2015年高考數(shù)學江蘇卷(共10頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2015年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）1已知集合，則集合中元素的個數(shù)為 【答案】5【解析】因為，所以該集合元素的個數(shù)為5 2已知一組數(shù)據(jù)4，6，5，8，7，6，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 【答案】6【解析】這6個數(shù)的和為36，故平均數(shù)為63設(shè)復數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則的模為 【答案】While End While Print （第4題）【解析】設(shè)，則，結(jié)合條件得解得所以4根據(jù)如圖所示的偽代碼，可知輸出的結(jié)果為 【答案】7【解析】 “追蹤”循環(huán)體（就在圖形的一旁標注，這樣不容易出錯）：于是，輸出5袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球.從

2、中一次隨機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為 【答案】【解析】從4個球中一次隨機地取2個球，有6種取法：（白, 紅），（白,黃1），（白,黃2），（紅, 黃1），（紅, 黃2），（黃1,黃2），其中，兩個球不同顏色有5種取法，故所求概率為（或先求顏色相同的概率為，再用對立事件求）6已知向量，若，則的值為 【答案】【解析】由，得解得故7不等式的解集為 【答案】【解析】原不等式即，得，即，得解集為8已知，則的值為 【答案】3【解析】9現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5，高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐與圓柱各一個，則新的底

3、面半徑為 【答案】【解析】設(shè)新的圓錐與圓柱的底面半徑都為，原圓錐的體積，由題意得，解得，即10在平面直角坐標系中，以點為圓心且與直線相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為 【答案】【解析】直線，即，該直線過定點，以點為圓心且與直線相切的所有圓中，最大半徑為這兩點間的距離，故所求圓的標準方程為11.設(shè)數(shù)列滿足，且，則數(shù)列前10項的和為 【答案】【解析】，將上面各式疊加得（也滿足），所以.所以數(shù)列的前10項和12在平面直角坐標系中，為雙曲線右支上的一個動點若點到直線的距離大于c恒成立，則實數(shù)c的最大值為 【答案】【解析】雙曲線的一條漸近線與已知直線平行，由題意知，所求的最大值，即這兩條直線間的距

4、離13已知函數(shù)，則方程實根的個數(shù)為 【答案】4；【解析】由，得，即或，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)與的圖像交點個數(shù).圖2先畫出的圖像和的圖像（圖1），由圖知與的圖像有2個交點，與的圖像也有2個交點（圖2），共4個交點，即方程實根的個數(shù)為4圖114設(shè)向量，則的值為 【答案】；解析：，于是，所以15在中，已知（1）求的長；（2）求的值解：（1）在中，由余弦定理得，所以.（2）在中，由正弦定理，得，所以.因為是最小邊，所以為銳角.所以.（第16題）所以 16如圖，在直三棱柱中，已知設(shè)的中點為，求證：（1）平面；（2）解：（1）因為三棱柱的側(cè)面均為平行四邊形，對角線互相平分，所以是的中點.又為的中點，所以為的中位

5、線，即.又平面，平面，所以平面.（2）因為棱柱是直三棱柱，所以平面，平面，所以，.又，所以為正方形.因為正方形對角線互相垂直平分，所以. 因為，且，所以平面.因為面，所以. 又，所以平面.因為平面，所以（第17題）17某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路.記兩條相互垂直的公路為，山區(qū)邊界曲線為，計劃修建的公路為.如圖所示，為的兩個端點，測得點到的距離分別為5千米和40千米，點到的距離分別為20千米和千米.以所在的直線分別為軸，建立平面直角坐標系.假設(shè)曲線符合函數(shù)（其中為常數(shù)）模型.（1）求的值；（2）設(shè)公路與曲線相切于

6、點，的橫坐標為 請寫出公路長度的函數(shù)解析式，并寫出其定義域； 當為何值時，公路的長度最短？求出最短長度解：（1）由題意，得點的坐標分別為，將其分別代入，得解得（2）由（1）知，則點.設(shè)在點處的切線交軸分別于點，則切線的方程為，由此得，故.設(shè)，則.令，解得.當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增.所以當時，有極小值，也是最小值，即，此時答：當時，公路的長度最短，最短長度為千米18如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，且右焦點到左準線的距離為3（1）求橢圓的標準方程；（第18題）（2）過的直線與橢圓交于兩點，線段的垂直平分線分別交直線和于點，若，求直線的方程解：（1）由題意得且，解得，則，所以橢圓

7、的標準方程為.（2）當軸時，不合題意；當與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為，設(shè)，將代入，得，則.因為為的中點，所以，. 若，則線段的垂直平分線為軸，與左準線平行，不合題意；從而，故直線的方程為，令，得，于是，由，得，解得.于是直線的方程為或19已知函數(shù).（1）試討論的單調(diào)性；（2）若（實數(shù)是與無關(guān)的常數(shù)），當函數(shù)有三個不同的零點時，的取值范圍恰好是，求的值解：（1），由，解得，.當時，因為，所以在上單調(diào)遞增；當時，時，；時，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，時，；時，；所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）由（1）知，函數(shù)的兩個極值為，則函數(shù)有三個不同零點等價于，從而或又，所以當時，或當時，.

8、設(shè)，因為函數(shù)有三個不同零點時，的取值范圍恰好是，則在上，且在上均恒成立，從而因此此時，.因為函數(shù)有三個不同零點，所以有兩個異于的不等實根，所以，且，解得，綜上20設(shè)是各項為正數(shù)且公差為的等差數(shù)列（1）證明：依次構(gòu)成等比數(shù)列；（2）是否存在，使得依次構(gòu)成等比數(shù)列？并說明理由；（3）是否存在及正整數(shù)，使得依次構(gòu)成等比數(shù)列？并說明理由（1）證明：因為是同一個不為0的常數(shù)（或證），所以依次構(gòu)成等比數(shù)列.（2）解：不存在，理由如下：令，則分別為假設(shè)存在，使得依次構(gòu)成等比數(shù)列，則再令，則化簡得將代入式，得，因為，所以，顯然不是上面方程的解，矛盾，所以假設(shè)不成立.因此不存在，使得依次構(gòu)成等比數(shù)列（3）解：不

9、存在，理由如下：假設(shè)存在及正整數(shù)，使得依次構(gòu)成等比數(shù)列，則，且，分別在兩個等式的兩邊同除以及，并令，則，且.將上述兩個等式兩邊取對數(shù)，得，且，化簡得，且，將這兩式相除，化簡得. （）令，則.再令，則.令，則.令，則. 由，知在和上均單調(diào).故只有唯一零點，即方程（）只有唯一解，故假設(shè)不成立.（第21題）所以不存在及正整數(shù)，使得依次構(gòu)成等比數(shù)列21 A選修4-1：幾何證明選講 如圖，在中，的外接圓的弦交于點求證：證明：因為，所以.又因為，所以.又為公共角，所以B選修4-2：矩陣與變換 已知，向量是矩陣的屬于特征值的一個特征向量，求矩陣以及它的另一個特征值解：由已知得，即，即，則解得所以矩陣.于是矩

10、陣的特征多項式.所以矩陣的另一個特征值為1C.選修4-4：坐標系與參數(shù)方程 已知圓的極坐標方程為，求圓的半徑.解：以極坐標系的極點為平面直角坐標系的原點，以極軸為軸的正半軸，建立直角坐標系，則，.原極坐標方程即，化簡，得，即，化為標準方程，所以圓的半徑為.D選修4-5：不等式選講 解不等式（第22題）解：原不等式可化為或解得或.所以原不等式的解集為22如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，,.（1）求平面與平面所成二面角的余弦值；（2）點是線段上的動點，當直線與所成的角最小時，求線段的長（第22題）解： （1）以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，因為平面，所以是平面的一個法向量因為，設(shè)平面的一個法向量為，則即得可取.設(shè)向量的夾角為，所以，所求二面角的平面角與相等或互補，根據(jù)圖形可知，所求二面角的平面角為銳角，所以平面與平面所成二面角的余弦值為.（2）因為，設(shè)，又，則，.從而.設(shè)，于是（當且僅當時取等號），此時.因為在上是減函數(shù)，所以此時直線與所成角取得最小值.又因為，所以23. 已知集合，令表示集合所含元素的個數(shù).（1）寫出的值；（2）當時，寫出的表達式，并用數(shù)學歸納法證明解：（1）時，當時，可以??；當時，可以??；當時，可以取，故