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1、乘法公式的復(fù)習(xí)一、復(fù)習(xí):(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a3b3 歸納小結(jié)公式的變式,準(zhǔn)確靈活運(yùn)用公式: 位置變化,(x+y)(-y+x)=x2-y2 符號(hào)變化,(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2 指數(shù)變化,(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4 系數(shù)變化,(2a+b)(2a-b)=4a2-b2 換式變化,xy+(z+m)xy-(z+m)=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z+m)(z+m)=x2y2-(z2+zm+zm+
2、m2)=x2y2-z2-2zm-m2 增項(xiàng)變化,(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2 連用公式變化,(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4 逆用公式變化,(x-y+z)2-(x+y-z)2 =(x-y+z)+(x+y-z)(x-y+z)-(x+y-z) =2x(-2y+2z) =-4xy+4xz例1已知,求的值。解: =, =例2已知,求的值。解: =, 例3:計(jì)算19992-20001998解析此題中2000=1999+1,1998=1999-1,正好符合平方
3、差公式。解:19992-20001998 =19992-(1999+1)(1999-1) =19992-(19992-12)=19992-19992+1 =1例4:已知a+b=2,ab=1,求a2+b2和(a-b)2的值。解析此題可用完全平方公式的變形得解。解:a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2=2 (a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4=0例5:已知x-y=2,y-z=2,x+z=14。求x2-z2的值。解析此題若想根據(jù)現(xiàn)有條件求出x、y、z的值,比較麻煩,考慮到x2-z2是由x+z和x-z的積得來的,所以只要求出x-z的值即可。解:因?yàn)閤-y=2,y-z=2,將兩式相加得x-z=
4、4,所以x2-z2=(x+z)(x-z)=144=56。例6:判斷(2+1)(22+1)(24+1)(22048+1)+1的個(gè)位數(shù)字是幾?解析此題直接計(jì)算是不可能計(jì)算出一個(gè)數(shù)字的答案,故有一定的規(guī)律可循。觀察到1=(2-1)和上式可構(gòu)成循環(huán)平方差。解:(2+1)(22+1)(24+1)(22048+1)+1 =(2-1)(22+1)(24+1)(22048+1)+1 =24096 =161024因?yàn)楫?dāng)一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字是6的時(shí)候,這個(gè)數(shù)的任意正整數(shù)冪的個(gè)位數(shù)字都是6,所以上式的個(gè)位數(shù)字必為6。例7運(yùn)用公式簡(jiǎn)便計(jì)算(1)1032 (2)1982解:(1)1032=(100+3)2 =1002+21
5、003+32 =10000+600+9 =10609 (2)1982=(200-2)2 =2002-22002+22 =40000-800+4 =39204例8計(jì)算(1)(a+4b-3c)(a-4b-3c) (2)(3x+y-2)(3x-y+2)解:(1)原式=(a-3c)+4b(a-3c)-4b=(a-3c)2-(4b)2=a2-6ac+9c2-16b2 (2)原式=3x+(y-2)3x-(y-2)=9x2-( y2-4y+4)=9x2-y2+4y-4例9解下列各式(1)已知a2+b2=13,ab=6,求(a+b)2,(a-b)2的值。(2)已知(a+b)2=7,(a-b)2=4,求a2+b
6、2,ab的值。(3)已知a(a-1)-(a2-b)=2,求的值。(4)已知,求的值。分析:在公式(a+b)2=a2+b2+2ab中,如果把a(bǔ)+b,a2+b2和ab分別看作是一個(gè)整體,則公式中有三個(gè)未知數(shù),知道了兩個(gè)就可以求出第三個(gè)。解:(1)a2+b2=13,ab=6 (a+b)2=a2+b2+2ab=13+26=25 (a-b)2=a2+b2-2ab=13-26=1 (2)(a+b)2=7,(a-b)2=4 a2+2ab+b2=7 a2-2ab+b2=4 +得 2(a2+b2)=11,即 -得 4ab=3,即 (3)由a(a-1)-(a2-b)=2 得a-b=-2 (4)由,得 即 即 例1
7、0四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積加上1,一定是平方數(shù)嗎?為什么?分析:由于1234+1=25=52 2345+1=121=112 3456+1=361=192 得猜想:任意四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積加上1,都是平方數(shù)。解:設(shè)n,n+1,n+2,n+3是四個(gè)連續(xù)自然數(shù)則n(n+1)(n+2)(n+3)+1 =n(n+3)(n+1)(n+2)+1 =(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1 =(n2+3n+1)2n是整數(shù), n2,3n都是整數(shù) n2+3n+1一定是整數(shù)(n2+3n+1)是一個(gè)平方數(shù) 四個(gè)連續(xù)整數(shù)的積與1的和必是一個(gè)完全平方數(shù)。例11計(jì)算 (1)(x2-x+1)2
8、 (2)(3m+n-p)2解:(1)(x2-x+1)2=(x2)2+(-x)2+12+2 x2(-x)+2x21+2(-x)1=x4+x2+1-2x3+2x2-2x=x4-2x3+3x2-2x+1 (2)(3m+n-p)2=(3m)2+n2+(-p)2+23mn+23m(-p)+2n(-p)=9m2+n2+p2+6mn-6mp-2np分析:兩數(shù)和的平方的推廣 (a+b+c)2 =(a+b)+c2 =(a+b)2+2(a+b)c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 =a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac 即(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac幾個(gè)數(shù)的和的平
9、方,等于它們的平方和加上每兩個(gè)數(shù)的積的2倍。二、乘法公式的用法(一)、套用:這是最初的公式運(yùn)用階段,在這個(gè)環(huán)節(jié)中,應(yīng)弄清乘法公式的來龍去脈,準(zhǔn)確地掌握其特征,為辨認(rèn)和運(yùn)用公式打下基礎(chǔ),同時(shí)能提高學(xué)生的觀察能力。例1. 計(jì)算: 解:原式(二)、連用:連續(xù)使用同一公式或連用兩個(gè)以上公式解題。例2. 計(jì)算:解:原式例3. 計(jì)算:解:原式三、逆用:學(xué)習(xí)公式不能只會(huì)正向運(yùn)用,有時(shí)還需要將公式左、右兩邊交換位置,得出公式的逆向形式,并運(yùn)用其解決問題。例4. 計(jì)算:解:原式四、變用: 題目變形后運(yùn)用公式解題。例5. 計(jì)算:解:原式五、活用: 把公式本身適當(dāng)變形后再用于解題。這里以完全平方公式為例,經(jīng)過變形或
10、重新組合,可得如下幾個(gè)比較有用的派生公式:靈活運(yùn)用這些公式,往往可以處理一些特殊的計(jì)算問題,培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。例6. 已知,求的值。解:例7. 計(jì)算:解:原式例8. 已知實(shí)數(shù)x、y、z滿足,那么( )解:由兩個(gè)完全平方公式得:從而 三、學(xué)習(xí)乘法公式應(yīng)注意的問題 (一)、注意掌握公式的特征,認(rèn)清公式中的“兩數(shù)”例1 計(jì)算(-2x2-5)(2x2-5)分析:本題兩個(gè)因式中“-5”相同,“2x2”符號(hào)相反,因而“-5”是公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a,而“2x2”則是公式中的b解:原式=(-5-2x2)(-5+2x2)=(-5)2-(2x2)2=25-4x4例2 計(jì)算(-a2+4b
11、)2分析:運(yùn)用公式(a+b)2=a2+2ab+b2時(shí),“-a2”就是公式中的a,“4b”就是公式中的b;若將題目變形為(4b-a2)2時(shí),則“4b”是公式中的a,而“a2”就是公式中的b(解略)(二)、注意為使用公式創(chuàng)造條件例3 計(jì)算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)分析:粗看不能運(yùn)用公式計(jì)算,但注意觀察,兩個(gè)因式中的“2x”、“5”兩項(xiàng)同號(hào),“y”、“z”兩項(xiàng)異號(hào),因而,可運(yùn)用添括號(hào)的技巧使原式變形為符合平方差公式的形式解:原式=(2x+5)+(y-z)(2x+5)-(y-z) =(2x+5)2-(y-z)2 =4x2+20x+25-y+2yz-z2例4 計(jì)算(a-1)2(a2+a+1
12、)2(a6+a3+1)2分析:若先用完全平方公式展開,運(yùn)算十分繁冗,但注意逆用冪的運(yùn)算法則,則可利用乘法公式,使運(yùn)算簡(jiǎn)便解:原式=(a-1)(a2+a+1)(a6+a3+1)2 =(a3-1)(a6+a3+1)2 =(a9-1)2=a18-2a9+1例5 計(jì)算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)分析:此題乍看無公式可用,“硬乘”太繁,但若添上一項(xiàng)(2-1),則可運(yùn)用公式,使問題化繁為簡(jiǎn)解:原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1) =(24-1)(24+1)(28+1) =(28-1)(28+1) =216-1(
13、三)、注意公式的推廣計(jì)算多項(xiàng)式的平方,由(a+b)2=a2+2ab+b2,可推廣得到:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc可敘述為:多項(xiàng)式的平方,等于各項(xiàng)的平方和,加上每兩項(xiàng)乘積的2倍例6 計(jì)算(2x+y-3)2解:原式=(2x)2+y2+(-3)2+22xy+22x(-3)+2y(-3)=4x2+y2+9+4xy-12x-6y(四)、注意公式的變換,靈活運(yùn)用變形公式 例7 (1)已知x+y=10,x3+y3=100,求x2+y2的值; (2)已知:x+2y=7,xy=6,求(x-2y)2的值分析:粗看似乎無從下手,但注意到乘法公式的下列變形:x2+y2=(x+y)2-2
14、xy,x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y),(x+y)2-(x-y)2=4xy,問題則十分簡(jiǎn)單解:(1)x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y),將已知條件代入得100=103-3xy10, xy=30 故x2+y2=(x+y)2-2xy=102-230=40 (2)(x-2y)2=(x+2y)2-8xy=72-86=1例8 計(jì)算(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b+c)+(b-a+c)2分析:直接展開,運(yùn)算較繁,但注意到由和及差的完全平方公式可變換出(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2),因而問題容易解決解:原式=(a+b)+c2+(a+b)-c2+c+(a-b)2+c
15、-(a-b)2 =2(a+b)2+c2+2c2+(a-b)2 =2(a+b)2+(a-b)2+4c2 =4a2+4b2+4c2(五)、注意乘法公式的逆運(yùn)用例9 計(jì)算(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2分析:若按完全平方公式展開,再相減,運(yùn)算繁雜,但逆用平方差公式,則能使運(yùn)算簡(jiǎn)便得多解:原式=(a-2b+3c)+(a+2b-3c)(a-2b+3c)-(a+2b-3c) =2a(-4b+6c)=-8ab+12ac例10 計(jì)算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2分析:此題可以利用乘法公式和多項(xiàng)式的乘法展開后計(jì)算,但逆用完全平方公式,則運(yùn)算更為簡(jiǎn)便解:原式=(2a+
16、3b)2+2(2a+3b)(4a-5b)+(4a-5b)2=(2a+3b)+(4a-5b)2=(6a-2b)2=36a2-24ab+4b2四、怎樣熟練運(yùn)用公式:(一)、明確公式的結(jié)構(gòu)特征這是正確運(yùn)用公式的前提,如平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是:符號(hào)左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘,且在這四項(xiàng)中有兩項(xiàng)完全相同,另兩項(xiàng)是互為相反數(shù);等號(hào)右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差,且是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方明確了公式的結(jié)構(gòu)特征就能在各種情況下正確運(yùn)用公式(二)、理解字母的廣泛含義乘法公式中的字母a、b可以是具體的數(shù),也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式理解了字母含義的廣泛性,就能在更廣泛的范圍內(nèi)正確運(yùn)用公式如計(jì)算(x+2y3z)2,若視x+2y
17、為公式中的a,3z為b,則就可用(ab)2=a22ab+b2來解了。(三)、熟悉常見的幾種變化有些題目往往與公式的標(biāo)準(zhǔn)形式不相一致或不能直接用公式計(jì)算,此時(shí)要根據(jù)公式特征,合理調(diào)整變化,使其滿足公式特點(diǎn)常見的幾種變化是:1、位置變化 如(3x+5y)(5y3x)交換3x和5y的位置后即可用平方差公式計(jì)算了2、符號(hào)變化 如(2m7n)(2m7n)變?yōu)椋?m+7n)(2m7n)后就可用平方差公式求解了(思考:不變或不這樣變,可以嗎?)3、數(shù)字變化 如98102,992,912等分別變?yōu)椋?002)(100+2),(1001)2,(90+1)2后就能夠用乘法公式加以解答了4、系數(shù)變化 如(4m+)(
18、2m)變?yōu)?(2m+)(2m)后即可用平方差公式進(jìn)行計(jì)算了5、項(xiàng)數(shù)變化 如(x+3y+2z)(x3y+6z)變?yōu)椋▁+3y+4z2z)(x3y+4z+2z)后再適當(dāng)分組就可以用乘法公式來解了(四)、注意公式的靈活運(yùn)用有些題目往往可用不同的公式來解,此時(shí)要選擇最恰當(dāng)?shù)墓揭允褂?jì)算更簡(jiǎn)便如計(jì)算(a2+1)2(a21)2,若分別展開后再相乘,則比較繁瑣,若逆用積的乘方法則后再進(jìn)一步計(jì)算,則非常簡(jiǎn)便即原式=(a2+1)(a21)2=(a41)2=a82a4+1對(duì)數(shù)學(xué)公式只會(huì)順向(從左到右)運(yùn)用是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,還要注意逆向(從右到左)運(yùn)用如計(jì)算(1)(1)(1)(1)(1),若分別算出各因式的值后再行相乘
19、,不僅計(jì)算繁難,而且容易出錯(cuò)若注意到各因式均為平方差的形式而逆用平方差公式,則可巧解本題即原式=(1)(1+)(1)(1+)(1)(1+)= =有時(shí)有些問題不能直接用乘法公式解決,而要用到乘法公式的變式,乘法公式的變式主要有:a2+b2=(a+b)22ab,a2+b2=(ab)2+2ab等用這些變式解有關(guān)問題常能收到事半功倍之效如已知m+n=7,mn=18,求m2+n2,m2mn+ n2的值面對(duì)這樣的問題就可用上述變式來解,即m2+n2=(m+n)22mn=722(18)=49+36=85,m2mn+ n2= (m+n)23mn=723(18)=103下列各題,難不倒你吧?!1、若a+=5,求
20、(1)a2+,(2)(a)2的值2、求(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)(264+1)+1的末位數(shù)字(答案:1.(1)23;(2)212. 6 )五、乘法公式應(yīng)用的五個(gè)層次乘法公式:(ab)(ab)=a2b2,(ab)=a22abb2,(ab)(a2abb2)=a3b3第一層次正用即根據(jù)所求式的特征,模仿公式進(jìn)行直接、簡(jiǎn)單的套用例1計(jì)算 (2)(2xy)(2xy)(2)原式=(y)2x(y)2x=y24x2第二層次逆用,即將這些公式反過來進(jìn)行逆向使用例2計(jì)算(1)199821998399419972; 解(1)原式=1998221998199719972
21、 =(19981997)2=1第三層次活用 :根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)特征,探尋規(guī)律,連續(xù)反復(fù)使用乘法公式;有時(shí)根據(jù)需要?jiǎng)?chuàng)造條件,靈活應(yīng)用公式例3化簡(jiǎn):(21)(221)(241)(281)1分析直接計(jì)算繁瑣易錯(cuò),注意到這四個(gè)因式很有規(guī)律,如果再增添一個(gè)因式“21”便可連續(xù)應(yīng)用平方差公式,從而問題迎刃而解解原式=(21)(21)(221)(241)(281)1=(221)(221)(241)(281)1=216例4計(jì)算:(2x3y1)(2x3y5)分析仔細(xì)觀察,易見兩個(gè)因式的字母部分與平方差公式相近,但常數(shù)不符于是可創(chuàng)造條件“拆”數(shù):1=23,5=23,使用公式巧解解原式=(2x3y32)(2x3y3
22、2)=(23y)(2x3)(23y)(2x3)=(23y)2(2x3)2=9y24x212x12y5第四層次變用 :解某些問題時(shí),若能熟練地掌握乘法公式的一些恒等變形式,如a2b2=(ab)22ab,a3b3=(ab)33ab(ab)等,則求解十分簡(jiǎn)單、明快例5已知ab=9,ab=14,求2a22b2和a3b3的值解: ab=9,ab=14,2a22b2=2(ab)22ab=2(92214)=106,a3b3=(ab)33ab(ab)=933149=351第五層次綜合后用 :將(ab)2=a22abb2和(ab)2=a22abb2綜合,可得 (ab)2(ab)2=2(a2b2);(ab)2(a
23、b)2=4ab;等,合理地利用這些公式處理某些問題顯得新穎、簡(jiǎn)捷 例6計(jì)算:(2xyz5)(2xyz5)解:原式=(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)2-(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)2=(2x5)2(yz)2=4x220x25y22yzz2六、正確認(rèn)識(shí)和使用乘法公式1、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想認(rèn)識(shí)乘法公式:對(duì)于學(xué)習(xí)的兩種(三個(gè))乘法公式:平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2、完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2,可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法來區(qū)分它們。假設(shè)a、b都是正數(shù),那么可以用以下圖形所示意的面積來認(rèn)識(shí)乘法公式。如圖1,兩
24、個(gè)矩形的面積之和(即陰影部分的面積)為(a+b)(a-b),通過左右兩圖的對(duì)照,即可得到平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2;圖2中的兩個(gè)圖陰影部分面積分別為(a+b)2與(a-b)2,通過面積的計(jì)算方法,即可得到兩個(gè)完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2與(a-b)2=a2-2ab+b2。2、乘法公式的使用技巧:提出負(fù)號(hào):對(duì)于含負(fù)號(hào)較多的因式,通常先提出負(fù)號(hào),以避免負(fù)號(hào)多帶來的麻煩。例1、 運(yùn)用乘法公式計(jì)算:(1)(-1+3x)(-1-3x); (2)(-2m-1)2解:(1)(-1+3x)(-1-3x)=-(1-3x)-(1+3x)=(1-3x)(1+3x)=12-(3x)2
25、=1-9x2.(2) (-2m-1)2=-(2m+1)2=(2m+1)2= 4m2+4m+1.改變順序:運(yùn)用交換律、結(jié)合律,調(diào)整因式或因式中各項(xiàng)的排列順序,可以使公式的特征更加明顯.例2、 運(yùn)用乘法公式計(jì)算:(1)()(); (2)(x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2)解:(1)()()=()()=()()= (2) (x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2)= (x-1/2) )(x+1/2)(x2+1/4)=(x2-1/4) (x2+1/4)= x2-1/16.逆用公式將冪的公式或者乘法公式加以逆用,比如逆用平方差公式,得a2-b2 = (a+b)(a-b),逆用積的乘方公式,得a
26、nbn=(ab)n,等等,在解題時(shí)常會(huì)收到事半功倍的效果。例3、 計(jì)算:(1)(x/2+5)2-(x/2-5)2 ; (2)(a-1/2)2(a2+1/4) 2(a+1/2)2解:(1)(x/2+5)2-(x/2-5)2 =(x/2+5)+(x/2-5) (x/2+5)-(x/2-5)=(x/2+5+x/2-5)( x/2+5-x/2+5)=x10=10x.(2)(a-1/2)2(a2+1/4) 2(a+1/2)2 =(a-1/2)(a2+1/4) (a+1/2) 2 =(a-1/2 ) (a+1/2) (a2+1/4) 2=(a2-1/4 ) (a2+1/4) 2 =(a4-1/16 ) 2
27、 =a8-a4/8+1/256.合理分組:對(duì)于只有符號(hào)不同的兩個(gè)三項(xiàng)式相乘,一般先將完全相同的項(xiàng)調(diào)到各因式的前面,視為一組;符號(hào)相反的項(xiàng)放在后面,視為另一組;再依次用平方差公式與完全平方公式進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算:(1)(x+y+1)(1-x-y); (2)(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).解:(1) (x+y+1)(1-x-y)=(1+x+y)(1-x-y)= 1+(x+y)1-(x+y)=12-(x+y)2=1-(x2+2xy+y2)= 1-x2-2xy-y2.(2)(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)=(2x+5+y-z)(2x+5-y+z)= (2x+5)+(y-z)(2x+5)-
28、(y-z)= (2x+5)2-(y-z)2 =(4x2+20x+25)-(y2-2yz+z2)= 4x2+20x+25-y2+2yz-z2 = 4x2-y2-z2+2yz +20x+25 .七、巧用公式做整式乘法整式乘法是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,是今后學(xué)習(xí)的基礎(chǔ),應(yīng)用極為廣泛。尤其多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式,運(yùn)算過程復(fù)雜,在解答中,要仔細(xì)觀察,認(rèn)真分析題目中各多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)特征,將其適當(dāng)變化,找出規(guī)律,用乘法公式將其展開,運(yùn)算就顯得簡(jiǎn)便易行。一. 先分組,再用公式 例1. 計(jì)算: 簡(jiǎn)析:本題若以多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的方法展開,則顯得非常繁雜。通過觀察,將整式運(yùn)用加法交換律和結(jié)合律變形為;將另一個(gè)整式變形為,則從其中找
29、出了特點(diǎn),從而利用平方差公式即可將其展開。 解:原式 二. 先提公因式,再用公式 例2. 計(jì)算: 簡(jiǎn)析:通過觀察、比較,不難發(fā)現(xiàn),兩個(gè)多項(xiàng)式中的x的系數(shù)成倍數(shù),y的系數(shù)也成倍數(shù),而且存在相同的倍數(shù)關(guān)系,若將第一個(gè)多項(xiàng)式中各項(xiàng)提公因數(shù)2出來,變?yōu)椋瑒t可利用乘法公式。 解:原式 三. 先分項(xiàng),再用公式 例3. 計(jì)算: 簡(jiǎn)析:兩個(gè)多項(xiàng)中似乎沒多大聯(lián)系,但先從相同未知數(shù)的系數(shù)著手觀察,不難發(fā)現(xiàn),x的系數(shù)相同,y的系數(shù)互為相反數(shù),符合乘法公式。進(jìn)而分析如何將常數(shù)進(jìn)行變化。若將2分解成4與的和,將6分解成4與2的和,再分組,則可應(yīng)用公式展開。 解:原式= 四. 先整體展開,再用公式 例4. 計(jì)算: 簡(jiǎn)析:乍看兩個(gè)多項(xiàng)式無聯(lián)系,但把第二個(gè)整式分成兩部分,即,再將第一個(gè)整式與之相乘,利用平方差公式即可展開。 解:原式 五. 先補(bǔ)項(xiàng),再用公式 例5. 計(jì)算: 簡(jiǎn)析:由觀察整式,不難發(fā)現(xiàn),若先補(bǔ)上一項(xiàng),則可滿足平方差公式。多次利用平方差公式逐步展開,使運(yùn)算變得簡(jiǎn)便易行。 解:原式 六. 先用公式,再展開 例6. 計(jì)算: 簡(jiǎn)析:第一個(gè)整式可表示為,由簡(jiǎn)單的變化,可看出整式符合平方差公式,其它因式類似變化,進(jìn)一步變換成分?jǐn)?shù)的積,化簡(jiǎn)即可。 解:原式 七. 乘法公式交替用 例7. 計(jì)
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