擴展的DEA模型的最優(yōu)值的研究

1、文章編號 :100124098(2004 0920100204擴展的 D EA 模型的最優(yōu)值的研究 吳文江(北京工業(yè)大學 (管莊 , 摘要 :討論擴展的 C 2GS 2(2, C 2GS 2(C 2R 模型的 最優(yōu)值相等 , D EA 有效性 (C 2GS 2或 C 2R , 證明若所有輸入與輸 出都取正值 , D EA 模型的最優(yōu)值 (若它存在 。關鍵詞 :(D EA ; 決策單元 (DM U ; 擴展的 D EA 模型 ; 最優(yōu)值 ; 閾值中圖分類號 :C 931. 1文獻標識碼 :A數(shù)據(jù)包絡分析是一種評價決策單元間相對有效性的有用的方法 。 文 1提及擴展的 D EA 模型 。 文 2、

2、 文 3分別提到用擴展的 C 2R 模型 、 C 2GS 2模型來判斷決策單元的D EA 有效性 , 但都沒有探討擴展 D EA 模型的最優(yōu)解的存在性 。 是否有可操作性的方法來判斷其是否存在 ? 若存在 ,在什么條件下其最優(yōu)值與 D EA 模型的最優(yōu)值相等 ? 若不存在 , 如何判斷決策單元的 D EA 有效性 ? 本文探討以上問題 。文 4、 文 5中考慮了帶參數(shù)的 D EA 模型 , 給出了決策單元的閾值的概念 , 用它來區(qū)分 D EA 有效的決策單元 ,但在計算閾值前要先確定參數(shù) , 能否不事先確定參數(shù)來計算閾值 ? 本文也來探討這個問題 。1擴展 D EA 模型的最優(yōu)解的存在性設 有

3、 n 個 決 策 單 元 , 其 中 第 j 個 決 策 單 元 (記 為DM U j 有輸入向量 X j =(x 1j , x 2j , , x m j T >0, 輸出向量Y j =(Y 1j , Y 2j , , Y sj T >0, j J =1,2, , n 。被評的決策 單元為記為 DM U j 0 (j 0 J , 對應的 X j, Y j分別記為X 0, Y 0. 考慮基于輸入的 D EA 模型 (D :m in s . t . j JX j j ÷X 0 j JY j j Y 0 j Jj = , j 0, j J 當 =0時即 C 2R 模型 ; 當

4、=1時即 C 2GS 2模型 。 由文 1可知 , 有定理 1 (D 的最優(yōu)解存在且最優(yōu)值不大于 1。 設 I =J j 0,則對應 (D 的擴展的 D EA 模型為 (F :m in s . t . j IX j j ÷X 0 j IY j j Y 0 j Ij = , j 0, j I其對偶問題為 (P :m ax (T Y 0+ s . t . T X j -T Y j - 0, j I T X 0=1 0, 0 定理 2 若 X j >0, Y j 0(j J , 且 Y 0 T 1y , 其中 T 1y =Y j IY j j Y , j Ij =1, j 0, j

5、I ,則擴展 C 2GS 2模型 (F 1 有最優(yōu)解 , 且最優(yōu)值為正 。證明 先來找 (F 1 的可行解 :因 Y 0 T 1y , 即有 0j 0(j I , j I0j =1使得 j IY j 0j Y 0, 因 X 0>0, 取 1為 j IX j 0j 與 X 0諸相應分 量之比的最大值 , 則 =1, j =0j (j I 即為 (F 1 的可 行解 。再來找 (P 1 的可行解 :設 e、e 分別與 m 維 、 s 維的 (1, 1, , 1 T 型向量 。 因 X j >0(j J , 故 a =eTX 0>0, eTX j >0(j I 。 因 Y j

6、 0, 故 第 22卷第 9期 (總第 129期 系統(tǒng)工程 V o l . 22, N o. 9 2004年 9月 System s Engineering Sep t . , 2004 收稿日期 :2004206201作者簡介 :吳文江 (19312 , 男 , 浙江龍泉人 , 北京工業(yè)大學教授 , 研究方向 :決策分析 。e T Y j >0(j J 。 令 b =(1 a m in j I(e TX j (e T Y j >0, 則 0=e a , 0=be , 0=0為 (P 1 的可行解 , 這是因為 T 0X 0=(e T a X 0=1, T 0X j -T 0Y 0

7、-0=e TX j a -be T Y j 0(j I 。 此可行解對應的目標函數(shù)值 be TY 0>0。由線性規(guī)劃理論可知 , (F 1 與 (P 1 的最優(yōu)解都存在 , 且最優(yōu)值相等 , 此值 be TY 0>0。定 理 3若 X j >0, Y j >0(j J , 則擴展 C 2R 模型(F 0 有最優(yōu)解 , 且最優(yōu)值為正 。因 Y j >0(j J , 取 01=m ax r =1, 2, , s(y r 0 y r 1 >0, 0j = I , j 1 , 可得 j IY j 0j =Y 10可證 。同理有定理 4若 X j >0, Y j

8、 >0(j J , 且 (F 有可行解 , 則(F 有最優(yōu)解 , 且最優(yōu)值 >0。 2擴展的 D EA 模型與 D EA 模型的最優(yōu)值的關系 定理 5若 X j >0, Y j >0(j J , 且 (D 的最優(yōu)解為0, 0j (j J (0=0j 0(1則 (a 0 0 1, (b (F 有最優(yōu)值 時 , 0 , (c 0<1時 , (F 存在最優(yōu)解 , 設最優(yōu)值為 , 則 0=0時 , =0 1; 0>0時 , =0=1。 證明 因 (1 為 (D 的最優(yōu)解 , 且 X j >0(j J 故0÷ j IXj0j ÷(0-0 X

9、0(2 j IY j 0j (1-0 Y 0 j I0j (1-0 0j 0(j I (3于是 0-0 0, 且由定理 1即得 (a 。若 (F 有最優(yōu)解 , 將它添加 0=0后即得 (D 的可行 解 , 故 (b 成立 。若 0<1, 由 (2 、 (3 式可知 j =0j(1-0 (j I , =(0- (1-0 為 (F 的可行解 , 由定理 4, (F 有最優(yōu)解 , 最優(yōu)值 >0, 且 (0-0 (1-0由 (b 推得0 (0-0 (1-0(4解得 (1-0 0 0, 又 (1-0 0 0, 故 (1-0 0=0。 當 0=0時 , 由 (4 式得 =0 1; 當 0>

10、;0時 , 有 0=1, 由 (4 式得 =0=1, 故 (c 成立。 我 們知道 , 若 (D 的最優(yōu)值 0=1, 則 DM U 0為弱D EA 有效 (C 2R 當 =0, C 2GS 2當 =1 。定理 6在定理 5的已知條件下 , 若 (F 有最優(yōu)值 , 則(a 若 <1, 則 0=<1, 即 DM U 0非弱 D EA 有效 。 (b 若 =1, 則 0=1, 即 DM U 0為弱 D EA 有效 。 證明 若 <1, 由定理 5的 (a 、 (b 可知 0 0 <1, 故由其中的 (c , 0=<1, DM 0非弱 D EA 有效 。 若 =1, 當

11、0<1時 , 的 (c , 可知 0=1; 當 0=1, a ( 1=0 0 =1, =為弱 D EA 有效 。 (D m in s . t . j J Xjj -S -=X 0, S - 0 j JY j j -S +=Y 0, S + 0 j Jj = , j 0, j J由文 1和文 6可知有定義 若 (D 的每一個最優(yōu)解都有=1, S -=0, S +=0(5則稱 DM U 0為 D EA 有效 (C 2R 當 =0, C 2GS 2當 =1 。若 (D 有惟一的滿足 (5 的最優(yōu)解 , 則稱 DM U 0為擴 展 D EA 有效 (C 2R 當 =0, C 2GS 2當 =1

12、。定理 7若 X j >0, Y j >0(j J , 且 (D 的最優(yōu)解為0j (j J , S0-, S 0+, 0(6若 (D 的最優(yōu)值 >1, 則 (a (D 只有 0=0j 0=1的最優(yōu)解 , 其中 , =1, S 0-=0, S 0+=0, 0j =0(j I ;(b DM U 0為擴展 D EA 有效 。證明 由定理 5可知 , 當 >1時 (D 不可能有 0<1的最優(yōu)解 , 即只有 0=1的最優(yōu)解。 當 0=1時將 (6 式代入 (D 的約束得(1-0 X 0+ j IXj0j +S0-=0因 0 1, X j >0(j J , S0- 0,

13、 故 (1-0 =0, 0j =0(j I , S0-=0, 于是 , 由 Y 0+ j IY j0j =Y 0+S 0+, 得 S 0+=0, 即 (a 成立 。 由定義 , 可知 (b 成立 。3帶參數(shù)的 D EA 模型及閾值給定 >0, 帶參數(shù)的 D EA 模型 (D m in s . t . j J Xjj ÷(X 0 j JY j j Y 0 j Jj = , j 0, j J對應的擴展 D EA 模型 (F 101第 9期 吳文江 :擴展的 D EA 模型的最優(yōu)值的研究m in s . t . j I Xjj ÷(X 0 j IY j j Y 0 j Ij

14、 = , j 0, j I若 =0>0使得 (D 的最優(yōu)值 0=1, 稱 0為 DM U 0的 閾值 。定理 8設 X j >0, Y j >0(j J , (F 的最優(yōu)值 , 則 (a 當 >時 , (D 的最優(yōu)值 = ; (b DM U 0的閾值 0=。 證明 (F 中令 =外 , 其約束與 (F F , 故 (F 的最優(yōu)值為 時 1, 由定理 6, (D 的最 優(yōu)值 0= , 因此當 =0=時 , 0=1, 即得 (b 。 4用擴展 D EA 模型判斷DM U 0的 D EA 有效性由定理 6與定理 7即得定理 9若 X j >0, Y j >0(j

15、J (由定理 1可知 (D 必存在最優(yōu)解 且 (F 的最優(yōu)解存在 , 其最優(yōu)值為 , 則 (a 當 <1時 DM U 0非弱 D EA 有效 ; (b 當 =1時 DM U 0為弱 D EA 有效 ; (c 當 >1時 DM U 0為擴展 D EA 有效 。 對 C 2R 模型 , 由定理 3可知 (F 0 的最優(yōu)解存在 , 故可 如定理 9所述來判斷 DM U 0的 D EA 有效性 (C 2R 。對 C 2GS 2模型 , 由定理 2可知當滿足條件 Y 0 T 1y 時(F 1 存在最優(yōu)解 , 此時可如定理 9所述來判斷 DM U 0的D EA 有效性 (C 2GS 2。但如何

16、判斷這條件成立 ? 這條件不成立時 DM U 0的 D EA 有效性如何 ? 為此考慮模型 (H m ax h s . t . j I Y j jhY 0 j Ij =1, j 0, j I 定理 10若 Y j >0(j J 則 (H 的最優(yōu)解存在且最優(yōu) 值為非負 。證明 (H 存在 h =0、 j 1=1(j 1 j 0 、 j =0(j j 1, j I 的可行解 。 (故最優(yōu)值若存在必非負 。(H 的對偶問題 (Q m in s . t . -TY j + 0, j I TY j =1 0設 e T Y 0=a , 因 Y 0>0, 則 a >0, (Q 存在 =e

17、a , 且=(1 a m ax j I(e TY j 的可行解 。由線性規(guī)劃理論可知 (H 與 (Q 都存在最優(yōu)解 , 最優(yōu)值相等且非負 。定理 11若 (H 的最優(yōu)值為 h 0, 則 Y 0 T 1y 的充要條 件為 h 0 1。證明 若 Y 0 T 1y , 則 (H 有 h =1的可行解 , 故 (H 的 最優(yōu)值 h 0 1。反之 , 若 h 0 1且最優(yōu)解中 j =0j (j I , 則 0j 0(j I , j I0j=1, 且 j Y j jh 0Y 0, 即 Y 0 T 1y .(H 0Y 0|T 1y 的充要條件 <2與定理 11即得定理 12若 X j >0, Y

18、 j >0(j J 且為 h 0 1, 則擴展C 2GS 2模型 (F 1 存在最優(yōu)解且最優(yōu)值為正 , 可如定理 9所述來判斷 DM U 0的 D EA 有效性 (C 2GS 2 。定理 13若 X j >0, Y j >0(j J 且為 h 0<1, 則 DM U 0為擴展 D EA 有效 (C 2GS 2 。證明 當 h 0<1時即 Y 0|T 1y , 則 (D 1 不可能有 0<1的最優(yōu)解 (1 , 否則 , 由定理 5(c 可知 (F 1 存在最優(yōu)解 , 它 滿足 (F 1 的約束 , 與 Y 0|T 1y 矛盾 。 由定理 5(a , 0 1,

19、因 而 (D 1 只有 0=1的最優(yōu)解 , 與定理 7同理可證 DM U 0為 擴展 D EA 有效 (C 2GS 2 。5算例有四個決策單元 , 其輸入 x 1、 x 2與輸出 y 的數(shù)據(jù)見表1。表 1j 1234x 1j 3134x 2j 1332y j1121試判斷 DM U 3的 D EA 有效性 (C 2GS 2 , 并求其閥值 。由 于 (H 的最優(yōu)值 h 0=1 2<1, 故 DM U 3為 擴 展D EA 有效 (C 2GS 2, 任給 >0, 由定理 13可知 (X 3, Y 3對應的 DM U 也是擴展 D EA 有效 (C 2GS 2 , 即 (D 1 的最優(yōu)

20、 值都是 1, 任 >0都是 DM U 3的閾值 。6結束語本文討論了文 15中遺留的問題 , 在指標只取正 值的情況下論證了 :(1 擴展的 C 2R 模型的最優(yōu)值總存在 ;(2 可根據(jù)模型 (H 的最優(yōu)值是否小于 1來判斷擴展的 C 2GS 2模型的最優(yōu)值是否不存在 ;(3 存在時其值就等于 DM U 0的閾值 ; 若其值不大于201系統(tǒng)工程 2004年1, 則與 D EA 模型的最優(yōu)值相等 ; 若其值大于 1, 則 DM U 0為擴展 D EA 有效 ;(4 若模型 (H 的最優(yōu)值小于 1, 則 DM U 0為擴展D EA 有效 (C 2GS 2, 任給 >0都是 DM U

21、0的閥值 。 參考文獻 :1盛照瀚 , 朱喬 , 吳廣謀 . D EA 理論 、 方法與應用 M . 北京 :科學出版社 , 1996. 2張福翔 . 判斷決策單元 D EA 有效性的一種新方法 J . 系統(tǒng)工程 , 2001, 9(5 :2327.3郝海 , 顧培亮 , 盧奇 . 擴展的數(shù)據(jù)包絡分析 C 2GS 2模型 EC 2GS 2J . 系統(tǒng)工程學報 , (1 :17. 4郝海 , 楊印生 , 李樹根 . 帶有參數(shù)的數(shù)據(jù)包絡分析 C 2R 模型 . (9 :4652.5郝海 , 顧培亮 , 尹春華 . 帶有參數(shù)的數(shù)據(jù)包絡分析 C 22PC 22J . , 2003, 25(8 :949953, 989.6彭煜 , 賈志永 . D EA . , 22(1 :104107.A Study on Opti m a l Va lue of a Exten sive D EA M odelW U W en 2jiang(Beijing Po lytechn ic U n iversity (Guanzhuang , Beijing 100024, Ch ina Abstract :In th is paper the ex istence of the op ti m al s