用MATLAB線性代數(shù)的基本運(yùn)算(共28頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第五章 線性代數(shù)的基本運(yùn)算本章學(xué)習(xí)的主要目的：1 復(fù)習(xí)線性代數(shù)中有關(guān)行列式、矩陣、矩陣初等變換、向量的線性相關(guān)性、線性方程組的求解、相似矩陣及二次型的相關(guān)知識.2學(xué)會用MatLab軟件進(jìn)行行列式的計算、矩陣的基本運(yùn)算、矩陣初等變換、向量的線性相關(guān)性的判別、線性方程組的求解、二次型化標(biāo)準(zhǔn)形的運(yùn)算.5.1 行列式5.1.1 n階行列式定義由個元素組成的記號D= 稱為n階行列式.其值是所有取自不同行不同列的n個元素的乘積的代數(shù)和,各項的符號由n級排列決定,即D=,其中表示對所有n級排列求和, 是排列的逆序數(shù).5.1.2 行列式的性質(zhì)(1) 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.(2)

2、 互換行列式的兩行(列),行列式變號.(3) 若行列式有兩行(列)完全相同,則此行列式為零.(4) 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一數(shù)k,等于用數(shù)k乘此行列式.(5) 若行列式有兩行(列)元素成比例,則此行列式為零.(6) 若行列式的某一列(行)的元素是兩數(shù)的和,則此行列式等于對應(yīng)兩個行列式之和.即(7) 若行列式的某一行(列)的各元素乘以同一數(shù)加到另一行(列)對應(yīng)的元素上去,行列式不變.(8) 行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和,即,或 (9) 設(shè)A,B是n階方陣,則 ,(10)若A是n階可逆矩陣,則,(11) 設(shè)是n階方陣A的特征值,則,(12) 設(shè)是

3、n階方陣A的伴隨矩陣,則(13) 幾種特殊行列式的計算: , ,5.1.3 MatLab計算行列式的命令det(var) %計算方陣var的行列式例1 計算行列式的值在MatLab命令窗口輸入:A=1,-3,2,2;-3,4,0,9;2,-2,6,2;3,-3,8,3 det(A)執(zhí)行結(jié)果:A = 1 -3 2 2 -3 4 0 9 2 -2 6 2 3 -3 8 3ans = -50例2 計算行列式的值,其中a,b,c,d是參數(shù).在MatLab命令窗口輸入:syms a b c dA=a,1,0,0;-1,b,1,0;0,-1,c,1;0,0,-1,ddet(A)執(zhí)行結(jié)果:A = a, 1,

4、 0, 0 -1, b, 1, 0 0, -1, c, 1 0, 0, -1, dans =a*b*c*d+a*b+a*d+c*d+1例3 求方程的根.(1) 先求行列式的值在MatLab命令窗口輸入:syms xA=1,1,1,1;1,-2,2,x;1,4,4,x*x;1,-8,8,x3y=det(A)執(zhí)行結(jié)果:A = 1, 1, 1, 1 1, -2, 2, x 1, 4, 4, x2 1, -8, 8, x3y =-12*x3+48*x+12*x2-48(2) 求3次方程的根.首先通過函數(shù)的圖形確定根的大致范圍,在MatLab命令窗口輸入:grid onezplot(y)圖 1觀察圖1,

5、可知3個根大致在-2,0,4附近,下面求精確值,在MatLab命令窗口輸入:yf=char(y);g1=fzero(yf,-2)g2=fzero(yf,0)g3=fzero(yf,4)執(zhí)行結(jié)果:g1 = -2g2 = 1.0000g3 = 2.0000可知方程的3個根分別為-2,1,2.5.1.4用MatLab實(shí)現(xiàn)克拉默法則(1)克拉默法則非齊次線性方程組方程組 當(dāng)其系數(shù)行列式時,此方程組有唯一解,且可表示為其中是把系數(shù)行列式中第j列的元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的n階行列式,即對于齊次線性方程組當(dāng)其系數(shù)行列式時,此方程組有唯一零解;當(dāng)D=0時,方程組有非零解.(2) 編寫函數(shù)klm.

6、m實(shí)現(xiàn)用克拉默法則求解非齊次線性方程組.function x=klm(a,b) %參數(shù)a代表方程組的系數(shù)矩陣,列矩陣b代表方程組的常數(shù)列,%返回方程組的解m,n=size(a);if (m=n) disp('克拉默法則不適用此方程組的求解!')else d=det(a); if (d=0) disp('該方程組沒有唯一解!') else disp('該方程組有唯一解!') for i=1:m e=a; e(:,i)=b; f=det(e); x(i)=f/d; end endend例4 用克拉默法則解下列方程組:操作步驟:在MatLab命令窗口輸

7、入:D=1,1,1,1;1,2,-1,4;2,-3,-1,-5;3,1,2,11;A=5;-2;-2;0;klm(D,A)執(zhí)行結(jié)果:該方程組有唯一解!ans = 1 2 3 -1方程組的解為例5 問a取何值時,齊次方程組有非零解?根據(jù)齊次方程組有非零解,系數(shù)行列式為零,用MatLab操作步驟如下:圖2在MatLab命令窗口輸入:syms x A=5-x,2,2;2,6-x,0;2,0,4-x;yy=det(A) ezplot(yy,0,10) grid on執(zhí)行結(jié)果:行列式的值為:yy = 80-66*x+15*x2-x3作函數(shù)yy的圖形,如圖2觀察圖2,可知根大致在2,5,8附近,再輸入命令

8、:yf=char(yy);x1=fzero(yf,2)x2=fzero(yf,5)x3=fzero(yf,8)執(zhí)行結(jié)果:x1 = 2x2 = 5x3 = 8即a取2，5，或8時,齊次方程組有非零解。5.2 矩陣及其運(yùn)算5.2.1 矩陣的定義由個數(shù)排成的m行n列的數(shù)表稱為m行n列矩陣,簡稱矩陣.記作5.2.2矩陣的運(yùn)算設(shè)有兩個矩陣和,則(1)加法 MatLab對應(yīng)求矩陣加法的操作符為”+”(2)數(shù)乘 MatLab對應(yīng)求矩陣數(shù)乘的操作符為”*”(3) 矩陣與矩陣相乘設(shè)矩陣是矩陣, 是矩陣,則矩陣A與矩陣B的乘積是一個矩陣,其中把此乘積記作C=ABMatLab對應(yīng)求矩陣乘積的操作符為”*”(4)矩陣

9、的轉(zhuǎn)置 設(shè)矩陣是矩陣,把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到一個矩陣,叫A的轉(zhuǎn)置矩陣,記作.在MatLab對應(yīng)求矩陣轉(zhuǎn)置的操作符為 “ “(5)方陣的行列式 設(shè)矩陣是矩陣,由A的元素構(gòu)成的行列式(各元素的位置不變),稱為方陣A的行列式,記作或detA.MatLab對應(yīng)求方陣行列式的命令為:det(var) %var代表待求行列式的方陣(6)方陣的逆矩陣 設(shè)矩陣是矩陣,若有一個n階矩陣B,使AB=BA=E,則說矩陣A可逆,矩陣B稱為A的逆矩陣.記為逆矩陣的判別定理: 若,則矩陣A可逆,且,其中是矩陣A的伴隨矩陣，由行列式的各個元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的，.MatLab對應(yīng)求方陣逆的命令為:inv(var)

10、 %var代表待求逆矩陣的方陣下面按公式,用MatLab編寫程序求矩陣的逆:function y=aij(A,i,j) %求方陣A元素aij的代數(shù)余子式Aij,C=A;C(i,:)=;C(:,j)=;y=(-1)(i+j)*det(C);function y=axing(A) %求方陣A伴隨矩陣m n=size(A);for i=1:n for j=1:n y(i,j)=aij(A,j,i); endend則方陣A的逆等于axing(A)/det(A)例6 設(shè),問3AB-2ATB是否可逆?若該矩陣可逆求它的逆.在MatLab創(chuàng)建m文件knf.m完成該問題的操作:A=1,1,1;1,1,-1;1

11、,-1,1;B=1,2,3;-1,-2,4;0,5,1;C=3*A*B-2*A'*B;dc=det(C);if dc=0 disp('此矩陣不可逆!')else disp('此矩陣可逆!其逆矩陣為:') inv(C)end在MatLab命令窗口輸入knf執(zhí)行結(jié)果:此矩陣可逆!其逆矩陣為:ans = -0.3857 0.5143 0.5000 0.0857 -0.1143 00.0714 0.0714 05.3 矩陣的初等變換5.3.1下面三種變換稱為矩陣A的初等行(列)變換:(1) 對調(diào)i,j兩行(列);(2) 以數(shù)乘矩陣A的第i行(列)中所有元素;(3

12、) 把第i行(列)所有元素的k倍加到第j行(列)的元素上去;用MatLab實(shí)現(xiàn)以上初等行變換:(1) A(i,j,:)=A(j,i,:)(2) A(i,:)=k*A(i,:)(3) A(j,:)=k*A(i,:)+ A(j,:)5.3.2 用矩陣初等變換化矩陣為行最簡形. 行最簡形的特點(diǎn)是:可畫出一條階梯線,線的下方全為0,每個臺階只有一行,臺階數(shù)即為非零行的行數(shù),階梯線的豎線后面的第一個元素為非零元,非零行的第一個非零元為1,且這些非零元所在的列的其他元素都為0.MatLab對應(yīng)化矩陣為行最簡形的命令為:rref(var) %var代表待化為行最簡形的矩陣?yán)? 把矩陣化為行最簡形矩陣。在Ma

13、tLab命令窗口輸入:A=1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,-3;format rat 以分?jǐn)?shù)的形式顯示結(jié)果rref(A)執(zhí)行結(jié)果: ans = 1 0 -2 -5/3 0 1 2 4/3 0 0 0 0 5.3.3 初等變換的應(yīng)用(1 ) 求矩陣A的逆矩陣:把分塊矩陣(A,E)經(jīng)過初等行變換化成(E,B),矩陣B就是所求矩陣A的逆矩陣.例8 用初等變換求矩陣的逆矩陣.在MatLab創(chuàng)建ni.m函數(shù)文件，完成用初等變換求矩陣的逆。function y=ni(a)da=det(a);if da=0 disp('此矩陣不可逆!')else disp('此矩

14、陣可逆!其逆矩陣為:') m n=size(a); e=eye(n); d=rref(a e); y=d(:,(n+1):2*n); end在MatLab命令窗口輸入:A=1,-3,2,2;-3,4,0,9;2,-2,6,2;3,-3,8,3;ni(A)執(zhí)行結(jié)果: 此矩陣可逆!其逆矩陣為:ans = -0.5200 -0.0400 -4.0400 3.1600 -0.4800 0.0400 -0.9600 0.8400 0 0 1.5000 -1.0000 0.0400 0.0800 -0.9200 0.6800(2 ) 求矩陣的秩:在矩陣A中，任取k行k列，位于這些行列交叉處的個元素

15、，不改變它們在A中所處的位置次序而得到的k階行列式稱為矩陣A的k階子式。設(shè)在矩陣A中有一個不等于0的r階子式D，且所有的r1階子式全等于0，那么D稱為矩陣A的最高階非零子式，數(shù)r稱為矩陣的秩，記作R(A).有關(guān)矩陣A的秩的性質(zhì)：（a）矩陣A有一個r階子式不為零，則；矩陣A所有r階子式都等于零，則。（b）（c）（d）若,則（e）若P,Q可逆，則（f）（g）（h）（i）若，則求矩陣A秩的方法：方法1：把矩陣A經(jīng)過初等行變換化成行階梯形,非零的行數(shù)就是矩陣的秩.方法2：MatLab對應(yīng)求矩陣秩的命令為:rank（var） var為待求秩的矩陣變量。例9 設(shè),求矩陣A的秩，并求A的一個最高階非零子式。

16、在MatLab命令窗口輸入:A=3,2,0,5,0;3,-2,3,6,-1;2,0,1,5,-3;1,6,-4,-1,4;rank(A)rref(A)執(zhí)行結(jié)果: ans = 3 ans = 1 0 1/2 0 7/2 0 1 -3/4 0 -1/4 0 0 0 1 -2 觀察A的最簡形，有3行非零，也可知矩陣A的秩為3，且最高階子式可選第1,2,3行第1,2,4列構(gòu)成的子式。命令為：zishi=A(1:3,1 2 4)zishi = 3 2 5 3 -2 6 2 0 5 det(zishi)ans = -16 %驗(yàn)證該子式不為零 (3 ) 求線性方程組的解定理1：n元非齊次線性方程組AXb（i

17、）無解的充分必要條件是；（ii）有唯一解的充分必要條件是；（iii）有無限多解的充分必要條件是；定理2：n元齊次線性方程組AX0（i）有唯一解的充分必要條件是；（ii）有無限多解的充分必要條件是；求解線性方程組的步驟是：（i）對于非齊次線性方程組，把它的增廣矩陣化成行階梯形，從B的行階梯形可同時看出R(A)和R(B)，若,則方程組無解。（ii）若，則說明方程組有解，進(jìn)一步把B化成行最簡形，而對于齊次線性方程組，則把系數(shù)矩陣A化成行最簡形。（iii）設(shè)，把行最簡形中r個非零行的非零首元所對應(yīng)的未知數(shù)取作非自由未知數(shù)，其余nr個未知數(shù)取作自由未知數(shù)，并令自由未知數(shù)分別等于，由B的行最簡形，即可寫出

18、含nr個參數(shù)的通解。MatLab對應(yīng)求解方程組的方法為：（i）當(dāng)系數(shù)矩陣A為方陣,且方程組有唯一解時，AXb對應(yīng)的解為， 對應(yīng)的MatLab命令為：X=inv(A)*b 或X=Ab或Y =rref(A,b),X=Y(:,n+1)（ii）對于方程，在MatLab創(chuàng)建函數(shù)jfch.m完成上面求解步驟。function y=jfch(a,b)m n=size(a);c=a b;d=rref(c);ra=rank(a);rc=rank(c);if (ra=rc) if (ra=n) y=d(:,n+1); else d(m+1,:)=1:n+1;for i=1,ra if (d(i,i)=0) j=i

19、+1; while(d(i,j)=0) j=j+1; end d(:,i,j)=d(:,j, i); end end x=-d(1:ra,ra+1:n),d(1:ra,n+1); x=x;eye(n-ra,n-ra+1); y=x; for i=1:n y(d(m+1,i),:)=x(i,:); end disp('the special solution is :') ss=y(:,n-ra+1)' disp('the basic solution is :') bs=y(:,1:n-ra)' endelse disp('there i

20、s no solution')end例10 分別用三種方法:逆，除法，初等變換（增廣矩陣）求齊次和非齊次線性方程組的解。 (1) (2)(1) 對于方程組(1),先判別系數(shù)行列式的值,輸入命令:A=1,-4,2;0,2,-1;-1,2,-1;det(A)執(zhí)行結(jié)果:ans = 0說明方程組的系數(shù)矩陣不可逆,該方程組有無窮多解,調(diào)用函數(shù)jfch求解,輸入命令:B=zeros(3,1);jfch(A,B)執(zhí)行結(jié)果:ra = 2the special solution is :ss = 0 0 0the basic solution is :bs = 0 0.5000 1.0000ans =

21、0 0 0.5000 0 1.0000 0從結(jié)果可知系數(shù)矩陣的秩為2,方程組的通解為(2) 對于方程組(2),先判別系數(shù)行列式的值,輸入命令:A=1,1,3,-1;0,1,-1,1;1,1,2,2,;1,-1,1,-1;det(A)執(zhí)行結(jié)果:ans = 10說明方程組的系數(shù)矩陣可逆,則輸入命令:B=-2;1;4;0;方法1: X=inv(A)*B執(zhí)行結(jié)果:X = 1.0000 -1.0000 0.0000 2.0000方法2: X=AB執(zhí)行結(jié)果:X = 1 -1 0 2方法3: Y=rref(A ,B);X=Y(:,5)執(zhí)行結(jié)果:X = 1 -1 0 2例11求下列非齊次方程組的通解。 (3)

22、 （4） (5)(1) 對于方程組(3),輸入命令:A=1,-1,-1,1;1,-1,1,-3;1,-1,-2,3;B=0;1;-1/2 ; jfch(A,B)執(zhí)行結(jié)果:ra = 2the special solution is :ss = 0.5000 0.5000 0 0the basic solution is :bs = 0 -1 1 01 2 0 1ans = 0 1.0000 0.5000 -1.0000 2.0000 0.5000 1.0000 0 0 0 1.0000 0從結(jié)果可知系數(shù)矩陣的秩為2,方程組有無窮多解,通解為:(2) 對于方程組(4),輸入命令:A=2,1,-5,

23、1;1,-3,0,-6;0,2,-1,2;1,4,-7,6;B=8;9;-5;0;jfch(A,B)執(zhí)行結(jié)果:ans = 3 -4 -1 1從結(jié)果知方程組有唯一解:(3)對于方程組(5),輸入命令:A=4,2,-1;3,-1,2;11,3,0;B=2;10;8;jfch(A,B)執(zhí)行結(jié)果:there is no solution說明該方程組無解.5.4 向量組的線性相關(guān)性5.4.1 定義 給定向量組,如果存在不全為零的數(shù),使,則稱向量組A是線性相關(guān)的,否則稱它是線性無關(guān). 設(shè)有向量組A,如果在A中能選出r個向量,滿足(i) 向量組線性無關(guān);(ii) 向量組A中任意r+1個向量(如果A中有r+1

24、個向量的話)都線性相關(guān).那么稱向量組A0是向量組A的一個最大線性無關(guān)向量組,最大無關(guān)組所含向量的個數(shù)r稱為向量組A的秩,記作RA.5.4.2 判別定理向量組線性相關(guān)的充分必要條件是它所構(gòu)成的矩陣的秩小于向量個數(shù)m,向量組線性無關(guān)的充分必要條件是R(A)=m.5.4.3 求向量組的最大線性無關(guān)向量組的方法把向量做成列構(gòu)成矩陣,對該矩陣實(shí)施初等行變換變?yōu)樾凶詈喰?從而獲得最大無關(guān)組,可以把不屬于最大無關(guān)組的列向量用最大無關(guān)組表示.例12 判別下列向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān)?在MatLab命令窗口輸入:A=-1,2,1;3,1,4;1,0,1;rank(A)執(zhí)行結(jié)果:ans = 2結(jié)果說明矩陣A的

25、秩比3小,所以向量組線性相關(guān).例13 設(shè)矩陣,求矩陣A的列向量組的一個最大無關(guān)組,并把不屬于最大無關(guān)組的列向量組用最大無關(guān)組線性表示.在MatLab命令窗口輸入:A=2,-1,-1,1,2;1,1,-2,1,4;4,-6,2,-2,4;3,6,-9,7,9;rref(A)執(zhí)行結(jié)果:ans = 1 0 -1 0 4 0 1 -1 0 3 0 0 0 1 -3 0 0 0 0 0結(jié)果說明向量組的秩為3,列向量組的最大無關(guān)組含3個向量,取矩陣A的第1,2,4列作為列向量組的一個最大無關(guān)組,其余向量用最大無關(guān)組線性表示為:, 5.5 相似矩陣及二次型5.5.1 方陣的特征值與特征向量(1)定義 設(shè)A是

26、n階矩陣,如果數(shù)和n維非零列向量x使關(guān)系式成立,那么,這樣的數(shù)稱為方陣A的特征值,非零向量x稱為A的對應(yīng)于特征值的特征向量.(2) 特征值的性質(zhì)設(shè)n階矩陣的特征值為,(i);(ii)(iii)是的特征值(iv)當(dāng)A可逆時, 是A-1的特征值.(v) 相似矩陣就有相同的特征值.(3)定理1 : 對應(yīng)不同特征值的特征向量線性無關(guān).定理2 : n階矩陣A與對角矩陣相似的充要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量.定理3: 設(shè)A是n階對稱陣,則必有正交陣P,使,其中是以A的n個特征值為對角元的對角陣.(4) MatLab求矩陣特征值與特征向量的命令:d= eig(A) %返回由矩陣A的特征值組成的列向量.

27、V,D=eig(A) %返回特征值矩陣D和特征向量矩陣V.特征值矩陣D是以A的特征值為對角線的元素生成的對角陣,矩陣A的第k個特征值的特征向量是矩陣V的第k列向量,即滿足AV=VD. 對于實(shí)對稱矩陣,返回的特征向量矩陣是正交矩陣.(5) 用MatLab實(shí)現(xiàn)矩陣對角化的判別.根據(jù)定理2,方陣A可對角化的條件是對于方陣A的每個特征值,其幾何重數(shù)等于代數(shù)重數(shù),首先在MatLab創(chuàng)建函數(shù)文件kdjh.m,實(shí)現(xiàn)矩陣可對角化的判別,function y=kdjh(A)y=1; c =size(A); %獲得方陣A的階數(shù)if c(1)=c(2) %判斷是否為方陣 y=0; returnende=eig(A)

28、; %求矩陣的特征值向量n=length(A); while 1 if isempty(e) return; end d=e(1); f=sum(abs(e-d)<10*eps); %求特征值d的代數(shù)重數(shù). g=n-rank(A-d*eye(n); %求A-dE的零空間的秩,即對應(yīng)特征值的幾何重數(shù). if f=g y=0;return; end e(find(abs(e-d)<10*eps)=; %刪除已判斷過的特征值end例14判別矩陣A=,B=是否可對角化?在MatLab命令窗口輸入:a=0 1 ;0 0kdjh(a) b=1 2 2 ;2 1 2;2 2 1 ;kdjh(b)

29、執(zhí)行結(jié)果:ans = 0ans = 1 結(jié)果說明矩陣A不可對角化,矩陣B可對角化.(6) 用MatLab實(shí)現(xiàn)實(shí)對稱矩陣的對角化.根據(jù)定理3, 實(shí)對稱矩陣都是可以對角化的,且存在正交矩陣Q,使得inv(Q)AQ為對角陣,對角陣的對角線元素為矩陣A的特征值,對于實(shí)對稱矩陣,特征值分解函數(shù)eig(A)返回的特征向量矩陣就是正交矩陣.例15 求一個正交的相似變換矩陣,把矩陣A=化為對角陣.在MatLab命令窗口輸入:a=0,1,1,-1;1,0,-1,1;1,-1,0,1;-1,1,1,0;d,v=eig(a)d'*d %驗(yàn)證d為正交矩陣d'*a*d %驗(yàn)證矩陣可對角化執(zhí)行結(jié)果:d =

30、 -0.5000 0.2887 0.7887 0.2113 0.5000 -0.2887 0.2113 0.7887 0.5000 -0.2887 0.5774 -0.5774 -0.5000 -0.8660 0 0v = -3.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000ans = 1.0000 0.0000 0 0 0.0000 1.0000 -0.0000 0.0000 0 -0.0000 1.0000 0 0 0.0000 0 1.0000ans = -3.0000 0 0 0 -0.0000 1.0000 0 0 0 -0.000

31、0 1.0000 0.0000 0 0.0000 0.0000 1.0000要求的正交相似變換矩陣為d,對角陣為v.5.5.2 二次型 (1) 二次型定義 含有n個變量的二次齊次函數(shù)稱為二次型. 只含平方項的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.如果對任何,都有f(x)>0,則稱f為正定二次型,并稱對稱陣A是正定的, 如果對任何,都有f(x)<0,則稱f為負(fù)定二次型,并稱對稱陣A是負(fù)定的.記 則二次型可記作,其中A為對稱陣,稱為二次型f的矩陣.(2) 二次型化標(biāo)準(zhǔn)形定理1 任給二次型,總有正交變換x=Py,使f化為標(biāo)準(zhǔn)形,其中是f的矩陣A的特征值.定理2 二次型為正定的充分必要條件是它的標(biāo)準(zhǔn)形

32、的n個系數(shù)全為正.推論 對稱陣A為正定的充分必要條件是A的特征值全為正.定理3對稱陣A為正定的充分必要條件是A的各階主子式全為正, 對稱陣A為負(fù)定的充分必要條件是A的奇數(shù)階主子式為負(fù),偶數(shù)階主子式為正.(3) 用MatLab實(shí)現(xiàn)二次型化標(biāo)準(zhǔn)形例16 求一正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形在MatLab命令窗口輸入:A=1,2,2;2,1,2;2,2,1;V,D=eig(A)執(zhí)行結(jié)果:V = 0.6015 0.5522 0.5774 0.1775 -0.7970 0.5774 -0.7789 0.2448 0.5774D = -1.0000 0 0 0 -1.0000 0 0 0 5.0000V就是所求的正交矩陣,使得VAV=D,所以令X=VY,化簡后的二次型為(4) 用MatLab實(shí)現(xiàn)二次型正