因動點產(chǎn)生的相似三角形問題 - 專題

1、因動點產(chǎn)生的相似三角形問題關(guān)鍵詞：動點、相似三角形動點：運動的點或者說是不確定的點，有時題目中會明確指出動點，有時題目中相關(guān)點的坐標含有參數(shù)，換言之就是在不同的條件下會有不同的位置，或者滿足條件的位置有多個。相似三角形：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個或多個三角形，兩個三角形相似的判定定理一般說來有3個， 定理1：兩個角對應(yīng)相等，兩三角形相似 AA” 定理2：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等 “SAS” 定理3：三邊對應(yīng)成比例。 “SSS”相似三角形的判定這3個定理，其中判定定理1和判定定理2都有對應(yīng)角相等的條件，因此探求兩個三角形相似的動態(tài)問題，一般情況下首先尋找一組對應(yīng)角相等應(yīng)用判定定理1解題，先尋

2、找一組等角，再分兩種情況討論另外兩組對應(yīng)角相等判定定理2是最常用的解題依據(jù)，一般分三步：尋找一組等角，分兩種情況列比例方程，解方程并檢驗如果已知AD，探求ABC與DEF相似，只要把夾A和D的兩邊表示出來，按照對應(yīng)邊成比例，分和兩種情況列方程應(yīng)用判定定理3解題不多見，根據(jù)三邊對應(yīng)成比例列連比式解方程（組）兩個直角三角形相似的判定方法（1） 有一個銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形相似（2）兩條直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似（3）斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似如果要討論相似的兩個三角形中有一個是直角三角形：如果一組銳角相等，其中一個直角三角形的銳角三角比是確定的，那么就轉(zhuǎn)化為討論另

3、一個三角形是直角三角形的問題由動點產(chǎn)生的相似三角形問題一般在函數(shù)和幾何圖中出現(xiàn)，其中以函數(shù)表現(xiàn)居多。題型一般有是否存在點P，使得：PDEABC 以P、D、E為頂點的三角形與ABC相似或者通過動點產(chǎn)生相似解決有關(guān)問題一般以大題為主，也有出現(xiàn)在填空后兩題。函數(shù)中因動點產(chǎn)生的相似三角形問題一般有三個解題過程 ： 求相似三角形的第三個頂點時，先要分析已知三角形的邊和角 的特點，進而得出已知三角形是否為特殊三角形。根據(jù)未知三角形中已知邊與已知三角形的可能對應(yīng)邊分類討論。 或利用已知三角形中對應(yīng)角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函數(shù)、對稱、旋轉(zhuǎn)等知識來推導(dǎo)邊的大小。 若兩個三角形的各邊均未給出，則應(yīng)先設(shè)

4、所求點的坐標進而用函數(shù)解析式來表示 各邊的長度，之后利用相似來列方程求解。涉及知識點： 全等相似的性質(zhì)及判定，一元二次方程解法，直角三角形中銳角三角函數(shù)，勾股定理，求線段的長，要用到兩點間的距離公式。例1、 (2014·浙江湖州，24，12分)已知在平面直角坐標系xOy中，O是坐標原點，以P(1，1)為圓心的P與x軸、y軸分別相切于點M和點N.點F從點M出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，連結(jié)PF，過點P作PEPF交y軸于點E.設(shè)點F運動的時間是t秒(t>0)(1)若點E在y軸的負半軸上(如圖所示)，求證：PEPF；(3)作點F關(guān)于點M的對稱點F.經(jīng)過M，E，F(xiàn)三點

5、的拋物線的對稱軸交x軸于點Q，連結(jié)QE.在點F運動過程中，是否存在某一時刻，使得以點Q，O，E為頂點的三角形與以點P，M，F(xiàn)為頂點的三角形相似，若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由(1)證明連結(jié)PM，PN.P與x軸、y軸分別相切于點M和點N，PMMF，PNON且PMPN，PMFPNE90°且NPM90°.PEPF，1290°3.在PMF和PNE中，圖1PMFPNE，PEPF.(2)解分兩種情況：當t>1時，點E在y軸的負半軸上，如圖1，由(1)得PMFPNE，NEMFt，PNPM1，bOFOMMF1t，aNEONt1.ba1t(t1)2，圖2b2a

6、.當0<t1時，如圖2，點E在y軸的正半軸上或原點，同理可證PMFPNE，bOFOMMF1t，aOEONNE1t，ba1t1t2，b2a.綜上所述，當t>1時，b2a；當0<t1時，b2a.(3)解存在，t的值是t，t，t2±.圖3如圖3，()當1t2時，F(xiàn)(1t，0)，F(xiàn)和F關(guān)于點M對稱，F(xiàn)(1t，0)經(jīng)過M，E和F三點的拋物線的對稱軸交x軸于點Q，Q(1t，0)OQ1t，由(1)得PMFPNE，NEMFt，OEt1.當OEQMPF時，解得，t或t(舍去)，當OEQMFP時，圖4，解得，t或t(舍去)()如圖4，當t2時，F(xiàn)(1t，0)，F(xiàn)和F關(guān)于點M對稱，F(xiàn)(1

7、t，0)經(jīng)過M，E和F三點的拋物線的對稱軸交x軸于點Q，Q(1t，0)OQt1.由(1)得PMFPNENEMFt，OEt1.當OEQ MPF，.，無解當OEQ MFP時，圖5解得，t2或t2<2舍去()如圖5，當0<t1時，F(xiàn)(1t，0)，F(xiàn)和F關(guān)于點M對稱，F(xiàn)(1t，0)經(jīng)過M，E，F(xiàn)三點的拋物線的對稱軸交x軸于點Q，Q，OQ1t.由(1)得PMFPNE，NEMFt， OE1t.當QOEFMP時，即2t23t20，此方程無解當QOEPMF時， 即t24t20，解得t12，t22>1(舍去)所以當t，t，t2±時，使得以點Q，O，E為頂點的三角形與以點P，M，F(xiàn)為頂

8、點的三角形相似例 2 （2014年衡陽28）（隱含動點） 二次函數(shù)yax2bxc（a0）的圖象與x軸交于A(3, 0)、B(1, 0)兩點，與y軸交于點C(0,3m)（m0），頂點為D（1）求該二次函數(shù)的解析式（系數(shù)用含m的代數(shù)式表示）；（3）如圖2，當m取何值時，以A、D、C三點為頂點的三角形與OBC相似？圖1 圖23討論ACD與OBC相似，先確定ACD是直角三角形，再驗證兩個直角三角形是否相似4直角三角形ACD存在兩種情況（1）因為拋物線與x軸交于A(3, 0)、B(1, 0)兩點，設(shè)ya(x3)(x1)代入點C(0,3m)，得3m3a解得am所以該二次函數(shù)的解析式為ym(x3)(x1)m

9、x22mx3m圖3 圖4 圖5（3）如圖4，過點D作y軸的垂線，垂足為E過點A作x軸的垂線交DE于F由ym(x3)(x1)m(x1)24m，得D(1,4m)在RtOBC中，OBOC13m如果ADC與OBC相似，那么ADC是直角三角形，而且兩條直角邊的比為13m如圖4，當ACD90°時，所以解得m1此時，所以所以CDAOBC如圖5，當ADC90°時，所以解得此時，而因此DCA與OBC不相似綜上所述，當m1時，CDAOBC例3（2014益陽市21）（幾何動點） 如圖1，在直角梯形ABCD中，AB/CD，ADAB，B60°，AB10，BC4，點P沿線段AB從點A向點B運

10、動，設(shè)APx（1）求AD的長；（2）點P在運動過程中，是否存在以A、P、D為頂點的三角形與以P、C、B為頂點的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由；思路點撥1第（2）題先確定PCB是直角三角形，再驗證兩個三角形是否相似圖文解析（1）如圖2，作CHAB于H，那么ADCH在RtBCH中，B60°，BC4，所以BH2，CH所以AD（2）因為APD是直角三角形，如果APD與PCB相似，那么PCB一定是直角三角形如圖3，當CPB90°時，AP1028所以，而此時APD與PCB不相似圖2 圖3 圖4如圖4，當BCP90°時，BP2BC8所以AP2所以所以APD

11、60°此時APDCBP綜上所述，當x2時，APDCBP例4 （2015湘西市26） 如圖1，已知直線yx3與x軸、y軸分別交于A、B兩點，拋物線yx2bxc經(jīng)過A、B兩點，點P在線段OA上，從點O出發(fā)，向點A以每秒1個單位的速度勻速運動；同時，點Q在線段AB上，從點A出發(fā)，向點B以每秒個單位的速度勻速運動，連結(jié)PQ，設(shè)運動時間為t秒（1）求拋物線的解析式；（4）設(shè)拋物線頂點為M，連結(jié)BP、BM、MQ，問：是否存在t的值，使以B、Q、M為頂點的三角形與以O(shè)、B、P為頂點的三角形相似？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由 圖1思路點撥3MBQ與BOP都是直角三角形，根據(jù)直角邊對應(yīng)成

12、比例分兩種情況討論解析（1）由yx3，得A(3, 0)，B(0, 3)將A(3, 0)、B(0, 3)分別代入yx2bxc，得 解得所以拋物線的解析式為yx22x3（2）在APQ中，PAQ45°，AP3t，AQt分兩種情況討論直角三角形APQ：當PQA90°時，APAQ解方程3t2t，得t1（如圖2）當QPA90°時，AQAP解方程t(3t)，得t1.5（如圖3）圖4 圖5（4）由yx22x3(x1)24，得M(1, 4)由A(3, 0)、B(0, 3)，可知A、B兩點間的水平距離、豎直距離相等，AB3由B(0, 3)、M(1, 4)，可知B、M兩點間的水平距離、

13、豎直距離相等，BM所以MBQBOP90°因此MBQ與BOP相似存在兩種可能：當時，解得（如圖5）當時，整理，得t23t30此方程無實根（2016湖州）如圖，已知二次函數(shù)y=-x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點A（3，1），點C（0，4），頂點為點M，過點A作ABx軸，交y軸于點D，交該二次函數(shù)圖象于點B，連結(jié)BC（1）求該二次函數(shù)的解析式及點M的坐標；（3）點P是直線AC上的動點，若點P，點C，點M所構(gòu)成的三角形與BCD相似，請直接寫出所有點P的坐標（直接寫出結(jié)果，不必寫解答過程）【分析】（3）由題意分析可得MCP=90°，則若PCM與BCD相似，則要進行分類討論，

14、分成PCMBDC或PCMCDB兩種，然后利用邊的對應(yīng)比值求出點坐標【解答】解：（1）把點A（3，1），點C（0，4）代入二次函數(shù)y=x2+bx+c得，解得二次函數(shù)解析式為y=x2+2x+4，配方得y=（x1）2+5，點M的坐標為（1，5）；（3）連接MC，作MGy軸并延長交AC于點N，則點G坐標為（0，5）MG=1，GC=54=1MC=，把y=5代入y=x+4解得x=1，則點N坐標為（1，5），NG=GC，GM=GC，NCG=GCM=45°，NCM=90°，由此可知，若點P在AC上，則MCP=90°，則點D與點C必為相似三角形對應(yīng)點若有PCMBDC，則有BD=1，CD=3，CP=，CD=DA=3，DCA=45°，若點P在y軸右側(cè)，作PHy軸，PCH=45°，CP=PH=把x=代入y=x+4，解得y=，P1（）；同理可得，若點P在y軸左側(cè)，則把x=代入y=x+4，解得y=P2（）；若