二元一次方程組講義同步

1、二元一次方程組講義題型一：二元一次方程（組）的概念二元一次方程： 含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程。注意：滿足的四個(gè)條件：1、都是整式方程；2、只含有兩個(gè)未知數(shù)；3、未知數(shù)的項(xiàng)最高次數(shù)都是一次；4、含有未知數(shù)的項(xiàng)的系數(shù)不為0.二元一次方程組：含有兩個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)一次方程所組成的一組方程叫二元一次方程組。注意：1）滿足的三個(gè)條件：1、每個(gè)方程都是一次方程；2、方程組具有兩個(gè)未知數(shù)；3、每個(gè)方程均為整式方程。 2）方程組的各個(gè)方程中，相同字母必須代表同一數(shù)量，否則不能將兩個(gè)方程合在一起，組成方程組。二元一次方程：例1、下列方程， ，中，二元一次方程有 個(gè)。例2、方程是二元一次方程

2、，則的取值范圍為 .例3、已知方程是關(guān)于的二元一次方程，則的取值范圍是 .例4.若關(guān)于x，y的方程是二元一次方程，則的和為 .例5、若是關(guān)于x，y的二元一次方程，其中，則 二元一次方程組：例1、下列方程組中，二元一次方程組的個(gè)數(shù)是 . （1） ；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.；（9）例5、若方程組是關(guān)于的二元一次方程組，則代數(shù)式的值是 題型二：二元一次方程（組）的解的概念二元一次方程:注意：1)二元一次方程的每一個(gè)解，都是一對(duì)數(shù)值，而不是一個(gè)數(shù)值；2）二元一次方程的解使方程左右兩邊相等；3）一般情況下，一個(gè)二元一次方程有無數(shù)多組解，但并不是說任意一對(duì)數(shù)值都是它的解，當(dāng)

3、對(duì)解有限制條件時(shí)，二元一次方程的解的個(gè)數(shù)為有限個(gè)。二元一次方程組：注意：1）二元一次方程組的解滿足方程中的每一個(gè)方程；2）二元一次方程組需用大括號(hào)“”表示，方程組的解也要用大括號(hào)“”表示；3）一般常見的二元一次方程組有唯一解，但有的方程組有無數(shù)多組解，如，有的方程組無解，如.例1、若是二元一次方程的一個(gè)解，則 .例2、如果是方程的一個(gè)解（），那么（） A、m0，n=0 B、m，n異號(hào) C、m，n同號(hào) D、m，n可能同號(hào)，也可能異號(hào) 例3、方程組和同解，求的值。 例4、已知是二元一次方程組的解，則的算術(shù)平方根為 .例5、若是方程2x+y=0的解，則 .例6、已知是二元一次方程組的解，則的值為 .

4、例7、關(guān)于x，y的二元一次方程，當(dāng)取一個(gè)確定的值時(shí)就得到一個(gè)方程，所有這些方程有一個(gè)公共解，則這個(gè)公共解是 .題型三：解多元一次方程（組）的問題解二元一次方程組的方法：代入消元法；加減消元法，整體思想（整體代入法；整體加減法）；換元法、分類討論法。二元一次方程：例1、（2011柳州）把方程改寫成用含的式子表示的形式，得 .例2、（2003黑龍江）寫出滿足方程的一對(duì)整數(shù)值 .例3、二元一次方程的非負(fù)整數(shù)解共有 對(duì)例4、方程的整數(shù)解有 對(duì).例5、方程的非負(fù)整數(shù)解有 . A、4組 B、5組 C、6組 D、無數(shù)組 例6、若，則 . 二元一次方程組：例1、（2011淄博）由方程組可得出與的關(guān)系式是 .1

5、）代入消元法 例2、（2011肇慶）方程組的解是 .例3、（2011臺(tái)灣）若二元一次聯(lián)立方程式的解為，則的值為 .例4、（2011曲靖）方程和的公共解是 .例5、用“代入消元法”解方程組時(shí)，可先將第 方程（填序號(hào)即可）變形為 ，然后再代入例6、用代入消元法解下列方程組：(1) ； （2）； （3）； （4） （5）.2）加減消元法：例1、用加減消元法解下列方程組：（1）； (2)； （3）3） 整體思想：例1、解下列方程組：（1） ； （2）.例2、解下列方程組：（1） ； (2)例3、已知方程組的解是，求方程組的解。例4、已知方程組：的解是：，則方程組：的解是 .4）換元法：例1、解下列方程

6、組：（1）5）分類討論法：例1、若、是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，則等于 .例2、方程組的解的個(gè)數(shù)為 .例3、若關(guān)于，的方程組沒有實(shí)數(shù)解，則 .三元一次方程組：例1、已知方程組的解滿足方程，則 . 例2、已知方程組的解滿足方程，求的值.例3、如果方程組的解是方程的一個(gè)解，則 .例4、若，則 例5、在關(guān)于的方程組中，已知，那么將從大到小排起來應(yīng)該是 題型四：二元一次方程（組）與絕對(duì)值、同類項(xiàng)的綜合運(yùn)用例1、已知，則 .例2、若，則的值為 .例3、方程的解的值也滿足，且，求的值。例4、如果是同類項(xiàng)，那么的取值分別是 . 例5、若是同類項(xiàng)，則 ， .例6、解方程組：題型五：模糊以及抄錯(cuò)題問題例1、小華不小心將墨水

7、濺在同桌小麗的作業(yè)本上，結(jié)果二元一次方程組中第一個(gè)方程的系數(shù)和第二個(gè)方程的系數(shù)看不到了，現(xiàn)在已知小麗的結(jié)果是你能由此求出原來的方程組嗎？例2、甲、乙兩位同學(xué)一起解方程組甲正確地解得乙僅因抄錯(cuò)了題中的，解得求原方程組中的值例3、甲乙兩人解方程組，由于甲看錯(cuò)了方程中的，而得到方程組的解為乙看錯(cuò)了方程中的，而得到的解為假如按正確的計(jì)算，求出原方程組的解。例4、已知方程組的解應(yīng)為，小明解題時(shí)把c抄錯(cuò)了。因此得到的解是，則的值。題型六：由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組的問題例1、（2011泰安）某班為獎(jiǎng)勵(lì)在校運(yùn)會(huì)上取得較好成績的運(yùn)動(dòng)員，花了400元錢購買甲乙兩種獎(jiǎng)品共30件，其中甲種獎(jiǎng)品每件16元，乙種獎(jiǎng)

8、品每件12元，求甲乙兩種各買多少件？該問題中，若設(shè)購買甲種獎(jiǎng)品件，乙種獎(jiǎng)品件，則可列方程 .A、 B、 C、 D、例2、（2011臺(tái)灣）在早餐店里，王伯伯買5顆饅頭，3顆包子，老板少拿2元，只要50元李太太買了11顆饅頭，5顆包子，老板以售價(jià)的九折優(yōu)待，只要90元若饅頭每顆元，包子每顆元，則下列哪一個(gè)二元一次聯(lián)立方程式可表示題目中的數(shù)量關(guān)系 .A、 B、 C、 D、例3、（2011寧夏）一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和是8，把這個(gè)兩位數(shù)加上18，結(jié)果恰好成為數(shù)字對(duì)調(diào)后組成的兩位數(shù)，求這個(gè)兩位數(shù)設(shè)個(gè)位數(shù)字為，十位數(shù)字為，所列方程組正確的是 .A、 B、 C、 D、例4、（2010寧夏）甲、乙兩

9、種商品原來的單價(jià)和為100元，因市場變化，甲商品降價(jià)10%，乙商品提價(jià)40%，調(diào)價(jià)后兩種商品的單價(jià)和比原來的單價(jià)和提高了20%、若設(shè)甲、乙兩種商品原來的單價(jià)分別為元、元，則下列方程組正確的是 .A、 B、C、 D、例5、（2010丹東）某校春季運(yùn)動(dòng)會(huì)比賽中，八年級(jí)（1）班、（5）班的競技實(shí)力相當(dāng)，關(guān)于比賽結(jié)果，甲同學(xué)說：（1）班與（5）班得分比為6：5；乙同學(xué)說：（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分若設(shè)（1）班得x分，（5）班得分，根據(jù)題意所列的方程組應(yīng)為 .A、 B、 C、 D、例6、（2010長春）端午節(jié)時(shí)，王老師用72元錢買了荷包和五彩繩共20個(gè)，其中荷包每個(gè)4元，五彩繩每個(gè)3元設(shè)王

10、老師購買荷包個(gè)，五彩繩個(gè)，根據(jù)題意，下面列出的方程組正確的是 .A、 B、 C、 D、 例7、（2010巴中）巴廣高速公路在5月10日正式通車，從巴中到廣元全長約為126km一輛小汽車，一輛貨車同時(shí)從巴中，廣元兩地相向開出，經(jīng)過45分鐘相遇，相遇時(shí)小汽車比貨車多行6km，設(shè)小汽車和貨車的速度分別為km/h，km/h，則下列方程組正確的是 .A、 B、 C、 D例8、（2008株洲）“雞兔同籠”是我國民間流傳的詩歌形式的數(shù)學(xué)題：“雞兔同籠不知數(shù)，三十六頭籠中露，看來腳有100只，幾多雞兒幾多兔”解決此問題，設(shè)雞為只，兔為只，則所列方程組正確的是 .A、 B、 C、 D、例9、（2008臺(tái)州）四川

11、5.12大地震后，災(zāi)區(qū)急需帳篷某企業(yè)急災(zāi)區(qū)所急，準(zhǔn)備捐助甲、乙兩種型號(hào)的帳篷共2000頂，其中甲種帳篷每頂安置6人，乙種帳篷每頂安置4人，共安置9000人，設(shè)該企業(yè)捐助甲種帳篷頂、乙種帳篷頂，那么下面列出的方程組中正確的是 .A、 B、 C、 D、例10、（2008荊門）用四個(gè)全等的矩形和一個(gè)小正方形拼成如圖所示的大正方形，已知大正方形的面積是144，小正方形的面積是4，若用，y表示矩形的長和寬（），則下列關(guān)系式中不正確的是 .A、 B、 C、 D、例11、“甲、乙兩數(shù)之和為16，甲數(shù)的3倍等于乙數(shù)的5倍”，若設(shè)甲數(shù)為，乙數(shù)為，則列出方程組：（1）；（2） ；（3）；（4）中，其中正確的有 。

12、A、1組 B、2組 C、3組 D、4組例12、現(xiàn)用190張鐵皮做盒子，每張鐵皮做8個(gè)盒身或做22個(gè)盒底，而一個(gè)盒身與兩個(gè)盒底配成一個(gè)盒子，設(shè)用張鐵皮做盒身，張鐵皮做盒底，則可列方程組為 .A、 B、 C、 D、例13、已知一組數(shù)據(jù)1，2，4，2，8，7，它的中位數(shù)和眾數(shù)恰好是一個(gè)關(guān)于，的二元一次方程組的解，則這個(gè)二元一次方程組是 （寫出符合條件的一個(gè)即可）題型七：方程及方程組的應(yīng)用問題思路導(dǎo)航：應(yīng)用二元一次方程組解決實(shí)際問題關(guān)鍵在于正確找出問題中的兩個(gè)等量關(guān)系，列出方程并組成方程組，同時(shí)注意檢驗(yàn)解的合理性列方程組解應(yīng)用題的一般步驟：（1） 審題：反復(fù)閱讀題目，弄清題意，明確問題中哪些量是已知量

13、，哪些量是未知量，弄清題目中的等量關(guān)系。（2） 找等量關(guān)系，設(shè)未知數(shù)，列出代數(shù)式：選擇兩個(gè)未知數(shù)，用字母表示，用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示其他的未知數(shù)，找出題目中明顯的燈亮關(guān)系和隱含的等量關(guān)系；（3） 列方程組：根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出方程，并組成方程組；（4） 解方程組：求出未知數(shù)的值；（5） 檢驗(yàn)并作答：檢驗(yàn)所得的未知數(shù)的值是否合理，然后作答。1） 工作量問題思路導(dǎo)航：工程問題.一般分為兩類，一類是一般的工程問題，一類是工作總量為1的工程問題.基本等量關(guān)系為：工作量工作效率× 工作時(shí)間；例1、某工廠第一季度生產(chǎn)甲、乙兩種機(jī)器共480臺(tái)改進(jìn)生產(chǎn)技術(shù)后，計(jì)劃第二季度生產(chǎn)這兩種機(jī)器共554

14、臺(tái)，其中甲種機(jī)器產(chǎn)量要比第一季度增產(chǎn)10，乙種機(jī)器產(chǎn)量要比第一季度增產(chǎn)20該廠第一季度生產(chǎn)甲、乙兩種機(jī)器各多少臺(tái)？例2、一批機(jī)器零件共840個(gè)，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，問兩人每天各做多少個(gè)機(jī)器零件？例3、重慶市政府打算把一塊荒地建成公園，動(dòng)用了一臺(tái)甲型挖土機(jī)，4天挖完了這塊地的一半。后又加一臺(tái)乙型挖土機(jī)，兩臺(tái)挖土機(jī)一起挖，結(jié)果1天就挖完了這塊地的另一半。乙型挖土機(jī)單獨(dú)挖這塊地需要幾天？ 2） 行程問題思路導(dǎo)航：行程問題.包括追及問題和相遇問題，基本等量關(guān)系為：路程速度×時(shí)間；例1、某學(xué)校組織學(xué)生到100千米以

15、外的夏令營去，汽車只能坐一半人，另一半人步行.先坐車的人在途中某處下車步行，汽車則立即回去接先步行的一半人.已知步行每小時(shí)走4千米，汽車每小時(shí)走20千米（不計(jì)上下車的時(shí)間），要使大家下午5點(diǎn)同時(shí)到達(dá)，問需何時(shí)出發(fā).例2、甲、乙兩從A地出發(fā)，向同一方向前進(jìn)，甲步行先走1小時(shí)后，乙騎自行車追趕，當(dāng)乙騎了2小時(shí)后，乙還在甲的后面1.5千米處，再走1小時(shí)后，乙在甲的前面2.5千米處，求甲、乙兩人的速度例3、甲、乙兩人分別從相距30千米的A、B兩地同時(shí)相向而行，經(jīng)過3小時(shí)后相距3千米，再經(jīng)過2小時(shí)，甲到B地所剩路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙兩人的速度.例4.某人要在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)由甲地趕往乙地，如

16、果他以每小時(shí)50千米的速度行駛，就會(huì)遲到24分鐘；如果他以每小時(shí)75千米的高速行駛，則可提前24分鐘到達(dá)乙地，求他以每小時(shí)多少千米的速度行駛可準(zhǔn)時(shí)到達(dá).3） 分配問題 思路導(dǎo)航：這類問題要搞清資源的變化情況 例1、現(xiàn)有190張鐵皮做盒子，每張鐵皮可以做8個(gè)盒身或做22個(gè)盒底，一個(gè)盒身與兩個(gè)盒底可以配成一個(gè)完整的盒子，問：用多少張鐵皮制盒身，多少張鐵皮制盒底，可以恰好制成一批完整的盒子？例2、某家具廠生產(chǎn)一種方桌，設(shè)計(jì)時(shí)的木材可做50個(gè)桌面或做300條桌腿?，F(xiàn)有的木材，求怎樣分配生產(chǎn)桌面和桌腿使用的木材，可使生產(chǎn)的桌面、桌腿剛好配套，并指出生產(chǎn)多少張方桌（1張方桌有一個(gè)桌面，4條桌腿）.例3、某

17、服裝廠要生產(chǎn)一批服裝，已知3米長的某種布料可做上衣2件或褲子3條，一件上衣和一條褲子為一套，計(jì)劃用600米長的這種布料生產(chǎn)這一批服裝，應(yīng)分別用多少布料生產(chǎn)上衣和褲子才能恰好配套？共能生產(chǎn)多少套？4） 利率問題思想導(dǎo)航：儲(chǔ)蓄問題中基本量之間的關(guān)系：，利息=本金利率期數(shù)，利率=.例1、小明的媽媽為了準(zhǔn)備小明一年后上高中的費(fèi)用，現(xiàn)在以兩種方式在銀行共存了2000元錢，一種是年利率為2.25的教育儲(chǔ)蓄，另一種是年利率為2.25的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，問這兩種儲(chǔ)蓄各存了多少錢？（利息所得稅利息金額×20%，教育儲(chǔ)蓄沒有利息所得稅）例2、某同學(xué)的父母用甲、乙兩種形式為其存儲(chǔ)

18、了一筆教育儲(chǔ)蓄金10 000元，甲種形式年利率為，乙種形式年利率為,一年后，這名同學(xué)得到本息和共10242.5元，那么該同學(xué)的父母為其存儲(chǔ)的甲、乙兩種形式的教育儲(chǔ)蓄金各為多少元？5） 盈虧問題例1、某服裝商販同時(shí)賣出兩套服裝，每套均賣168元，按成本計(jì)算，一套賺了20%另一套虧了20%。則商販在這次買賣中盈虧了多少？例2、新華書店一天內(nèi)銷售兩種書籍，甲種書籍共賣得1560元，為了發(fā)展農(nóng)業(yè)科技，乙種書籍送下鄉(xiāng)共賣得1350元，按甲、乙兩種書籍的成本分別計(jì)算，甲種書籍盈利，乙種書籍虧本，試問該書店一天共盈利（虧本）多少元？6） 數(shù)字問題思路導(dǎo)航：表示一個(gè)多位數(shù)，它可以表示為： 數(shù)字型應(yīng)用題的常見解

19、題思路是抓住數(shù)字間或新數(shù)、原數(shù)間的關(guān)系列方程，多以間接設(shè)元求解為宜解題時(shí)要注意區(qū)分?jǐn)?shù)字與數(shù)之間的區(qū)別例1、如果一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和為6，那么這樣的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A、3 B、6 C、5 D、4 例2、一個(gè)兩位數(shù)的數(shù)字之和是7，這個(gè)兩位數(shù)減去27，它的十位和個(gè)位上的數(shù)字就交換了位置，則這個(gè)兩位數(shù)是多少？例3、一個(gè)兩位數(shù)，十位上數(shù)字是個(gè)位上數(shù)字的兩倍，把這個(gè)兩位數(shù)個(gè)位上數(shù)字與十位上數(shù)字對(duì)調(diào)得的新兩位數(shù)比原兩位數(shù)小27，求原兩位數(shù).例3、甲乙兩人做加法，甲在其中一個(gè)數(shù)后面多寫了一個(gè)0，得和為2342，乙在同一個(gè)加數(shù)后面少寫了一個(gè)0，得和為65，你能求出原來的兩個(gè)加數(shù)嗎？7） 和、差、

20、倍、分問題思路導(dǎo)航：基本等量關(guān)系為：(和差)÷2大數(shù) ； (和差)÷2小數(shù) ；和倍問題： 和÷(倍數(shù)+1)小數(shù) 小數(shù)×倍數(shù)大數(shù) (或者 和小數(shù)大數(shù)) 差倍問題： 差÷(倍數(shù)1)小數(shù) 小數(shù)×倍數(shù)大數(shù) (或 小數(shù)差大數(shù))例1、有兩缸金魚，如果從甲缸中取出5條放入乙缸，兩缸內(nèi)的金魚數(shù)相等。已知原來甲缸的金魚數(shù)是乙缸的1又2/3倍，甲缸原有金魚多少條？例2、 有兩筐蘋果，如果從第一筐拿出9個(gè)放到第二筐，兩筐蘋果個(gè)數(shù)相等；如果從第二筐拿出12個(gè)放到第一筐，則第一筐蘋果的個(gè)數(shù)等于第二筐的2倍。原來每筐各有幾個(gè)蘋果？ 例3、在讀書活動(dòng)中，某校將一批

21、書按以下原則分給各班：第一班取走100本，又取走余下的十分之一：第二班取走200本，又取走余下的十分之一.以此類推，最后全部書被各班取走，而且各班所得的書相等，問共多少本書，班數(shù)是多少?8） 年齡問題例1、師傅對(duì)徒弟說“我像你這樣大時(shí)，你才4歲，將來當(dāng)你像我這樣大時(shí)，我已經(jīng)是52歲的人了”.問這位師傅與徒弟現(xiàn)在的年齡各是多少歲？例2、 甲乙兩人在聊天，甲對(duì)乙說："當(dāng)我的歲數(shù)是你現(xiàn)在歲數(shù)時(shí)，你才4歲?！币覍?duì)甲說：“當(dāng)我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你將61歲。”你能算出他們兩人各幾歲嗎？例1幾何問題例1、（2011臺(tái)灣）如圖，將長方形ABCD分割成1個(gè)灰色長方形與148個(gè)面積相等的小正方形若灰色長方形之長與寬的比為5：3，則AD：AB=？（）A、5：3 B、7：5 C、23：14 D、47：29 例3例2、小明在超市幫媽媽買回一袋紙杯，他把紙杯整齊地疊放在一起，如圖請(qǐng)你根據(jù)圖中的信息，若小明把100個(gè)紙杯整齊疊放在一起時(shí)，它的高度約是（）A、106cm B、110cm C、114cm D、116cm 例2例3、用6塊相同的長方形地磚拼成一個(gè)矩形，如圖所示，那么每個(gè)長方形地磚的面積是 9） 航行問題例1、甲乙兩港間的水路長280千米，一艘輪船從甲港開往乙港，順?biāo)?4小時(shí)到達(dá)。從乙港返回甲港，逆水20小時(shí)到達(dá)。求這艘輪船在靜水中