江蘇省蘇州市2014-2015學(xué)年初二下學(xué)期數(shù)學(xué)幾何問題中三角板專題(共9頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上初二數(shù)學(xué)幾何問題中三角板專題三角板是學(xué)生最常用的學(xué)習(xí)工具，以三角板為道具，以學(xué)生常見、熟悉的幾何圖形為載體，并輔之以平移、旋轉(zhuǎn)等變換手段的問題，能為學(xué)生提供動手實踐操作設(shè)計的空間，較好地考查了學(xué)生觀察、實驗、比較、聯(lián)想、類比、歸納的能力以及運動變化、分類討論思想等的綜合運用能力。這類操作性的題目格調(diào)清新，立意新穎，充分體現(xiàn)了課標(biāo)中提出的“培養(yǎng)學(xué)生動手動腦、實踐探索的能力”的要求，既注重基礎(chǔ)知識，同時又具有很強的綜合性，因此受到了各地中考命題專家的青睞。本文就近年來中考試題中以三角板為背景材料設(shè)計的操作探究題為例，進(jìn)行賞析，供大家參考。1將一副三角板如圖放置，D為BC的

2、中點，將三角板MDN的直角頂點放在點D處，三角板的兩邊與AB，AC分別交于點E、F，當(dāng)三角板MDN繞點D旋轉(zhuǎn)時，且旋轉(zhuǎn)過程中使點E不與A、B重合（1）請你說明DEF一定為等腰直角三角形；（2）證明點E、F到線段BC的距離之和為定值2將一塊銳角為45的直角三角板如圖放置在RtABC上，BAC=90,AC=2AB，點D是AC的中點，ADE是等腰三角形，AED=90，連接BE、EC判斷線段BE和EC的關(guān)系，并證明你的結(jié)論3（2009賀州）圖中是一副三角板，45的三角板RtDEF的直角頂點D恰好在30的三角板RtABC斜邊AB的中點處，A=30，E=45，EDF=ACB=90，DE交AC于點G，GMA

3、B于M（1）如圖，當(dāng)DF經(jīng)過點C時，作CNAB于N，求證：AM=DN；（2）如圖，當(dāng)DFAC時，DF交BC于H，作HNAB于N，（1）的結(jié)論仍然成立，請你說明理由4如圖1，一副直角三角板滿足AB=BC，AC=DE，ABC=DEF=90，EDF=30操作：將三角板DEF的直角頂點E放置于三角板ABC的斜邊AC上，再將三角板DEF繞點E旋轉(zhuǎn)，并使邊DE與邊AB交于點P，邊EF與邊BC于點Q探究一：在旋轉(zhuǎn)過程中，（1）如圖2，當(dāng)時，EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明；（2）如圖3，當(dāng)時，EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（3）根據(jù)你對（1）、（2）的探究結(jié)果，試寫出當(dāng)時，EP與EQ滿足

4、的數(shù)量關(guān)系式為 ，其中m的取值范圍是 （直接寫出結(jié)論，不必證明）探究二：若且AC=30cm，連接PQ，設(shè)EPQ的面積為S（cm2），在旋轉(zhuǎn)過程中：（1）S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，說明理由（2）隨著S取不同的值，對應(yīng)EPQ的個數(shù)有哪些變化，求出相應(yīng)S的值或取值范圍5（2014秋泰興市校級期中）ABC中，ACB=90，AC=BC，AB=2現(xiàn)將一塊三角板的直角頂點放在AB的中點D處，兩直角邊分別與直線AC、直線BC相交于點E、F我們把DEAC時的位置定為起始位置（如圖1），將三角板繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度 （090）（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點E在線段AC上，點

5、F在線段BC上時（如圖2），試判別DEF的形狀，并說明理由；判斷四邊形ECFD的面積是否發(fā)生變化，并說明理由（2）設(shè)直線ED交直線BC于點G，在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在點G，使得EFG為等腰三角形？若存在，求出CG的長，若不存在，說明理由；6（2014衡陽）將一副三角尺（在RtABC中，ACB=90，B=60；在RtDEF中，EDF=90，E=45）如圖擺放，點D為AB的中點，DE交AC于點P，DF經(jīng)過點C（1）求ADE的度數(shù)；（2）如圖，將DEF繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)角（060），此時的等腰直角三角尺記為DEF，DE交AC于點M，DF交BC于點N，試判斷的值是否隨著的變化而變化？如果不變，請求出的

6、值；反之，請說明理由7將一副三角尺（RtABC和RtDEF）將圖3-1擺放，點E，A，D，B在一條直線上，且D是AB的中點。將RtDEF繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)角a(0a90),在旋轉(zhuǎn)過程中，直線DE,AC相交于點M，直線DF，BC相交于點N，分別過點M，N作直線AB的垂線，垂足分別為G,H。 （1）當(dāng)a=30時（圖3-2），求證：AG=DH。 （2）當(dāng)a=60時（圖3-3），（1）中的結(jié)論是否成立？請寫出你的結(jié)論，并說明理由。 （3）當(dāng)0a90時（圖3-4），通過測量或推理，判斷（1）中的結(jié)論是否成立。請寫出你的結(jié)論，不需說明理由。8（2014宿遷）如圖，已知BAD和BCE均為等腰直角三角形，

7、BAD=BCE=90，點M為DE的中點，過點E與AD平行的直線交射線AM于點N（1）當(dāng)A，B，C三點在同一直線上時（如圖1），求證：M為AN的中點；（2）將圖1中的BCE繞點B旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A，B，E三點在同一直線上時（如圖2），求證：ACN為等腰直角三角形；（3）將圖1中BCE繞點B旋轉(zhuǎn)到圖3位置時，（2）中的結(jié)論是否仍成立？若成立，試證明之，若不成立，請說明理由參考答案：1（1）解：連接AD，如圖，ABC是等腰直角三角形，B=C=45，EAD=45，AD=DC，ADBC，EDF=90，EDA+ADF=ADF+FDC=90，EDA=FDC，在EDA和FDC中，（2）證明：過點E、F分別作BC的垂線

8、交BC于點G、H，如圖，F(xiàn)DH=ADE，又EGD=ADC=90，EGAD，GED=ADE，F(xiàn)DH=GED，在EDG和FDH中，2BECE,BECE。證明：D是AC的中點，AC2CD。AC2AB，CDAB。AEED,AED900，EADEDA450，EDC180-EDA1350，BAC900，BAEBAC+EAD1350，BAEEDC，BAECDE （ASA），BECE,DECAEB。AEB+BED900，CED+BED900，BEC900，BECE 。3（1）證明：ACB=90，D是AB的中點CD=AD=BD，又B=90A=60，BCD是等邊三角形又CNDB，DN=DBEDF=90，BCD是等

9、邊三角形，ADG=30，而A=30GA=GDGMAB，AM=AD又AD=DB，AM=DN（2）解：（1）的結(jié)論依然成立理由如下：DFAC，1=A=30，AGD=GDH=90，ADG=60B=60，AD=DB，ADGDBH，AG=DH又GMAB，HNAB，GMA=HND=90，1=A，RtAMGRtDNH，AM=DN4解：探究一：（1）連接BE，根據(jù)E是AC的中點和等腰直角三角形的性質(zhì)，得：BE=CE，PBE=C，又BEP=CEQ，則BEPCEQ，得EP=EQ；（2）作EMAB，ENBC于M，N，EMP=ENC，MEP+PEN=PEN+NEF=90，MEP=NEF，MEPNEQ，EP：EQ=EM

10、：EN=AE：CE=1：2；（3）過E點作EMAB于點M，作ENBC于點N，在四邊形PEQB中，B=PEQ=90，EPB+EQB=180（四邊形的內(nèi)角和是360），又EPB+MPE=180（平角是180），MPE=EQN（等量代換），RtMEPRtNEQ（AA），（兩個相似三角形的對應(yīng)邊成比例）；在RtAMERtENC，=m=，=1：m=，EP與EQ滿足的數(shù)量關(guān)系式為EP：EQ=1：m，0m2+；（當(dāng)m2+時，EF與BC不會相交）探究二：若AC=30cm，（1）設(shè)EQ=x，則S=x2，所以當(dāng)x=10時，面積最小，是50cm2；當(dāng)x=10時，面積最大，是75cm2（2）當(dāng)x=EB=5時，S=62

11、.5cm2，故當(dāng)50S62.5時，這樣的三角形有2個；當(dāng)S=50或62.5S75時，這樣的三角形有一個（第4題圖）（第5題圖）5解：（1）DEF等腰直角三角形，證明如下，如圖2，AC=BC，C=90，D為AB中點，連接CD，CD平分C，CDAB，DCB=B=45，CD=DB=1，EDC+CDF=CDF+FDB=90，EDC=FDB，在DCE和DFB中，DCEDFB（ASA），DE=DF，DEF是等腰三角形四邊形ECFD的面積不發(fā)生變化；理由如下：DCEDFB，S四邊形ECFD=SBCD=11=，四邊形ECFD的面積不發(fā)生變化（2）如圖3a，當(dāng)G在線段CB延長線上時，F(xiàn)GE45，F(xiàn)EG=45，E

12、FG90EFG不可能是等腰三角形； 如圖3b，當(dāng)G與C重合時，E與A重合，F(xiàn)與C重合，此時FE=FG，CG=，如圖3c，當(dāng)G在線段BC上時，EGF45，EFG45，F(xiàn)EG=45，只能EF=EG，ECFG，F(xiàn)C=CG，EDF=90，F(xiàn)DG=90，DC=FG=CG，CG=1；綜上，CG的值為或16解：（1）ACB=90，點D為AB的中點，CD=AD=BD=AB，ACD=A=30，ADC=180302=120，ADE=ADCEDF=12090=30；（2）EDF=90，PDM+EDF=CDN+EDF=90，PDM=CDN，B=60，BD=CD，BCD是等邊三角形，BCD=60，CPD=A+ADE=3

13、0+30=60，CPD=BCD，在DPM和DCN中，DPMDCN，=，=tanACD=tan30=，的值不隨著的變化而變化，是定值7考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：幾何綜合題；壓軸題分析：（1）由題意易證出AG=AD，DH=DB，而AD=DB，可得AG=DH；（2）可由證AMDDNB，再證AMGDNH，證出AG=DH；（3）可證RtAGMRtNHB，RtDGMRtNHD，證出AG=DH解答：解：（1）=30，ADM=30，A=30，ADM=AAM=DM又MGAD于G，AG=ADCDB=180EDFADM=60，B=60

14、，CDB是等邊三角形又CHDB于H，DH=DB在ABC中，ACB=90，A=30，BC=ABBC=BD，AD=DBAG=DH（2）結(jié)論成立理由如下：在AMD與DNB中，A=NDB=30，AD=DB，MDA=B=60，AMDDNB，AM=DN又在AMG與DNH中，A=NDB，MGA=NHD=90，AMGDNHAG=DH（3）方法一：解：結(jié)論成立RtAGMRtNHB，RtDGMRtNHDC=MDN=90，C，D兩點在以MN為直徑的圓上，C，M，D，N四點共圓，DNM=DCA=30，DN=DM。又DGMNHD，DH=MG=AG方法二：解：當(dāng)090時，（1）中的結(jié)論成立在RtAMG中，A=30，AMG

15、=60=B又AGM=NHB=90，AGMNHBMDG=，DMG=90=NDH又MGD=DHN=90，RtMGDRtDHN= ，得=，由比例的性質(zhì)，得 =。AD=DB，AG=DH點評：此題主要考查圖形的旋轉(zhuǎn)，直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定，三角形相似的判定及性質(zhì)的靈活運用此題用同學(xué)們常用的一副三角板作為情境，培養(yǎng)同學(xué)們靈活運用知識的能力8考點：幾何變換綜合題；平行線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；多邊形內(nèi)角與外角菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：幾何綜合題；壓軸題分析：（1）由ENAD和點M為DE的中點可以證到ADMNEM，從而證到M為AN的中點（2）易證AB=DA=NE，ABC=NEC=

16、135，從而可以證到ABCNEC，進(jìn)而可以證到AC=NC，ACN=BCE=90，則有ACN為等腰直角三角形（3）延長AB交NE于點F，易得ADMNEM，根據(jù)四邊形BCEF內(nèi)角和，可得ABC=FEC，從而可以證到ABCNEC，進(jìn)而可以證到AC=NC，ACN=BCE=90，則有ACN為等腰直角三角形解答：（1）證明：如圖1，ENAD，MAD=MNE，ADM=NEM點M為DE的中點，DM=EM在ADM和NEM中，ADMNEMAM=MNM為AN的中點（2）證明：如圖2，BAD和BCE均為等腰直角三角形，AB=AD，CB=CE，CBE=CEB=45ADNE，DAE+NEA=180DAE=90，NEA=90NEC=135A，B，E三點在同一直線上，ABC=180CBE=135ABC=NECADMNEM（已證），AD=NEAD=AB，AB=NE在ABC和NEC中，ABCNECAC=NC，ACB=NCEACN=BCE=90ACN為等腰直角三角形（3）ACN仍為