能三角形還能怎樣拼？怎樣拼？ab大正方形的面積該怎樣表示大正方形的面積該怎樣表示?abcabc2)(baabc2142222babaabc22即即 a2+b2=c2 在在1876年一個周末的傍晚年一個周末的傍晚,美國華盛頓的郊外美國華盛頓的郊外,有一位中年人正在散步有一位中年人正在散步,欣賞黃昏的美景欣賞黃昏的美景,他就是當時他就是當時美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德.他走著走著他走著走著,突然發(fā)現(xiàn)附近突然發(fā)現(xiàn)附近的一個小石凳上的一個小石凳上,有兩個小孩正在聚精會神地談論著什么有兩個小孩正在聚精會神地談論著什么,時而時

6、而大聲爭論大聲爭論,時而小聲探討時而小聲探討.由于好奇心驅使，伽菲爾德循聲向兩由于好奇心驅使，伽菲爾德循聲向兩個小孩走去個小孩走去,想搞清楚兩個小孩到底在干什么想搞清楚兩個小孩到底在干什么,只見一個小男孩只見一個小男孩正俯著身子，用樹枝在地上畫一個直角三角形，于是伽菲爾德正俯著身子，用樹枝在地上畫一個直角三角形，于是伽菲爾德便問，你們在干什么？只見那個小男孩頭也不抬地說：便問，你們在干什么？只見那個小男孩頭也不抬地說：“請問請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別是和先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別是和4，那么斜邊，那么斜邊長為多少呢？長為多少呢？”伽菲爾德答到：伽菲爾德答到：“是呀。是呀

7、?！毙∧泻⒂謫柕溃盒∧泻⒂謫柕溃骸叭绻麅蓷l直角邊分別為和，那么這個直角三角形的斜邊如果兩條直角邊分別為和，那么這個直角三角形的斜邊長又是多少呢？長又是多少呢？”伽菲爾德不假思索地回答到：伽菲爾德不假思索地回答到：“那斜邊的平那斜邊的平方，一定等于方，一定等于5的平方加上的平方加上7的平方的平方”小男孩又說道：小男孩又說道：“先生，先生，你能說出其中的道理嗎？你能說出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時語塞，無法解釋伽菲爾德一時語塞，無法解釋了，心理很不是滋味。于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛了，心理很不是滋味。于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題。心探討小男孩給他留下的難題。

8、“總統(tǒng)總統(tǒng)”證法證法 (a + b)(b + a) = a2 +a2 + b2= c2aabbcc 伽菲爾德經過反復的思考與演算，終于弄清楚了其中的伽菲爾德經過反復的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法道理，并給出了簡潔的證明方法1876年年4月月1日，伽菲爾德日，伽菲爾德在在新英格蘭教育日志新英格蘭教育日志上發(fā)表了他對勾股定理的這一證法。上發(fā)表了他對勾股定理的這一證法。1881年，伽菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng)后，人們?yōu)榱思o念年，伽菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng)后，人們?yōu)榱思o念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就稱這一證他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明了的證明，就稱這

9、一證法稱為法稱為“總統(tǒng)總統(tǒng)”證法證法。21c2+ 2( )+ ab+ b2= c2abab 2121212121 a2 + b2 = c2a2b2a2c2畢達哥拉斯證法畢達哥拉斯證法 希臘的著明數(shù)學家希臘的著明數(shù)學家畢達格拉斯發(fā)現(xiàn)了這個畢達格拉斯發(fā)現(xiàn)了這個定理，因此世界上許多定理，因此世界上許多國家都稱勾股定理為國家都稱勾股定理為“畢達格拉斯畢達格拉斯”定定理為了慶祝這一定理理為了慶祝這一定理的發(fā)現(xiàn)，畢達哥拉斯學的發(fā)現(xiàn)，畢達哥拉斯學派殺了一百頭牛酬謝供派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個定理奉神靈，因此這個定理又有人叫做又有人叫做“百牛定百牛定理理”你知道嗎？你知道嗎？11勾股樹勾股樹欣賞欣賞

10、a2 +b2 =c2 如果直角三角形的兩直角邊如果直角三角形的兩直角邊長分別為長分別為a，b，斜邊長為，斜邊長為c，那么，那么注意注意（1）勾股定理反映了直角三角形三邊之間的）勾股定理反映了直角三角形三邊之間的數(shù)量關系，即已知直角三角形中的任意兩邊的數(shù)量關系，即已知直角三角形中的任意兩邊的長度，可求出第三邊的長度；長度，可求出第三邊的長度；（2）使用勾股定理的前提條件是在直角三角）使用勾股定理的前提條件是在直角三角形中，并借助直角明確直角邊和斜邊。形中，并借助直角明確直角邊和斜邊。abcABC例例1、在長方形、在長方形ABCD中，寬中，寬AB為為1m，長，長BC為為2m ，求，求AC長長1 m

11、2 mACBD2222125ACABBC 解：在解：在Rt ABC中，中，B=90,由勾股定由勾股定理可知：理可知：例題講解例題講解比比一一比比看看看看誰誰算算得得快！快！例例2 2、求、求下列直角三角形中未知邊下列直角三角形中未知邊的長的長: :8 8x171716162020 x12125 5xx=15x=12x=13例例3 3、在、在 ABC ABC中中, C=90, C=90,AC=6,CB=8,AC=6,CB=8,則則 ABCABC面積為面積為_,_,斜邊為上的高為斜邊為上的高為_._.244.81、已知、已知ABC的三邊分別是的三邊分別是a,b,c,若若B=90，則有關系式（則有關

12、系式（ ）BABCabc2 2、判斷題、判斷題. . (1)(1) ABCABC的兩邊的兩邊AB=5,AC=12,AB=5,AC=12,則則BC=13 ( )BC=13 ( )(2)(2) ABCABC的的a=6,=6,b=8,=8,則則c =10 ( ) ( ) 鞏固練習鞏固練習4 4、湖的兩端有、湖的兩端有A A、兩點，、兩點，從從與與A A方向成直角的方向成直角的BCBC方向上的點方向上的點C C測得測得CA=130CA=130米米,CB=120,CB=120米米, ,則則ABAB為為 ( )( ) 3 3、如圖、如圖, ,一個高一個高3 3米米, ,寬寬4 4米的米的大門大門, ,需在

13、相對角的頂點間加需在相對角的頂點間加一個加固木條一個加固木條, ,則木條的長為則木條的長為 ( )( )A.3 A.3 米米 B.4 B.4 米米 C.5C.5米米 D.6D.6米米CABCA.50A.50米米 B.120B.120米米 C.100C.100米米 D.130D.130米米130120?A13當當c是斜邊時，是斜邊時， 當當b是斜邊時，是斜邊時， 13或或119、本節(jié)課我們經歷了怎樣的學習過程？、本節(jié)課我們經歷了怎樣的學習過程？經歷了從實際問題引入數(shù)學問題然后發(fā)現(xiàn)定理，經歷了從實際問題引入數(shù)學問題然后發(fā)現(xiàn)定理，再到探索定理，最后學會驗證定理及應用定理解決實再到探索定理，最后學會驗

14、證定理及應用定理解決實際問題的過程。際問題的過程。、本節(jié)課我們學到了什么？、本節(jié)課我們學到了什么？通過本節(jié)課的學習我們不但知道了著名的勾股定通過本節(jié)課的學習我們不但知道了著名的勾股定理，還知道從理，還知道從特殊到一般特殊到一般的探索方法及借助于圖形的的探索方法及借助于圖形的面積來探索、驗證數(shù)學結論的面積來探索、驗證數(shù)學結論的數(shù)形結合思想數(shù)形結合思想。、學了本節(jié)課后你有什么感想？、學了本節(jié)課后你有什么感想？ 很多的數(shù)學結論存在于平常的生活中，需要我們很多的數(shù)學結論存在于平常的生活中，需要我們用數(shù)學的眼光去觀察、思考、發(fā)現(xiàn)，這節(jié)課我們還受用數(shù)學的眼光去觀察、思考、發(fā)現(xiàn)，這節(jié)課我們還受到了數(shù)學文化輝煌歷史的教育。到了數(shù)學文化輝煌歷史的教育。小結小結P62540026xP的面積的面積 =_X=_X=_24322622x24225BACAB=_AC=_BC=_2515201、2、隨堂測試隨堂測試3 3、在、在RtRtABCABC中中,C=90C=90,A,A,B,B,CC的對邊分別為的對邊分別為a,b,c。若若a=8=8