圓全章復(fù)習(xí)講義

1、內(nèi)容簡介：1圓的相關(guān)概念；2、垂徑定理；3、圓心角、圓周角定理；4、與圓有關(guān)的位置關(guān)系;5、切線及切線長定理； 6、弧長及扇形面積。【知識(shí)要點(diǎn)1 圓的概念集合形式的概念：1、圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合；2、圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長的點(diǎn)的集合；3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長的點(diǎn)的集合軌跡形式的概念：1、圓：至U定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓；（補(bǔ)充）2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫中垂線）3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線；4、 到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是

2、：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條 直線；5、 到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的 一條直線?！局R(shí)要點(diǎn)2 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1、點(diǎn)在圓內(nèi)d : r點(diǎn)C在圓內(nèi);2、點(diǎn)在圓上d = r點(diǎn)B在圓上;3、點(diǎn)在圓外d r點(diǎn)A在圓外;【知識(shí)要點(diǎn)3 直線與圓的位置關(guān)系【知識(shí)要點(diǎn)圓與圓的位置關(guān)系外離（圖1）無交點(diǎn)外切（圖2）有一個(gè)交點(diǎn)相交（圖3）有兩個(gè)交點(diǎn)R - r : d內(nèi)切（圖4）有一個(gè)交點(diǎn)內(nèi)含（圖5）無交點(diǎn)圖4圖51、直線與圓相離=d r =無交點(diǎn)；2、直線與圓相切-d =r 二有一個(gè)交點(diǎn);3、直線與圓相交二 d : r 二有兩個(gè)交點(diǎn);【知識(shí)要點(diǎn)5

3、 垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧。推論1：（ 1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。唬?）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧以上共4個(gè)定理，簡稱2推3定理：此定理中共 5個(gè)結(jié)論中，只要知道其中 2個(gè)即可推出其它3個(gè)結(jié)論，即：AB是直徑 AB _CD CE =DE弧BC =弧BD弧AC工弧AD中任意2個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即:在O O 中， AB /CD弧AC =弧 BD【知識(shí)要點(diǎn)6 圓心角定理EOAD圓心角定理：同圓或等圓中，相

4、等的圓心角所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弧相等，弦心距相等。此定理也稱1推3定理，即上述四個(gè)結(jié)論中，只要知道其中的1個(gè)相等，則可以推出其它的 3個(gè)結(jié)論，即： AOB "DOE : AB =DE ；OC =OF :弧BA二弧BD【知識(shí)要點(diǎn)7 圓周角定理1、圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的角的一半。即：. AOB和.ACB是弧AB所對(duì)的圓心角和圓周角 AOB =2 ACB2、圓周角定理的推論：推論1:同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧是等??；即：在O O中，二C、 D都是所對(duì)的圓周角上 C ZD推論2：半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；圓周角是直角所對(duì)的弧是半

5、圓,所對(duì)的弦是直徑。即：在O O中， AB是直徑或C=90 - C =90.AB 是直徑推論3:若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是 直角三角形。即：在 ABC 中，tOC =OA=OBC ABC是直角三角形或 C =90注：此推論實(shí)是初二年級(jí)幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理?！局R(shí)要點(diǎn)8 圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角。即：在o O中，四邊形ABCD是內(nèi)接四邊形 C . BAD =180. B D =180DAE = C【知識(shí)要點(diǎn)9 切線的性質(zhì)與判定定理（1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑

6、的直線是切線； 兩個(gè)條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即： MN _ OA且MN過半徑OA外端MN是O O的切線（2 ）性質(zhì)定理：切線垂直于過切點(diǎn)的半徑（如上圖）推論1 ：過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。推論2 :過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理：即：過圓心；過切點(diǎn)；垂直切線，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)?！局R(shí)要點(diǎn)10 切線長定理切線長定理:DDADOPC從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即： PA、PB是的兩條切線PA 二 PBPO平分 BPA【知識(shí)要點(diǎn)11 圓幕定理(1)相交弦定理：圓內(nèi)兩弦

7、相交，交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等。即：在O O中，弦AB、CD相交于點(diǎn)P ,PA PB 二 PC PD(2 )推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線 段的比例中項(xiàng)。即：在O O中，直徑AB _CD ,2CE 二 AE BE(3)切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這 點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。即：在O O中， PA是切線，PB是割線PA PC PB(4) 割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等(如上圖)。即：在O O中，I PB、PE是割線PC PB = PD PE【知識(shí)要點(diǎn)12 兩圓公共弦定理圓公

8、共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個(gè)圓的的公共弦。如圖：0Q2垂直平分AB。即：O01、O 02相交于A、B兩點(diǎn)0102垂直平分AB【知識(shí)要點(diǎn)13 三角形的內(nèi)心、外心1、內(nèi)心：三角形的內(nèi)切圓(1) 定義：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。(2 )三角形內(nèi)心的性質(zhì)：是三角形角平分線的交點(diǎn)；到三角形各邊的距離相等；都在三角形 內(nèi)。2、外心：三角形的外接圓(1 )定義：經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓。(2) 三角形外心的性質(zhì)：是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)；到三角形各頂點(diǎn)距離相等；外心的位置：銳角三角形外心在三角形內(nèi)，直角三角形的外心恰好是斜邊的中點(diǎn)，鈍角三角形外心在3、弦切角【知識(shí)要點(diǎn)14 圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算(1 )正三角形在OO中厶ABC是正三角形，有關(guān)計(jì)算在 Rt BOD中進(jìn)行：OD :BD :0B =1: .3 :2 ;(2 )正四邊形 同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在 Rt OAE中進(jìn)行，0E : AE:0A=1:1:、2 :(3 )正六邊形 同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在 Rt OAB中進(jìn)行，AB:0B:0A=1: .,3:2 .BADE0BA【知識(shí)要點(diǎn)15】扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計(jì)算公式n兀R1、扇形：(1)弧長公式：丨nn R21(2 )扇形面積公式：S1R3602n :圓心角R :扇形多對(duì)應(yīng)的圓的半徑1 :扇形弧長 S :扇形面積2、圓柱:(1 )