中考數(shù)學(xué)壓軸題型研究——動點(diǎn)幾何問題解題方法

1、中考數(shù)學(xué)壓軸題型研究（一）動點(diǎn)幾何問題下面以具體實(shí)例簡單的說一說此類題的解題方法。一、利用動點(diǎn)（圖形）位置進(jìn)行分類，把運(yùn)動問題分割成幾個(gè)靜態(tài)問題，然后運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想和方法將幾何問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)和方程問題例1：（北京市石景山區(qū)2010年數(shù)學(xué)期中練習(xí)）在ABC中，B=60°,BA=24CM,BC=16CM,(1)求ABC的面積；ACB(2)現(xiàn)有動點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿射線AB向點(diǎn)B方向運(yùn)動，動點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿射線CB也向點(diǎn)B方向運(yùn)動。如果點(diǎn)P的速度是4CM/秒，點(diǎn)Q的速度是2CM/秒，它們同時(shí)出發(fā)，幾秒鐘后，PBQ的面積是ABC的面積的一半？(3)在第（2）問題前提下，P,Q兩點(diǎn)之間的距離是

2、多少？點(diǎn)評：此題關(guān)鍵是明確點(diǎn)P、Q在ABC邊上的位置，有三種情況。（1）當(dāng)0t6時(shí)，P、Q分別在AB、BC邊上；（2）當(dāng)6t8時(shí)，P、Q分別在AB延長線上和BC邊上；（3）當(dāng)t >8時(shí), P、Q分別在AB、BC邊上延長線上.然后分別用第一步的方法列方程求解.例2: (北京市順義2010年初三?？?已知正方形ABCD的邊長是1，E為CD邊的中點(diǎn)， P為正方形ABCD邊上的一個(gè)動點(diǎn)，動點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿A B C E運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)E.若點(diǎn)P經(jīng)過的路程為自變量x，APE的面積為函數(shù)y， （1）寫出y與x的關(guān)系式 (2)求當(dāng)y時(shí)，x的值等于多少？ 點(diǎn)評:這個(gè)問題的關(guān)鍵是明確點(diǎn)P在四邊形ABCD邊上

3、的位置,根據(jù)題意點(diǎn)P的位置分三種情況:分別在AB上、BC邊上、EC邊上.例3：(北京市順義2010年初三?？?如圖1 ，在直角梯形ABCD中，B=90°，DCAB，動點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿梯形的邊由BC D A 運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的路程為x ,ABP的面積為y , 如果關(guān)于x 的函數(shù)y的圖象如圖2所示 ，那么ABC 的面積為（ ）xAOQPByA32B18C16 D10 例4：（09齊齊哈爾）直線與坐標(biāo)軸分別交于兩點(diǎn)，動點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)點(diǎn)，運(yùn)動停止點(diǎn)沿線段運(yùn)動，速度為每秒1個(gè)單位長度，點(diǎn)沿路線運(yùn)動（1）直接寫出兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動時(shí)間為秒，的面積為，求出與之間的函數(shù)關(guān)系式；

4、（3）當(dāng)時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫出以點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)評：本題關(guān)鍵是區(qū)分點(diǎn)P的位置：點(diǎn)P在OB上，點(diǎn)P在BA上。例5：（2009寧夏）已知：等邊三角形的邊長為4厘米，長為1厘米的線段在的邊上沿方向以1厘米/秒的速度向點(diǎn)運(yùn)動（運(yùn)動開始時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)運(yùn)動終止），過點(diǎn)分別作邊的垂線，與的其它邊交于兩點(diǎn)，線段運(yùn)動的時(shí)間為秒（1）線段在運(yùn)動的過程中，為何值時(shí)，四邊形恰為矩形？并求出該矩形的面積；CPQBAMN（2）線段在運(yùn)動的過程中，四邊形的面積為，運(yùn)動的時(shí)間為求四邊形的面積隨運(yùn)動時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍解：（1）過點(diǎn)作，垂足為則，當(dāng)運(yùn)動到被垂直平

5、分時(shí)，四邊形是矩形，即時(shí)，CPQBAMN四邊形是矩形，秒時(shí)，四邊形是矩形，CPQBAMN（2）當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 點(diǎn)評：此題關(guān)鍵也是對P、Q兩點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類。圖（3）CcDcAcBcQcPcEc例6：（2009四川樂山）如圖（15），在梯形中，厘米，厘米，的坡度動點(diǎn)從出發(fā)以2厘米/秒的速度沿方向向點(diǎn)運(yùn)動，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以3厘米/秒的速度沿方向向點(diǎn)運(yùn)動，兩個(gè)動點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一個(gè)動點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動點(diǎn)也隨之停止設(shè)動點(diǎn)運(yùn)動的時(shí)間為秒（1）求邊的長；（2）當(dāng)為何值時(shí)，與相互平分；（3）連結(jié)設(shè)的面積為探求與的函數(shù)關(guān)系式，求為何值時(shí)，有最大值？最大值是多少？6. 解：（1）作于點(diǎn)，如圖（3

6、）所示，則四邊形為矩形又2分在中，由勾股定理得：（2）假設(shè)與相互平分由則是平行四邊形（此時(shí)在上）即解得即秒時(shí)，與相互平分（3）當(dāng)在上，即時(shí)，作于，則即=當(dāng)秒時(shí)，有最大值為當(dāng)在上，即時(shí)，=易知隨的增大而減小故當(dāng)秒時(shí)，有最大值為綜上，當(dāng)時(shí)，有最大值為二、利用函數(shù)與方程的思想和方法將所解決圖形的性質(zhì)（或所求圖形面積）直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)或方程。AQCDBP 例7：（包頭）如圖，已知中，厘米，厘米，點(diǎn)為的中點(diǎn)（1）如果點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，經(jīng)過1秒后，與是否全等，請說明理由；若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動

7、速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為多少時(shí)，能夠使與全等？（2）若點(diǎn)Q以中的運(yùn)動速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來的運(yùn)動速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿三邊運(yùn)動，求經(jīng)過多長時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在的哪條邊上相遇？解：（1）秒，厘米，厘米，點(diǎn)為的中點(diǎn)，厘米又厘米，厘米，又， ，又，則，點(diǎn)，點(diǎn)運(yùn)動的時(shí)間秒，厘米/秒（2）設(shè)經(jīng)過秒后點(diǎn)與點(diǎn)第一次相遇，由題意，得，解得秒點(diǎn)共運(yùn)動了厘米，點(diǎn)、點(diǎn)在邊上相遇，經(jīng)過秒點(diǎn)與點(diǎn)第一次在邊上相遇例8：（09濟(jì)南）如圖，在梯形中，動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒2個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動；動點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)沿線段以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為秒（1）求的長 （2）當(dāng)時(shí)，求的值

8、（3）試探究：為何值時(shí)，為等腰三角形解：（1）如圖，過、分別作于，于，則四邊形是矩形在中，在，中，由勾股定理得，（圖）ADCBKH（圖）ADCBGMN（2）如圖，過作交于點(diǎn)，則四邊形是平行四邊形由題意知，當(dāng)、運(yùn)動到秒時(shí)，又即解得，ADCBMN（圖）（圖）ADCBMNHE（3）分三種情況討論：當(dāng)時(shí)，如圖，即當(dāng)時(shí)，如圖，過作于解法一：由等腰三角形三線合一性質(zhì)得在中，又在中，解得即當(dāng)時(shí)，如圖，過作于點(diǎn).（圖）ADCBHNMF解法一：（方法同中解法一）解得解法二：即綜上所述，當(dāng)、或時(shí)，為等腰三角形ABOCDPQ例9：（呼和浩特）如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90º，AB12cm

9、，AD8cm，BC22cm，AB為O的直徑，動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AD邊向點(diǎn)D以1cm/s的速度運(yùn)動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度運(yùn)動，P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t(s)(1)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQCD為平行四邊形？(2)當(dāng)t為何值時(shí)，PQ與O相切？解：(1)直角梯形當(dāng)時(shí)，四邊形為平行四邊形OAPDBQC由題意可知：，OAPDBQCHE當(dāng)時(shí)，四邊形為平行四邊形 （2）解：設(shè)與相切于點(diǎn)過點(diǎn)作垂足為直角梯形由題意可知：為的直徑，為的切線 在中，即：，7分因?yàn)樵谶呥\(yùn)動的時(shí)間為秒，而（舍去）ABDCPQMN當(dāng)秒時(shí)，與相切例

10、10.如圖，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分別從A，B，C，D出發(fā)沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的邊上同時(shí)運(yùn)動，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)先到達(dá)所在運(yùn)動邊的另一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動即停止已知在相同時(shí)間內(nèi)，若BQ=xcm()，則AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm（1）當(dāng)x為何值時(shí)，以PQ，MN為兩邊,以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊構(gòu)成一個(gè)三角形；（2）當(dāng)x 為何值時(shí)，以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；（3）以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形能否為等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能，請說明理由解：（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合或點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時(shí)，以PQ，MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊可能構(gòu)成一個(gè)三角形當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時(shí)，（舍去）因?yàn)锽Q+CM=，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)M不重合所以符合題意當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時(shí)，此時(shí)，不符合題意故點(diǎn)Q與點(diǎn)M不能重合所以所求x的值為 （2）由（1）知，點(diǎn)Q 只能在點(diǎn)M的左側(cè)，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的左側(cè)時(shí)，由，解得當(dāng)x=2時(shí)四邊形PQMN是平行四邊形當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)時(shí)，由， 解得當(dāng)x=4時(shí)四邊形NQMP是平行四邊形所以當(dāng)時(shí)，以P，Q