壓桿穩(wěn)定講稿材料力學(xué)教案顧志榮

1、第十二章 壓 桿 穩(wěn) 定同濟(jì)大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院 顧志榮一、教學(xué)目標(biāo)深入理解彈性平衡穩(wěn)定性的概念熟練應(yīng)用壓桿的臨界力公式，掌握桿端約束對(duì)臨界力的影響壓桿的分類與臨界應(yīng)力曲線掌握壓桿穩(wěn)定性計(jì)算的方法二、教學(xué)內(nèi)容穩(wěn)定的概念兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的歐拉臨界力桿端約束的影響臨界應(yīng)力總圖壓桿穩(wěn)定性計(jì)算三、重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：歐拉臨界力公式、壓桿的分類、壓桿穩(wěn)定性計(jì)算難點(diǎn)：歐拉臨界力公式、壓桿的分類、壓桿穩(wěn)定性計(jì)算四、教學(xué)方式 采用啟發(fā)式教學(xué)，通過提問，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生回答問題。五、計(jì)劃學(xué)時(shí) 3學(xué)時(shí)六、實(shí)施學(xué)時(shí)七、講課提綱壓桿穩(wěn)定問題的提出鋼尺： (a) (b) (c) 圖12-1圖12-1(a),鋼尺，桿長(zhǎng)，

2、屬于強(qiáng)度問題圖14-1(b),鋼尺,桿長(zhǎng)，按歐拉公式計(jì)算臨界力。圖14-1(c), 鋼尺,桿長(zhǎng)，按歐拉公式計(jì)算臨界力。若，則(一)穩(wěn)定平衡與不穩(wěn)定平衡的概念1、穩(wěn)定平衡(a) (b) (c) 圖12-2壓桿在力F的作用下，其軸線與F的作用線重合，這種狀態(tài)稱為壓桿的直線形狀的平衡狀態(tài)，如圖12-2(a)所示。 在圖12-2(a)的基礎(chǔ)上，在橫向施加一個(gè)微小的干擾力，使壓桿脫離原來直線形狀的平衡狀態(tài)，（見圖12-2(b)虛線所示）從圖12-2(b)上除去橫向干擾力，如果壓桿能恢復(fù)到原有圖12-2(a)的直線形狀的平衡狀態(tài)，則壓桿原來直線形狀的平衡（圖12-2(a)）稱為穩(wěn)定平衡。2、不穩(wěn)定平衡見圖

3、12-2(c)，即：在圖12-2(b)上除去干擾力，壓桿不能恢復(fù)到原來圖12-2(a)的直線形狀的平衡狀態(tài)（虛線位置），即在彎曲狀態(tài)下保持平衡，則原來的直線形狀的平衡12-2(c)稱為不穩(wěn)定平衡。(二)壓桿的失穩(wěn)與臨界力1、當(dāng)壓桿所承受的壓力F小于某一確定的值Fcr。即F < Fcr 時(shí)，壓桿能保持原有直線形狀的平衡狀態(tài)，則壓桿是穩(wěn)定的；2、當(dāng)壓桿承受的壓力F 超過這一確定的值Fcr，即F >Fcr時(shí)，壓桿不再維持原有直線形狀的平衡狀態(tài)，即直線形狀下的平衡狀態(tài)喪失了穩(wěn)定性,稱為壓桿失穩(wěn)。3、顯然，上述這一確定的值Fcr，是壓桿從穩(wěn)定過度到失穩(wěn)的臨界力。注意：臨界力是一個(gè)數(shù)值，它既不

4、是外力，也不是內(nèi)力，它是壓桿保持直線形狀穩(wěn)定平衡所能承受的最大的壓力（再大一點(diǎn)壓桿就失穩(wěn)）；或者說，它是壓桿喪失直線形狀穩(wěn)定平衡所需要的最小壓力（再小一點(diǎn)就不再失穩(wěn)）。在小變形和材料服從虎克定律的條件下，計(jì)算壓桿臨界壓力的歐拉公式為： (A)式中I 為喪失穩(wěn)定方向壓桿橫截面的慣性矩，為壓桿的長(zhǎng)度，長(zhǎng)度系數(shù)與壓桿兩端的約束條件有關(guān)：兩端固定： 一端固定，另一端鉸支：兩端鉸支： 一端固定，另一端自由：(三)臨界應(yīng)力與臨界應(yīng)力總圖1、臨界應(yīng)力在臨界力作用下，壓桿橫截面上的平均應(yīng)力稱為臨界應(yīng)力。歐拉臨界應(yīng)力計(jì)算式: 稱為截面的慣性半徑。壓桿的長(zhǎng)度； 支承形式； 截面幾何性質(zhì)i。 令稱為壓桿的柔度，它反

5、映： 注意：只有當(dāng)壓桿內(nèi)的應(yīng)力不超過材料的比例極限時(shí)，用歐拉公式計(jì)算臨界力才是正確的，即則壓桿材料的柔度極限值；鋼：，2、臨界應(yīng)力總圖何謂臨界應(yīng)力總圖？根據(jù)壓桿臨界應(yīng)力在比例極限內(nèi)的歐拉公式，以及超過比例極限的經(jīng)驗(yàn)公式，將臨界應(yīng)力與柔度的函數(shù)關(guān)系用曲線表示，得到的函數(shù)曲線稱為臨界應(yīng)力總圖。臨界應(yīng)力總圖圖12-3由圖12-3可見：臨界應(yīng)力總圖就是表示隨變化的規(guī)律，對(duì)于不同范圍的，其計(jì)算的公式也不同。圖12-3中：AD段屬于強(qiáng)度問題。CD段是以經(jīng)驗(yàn)公式繪制的斜直線；CB段是以歐拉公式繪出的曲線。這三段曲線：D點(diǎn)是強(qiáng)度問題和穩(wěn)定問題的分界點(diǎn)，C點(diǎn)是求臨界應(yīng)力的歐拉公式與經(jīng)驗(yàn)公式的分界點(diǎn)。的壓桿這類桿

6、件稱為大柔度桿或細(xì)長(zhǎng)桿，其失穩(wěn)為彈性穩(wěn)定問題。臨界應(yīng)力由歐拉公式計(jì)算； (B)的壓桿這類桿件稱為中柔度桿，其失穩(wěn)為超過比例極限的穩(wěn)定問題。臨界應(yīng)力由直線形式的經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算：(C)式中的a、b是與材料有關(guān)的常數(shù)。注意：是應(yīng)用直線公式時(shí)的最低值。所對(duì)應(yīng)的臨界應(yīng)力等于材料的極限應(yīng)力。 即：則 A3鋼的壓桿這類桿件稱為小柔度桿，主要為強(qiáng)度問題。其臨界應(yīng)力等于材料的極限應(yīng)力。對(duì)于塑性材料：對(duì)于脆性材料：例題12-1： 長(zhǎng)度為的壓桿如圖示，由鋼制成，橫截面有四種，面積均為。已知：，,。試計(jì)算圖12-4所示截面壓桿的臨界荷載。圖12-4解：1、矩形截面： 慣性半徑壓桿的柔度則2、正方形截面： 3、圓形截面

7、4、空心圓截面 屬小柔度桿，其臨界荷載應(yīng)按強(qiáng)度計(jì)算：可見，在面積相同情況下，空心圓截面壓桿的臨界荷載最高，即承載能力最強(qiáng)。(四)壓桿的穩(wěn)定計(jì)算1、安全系數(shù)法壓桿的穩(wěn)定條件： 規(guī)定的穩(wěn)定安全系數(shù)上式用應(yīng)力形式表示為：工程上常用的穩(wěn)定條件： n壓桿工作時(shí)的實(shí)際安全系數(shù)關(guān)鍵：臨界力的計(jì)算例題12-2 圖12-5所示壓桿，若在繞y軸失穩(wěn)時(shí)，兩端可視為鉸支；若在繞z軸失穩(wěn)時(shí)，則兩端可看作為固定支座。壓桿的材料為A3鋼，E=200MPa, ,。截面為：。已知，。試校核壓桿的穩(wěn)定性。解：1、計(jì)算立柱在繞y軸失穩(wěn)時(shí)的臨界力在繞y軸失穩(wěn)時(shí)，可視為兩端鉸支； 圖12-5 屬大柔度桿，用歐拉公式計(jì)算：2、計(jì)算立柱在

8、繞z軸失穩(wěn)時(shí)的臨界力在繞z軸失穩(wěn)時(shí)，可視為兩端固定， 該桿在在繞z軸失穩(wěn)時(shí)屬于中柔度桿，其臨界力由經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算：3、結(jié)論該桿的臨界力，則其工作安全系數(shù)故壓桿的穩(wěn)定性符合規(guī)定要求。2、折減系數(shù)法壓桿的穩(wěn)定條件：工作應(yīng)力， 許用壓應(yīng)力，是一個(gè)小于1的系數(shù)，稱為折減系數(shù)，其數(shù)值與壓桿的材料及柔度有關(guān)。注意：若給定，則按安全系數(shù)法對(duì)壓桿進(jìn)行穩(wěn)定校核；若給定而未給出時(shí)，則按折減系數(shù)法對(duì)壓桿進(jìn)行穩(wěn)定校核。例題12-3 圖12-6所示托架，撐桿AB為圓木桿。兩端鉸支，試求AB桿的直徑d解：1、求2、求 圖12-63、求設(shè)，則 查表，與假設(shè)相距甚遠(yuǎn)。設(shè) 查表，設(shè) 查表，設(shè) 則(五)極限荷載、容許荷載的概念。圖12-7例題12-4 鋼結(jié)構(gòu)受力如圖12-8所示，AB桿為剛桿，桿件和桿件材料的彈性模量，比例極限，屈服極限，桿長(zhǎng)，容許應(yīng)力，試：1、求結(jié)構(gòu)所能承受的極限荷載及其作用位置。2、求結(jié)構(gòu)所能承受的最大的容許荷載及其作用位置。注：只需考慮紙平面內(nèi)的穩(wěn)定問題。解：1、計(jì)算，桿： ；，即桿為細(xì)長(zhǎng)桿。 圖12-8 桿：； ， 桿為中長(zhǎng)桿。2、求及其作用位置桿： 或桿：，得3、求及其作用位置桿：=150，=0.306 =0.306×170=52.02MPa桿：， ,得例題12-5 試求圖12-9所示結(jié)構(gòu)的極限荷載。已知