必修一值域求法

1、函 數(shù) 解 析 式 的 七 種 求 法 待定系數(shù)法：在已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時(shí)，可用待定系數(shù)法。例1 設(shè)是一次函數(shù)，且，求解：設(shè) ，則 配湊法：已知復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式，求的解析式，的表達(dá)式容易配成的運(yùn)算形式時(shí)，常用配湊法。但要注意所求函數(shù)的定義域不是原復(fù)合函數(shù)的定義域，而是的值域。 例2 已知 ，求 的解析式解：， 三、換元法：已知復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式時(shí)，還可以用換元法求的解析式。與配湊法一樣，要注意所換元的定義域的變化。例3 已知，求解：令，則， 四、代入法：求已知函數(shù)關(guān)于某點(diǎn)或者某條直線的對稱函數(shù)時(shí)，一般用代入法。例4已知：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，求的解析式解：設(shè)為上任一點(diǎn)，且為關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn) 則，

2、解得： ，點(diǎn)在上 把代入得： 整理得 例5 設(shè)求解 顯然將換成，得 解 聯(lián)立的方程組，得例6 設(shè)為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，又試求的解析式解 為偶函數(shù)，為奇函數(shù)， 又 ，用替換得： 即 解 聯(lián)立的方程組，得， 六、賦值法：當(dāng)題中所給變量較多，且含有“任意”等條件時(shí)，往往可以對具有“任意性”的變量進(jìn)行賦值，使問題具體化、簡單化，從而求得解析式。 例7 已知：，對于任意實(shí)數(shù)x、y，等式恒成立，求解對于任意實(shí)數(shù)x、y，等式恒成立，不妨令，則有 再令 得函數(shù)解析式為：七、遞推法：若題中所給條件含有某種遞進(jìn)關(guān)系，則可以遞推得出系列關(guān)系式，然后通過迭加、迭乘或者迭代等運(yùn)算求得函數(shù)解析式。例8 設(shè)是定義在上的函數(shù)，

3、滿足，對任意的自然數(shù) 都有，求 解 ，不妨令，得：，又 分別令式中的 得：將上述各式相加得：， 2.4.求下列函數(shù)的解析式: (1)已知f(x+1)=x2-3x+2，求f(x). (2)已知f(x)+2f()=3x,求f(x)的解析式8.已知f（x）是一次函數(shù)，且2f(x)+f(-x)=3x+1對xR恒成立，則f（x）=_.函數(shù)值域求法十一種1. 直接觀察法對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。 例1. 求函數(shù)的值域。解： 顯然函數(shù)的值域是： 例2. 求函數(shù)的值域。解：故函數(shù)的值域是： 2. 配方法配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。 例3. 求函數(shù)的值域。解：將函數(shù)配方得：由二次

4、函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)x=1時(shí)，當(dāng)時(shí)，故函數(shù)的值域是：4，8 3. 判別式法 例4. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)化為關(guān)于x的一元二次方程（1）當(dāng)時(shí)，解得：（2）當(dāng)y=1時(shí)，而故函數(shù)的值域?yàn)?例5. 求函數(shù)的值域。解：兩邊平方整理得：（1）解得：但此時(shí)的函數(shù)的定義域由，得由，僅保證關(guān)于x的方程：在實(shí)數(shù)集R有實(shí)根，而不能確保其實(shí)根在區(qū)間0，2上，即不能確保方程（1）有實(shí)根，由 求出的范圍可能比y的實(shí)際范圍大，故不能確定此函數(shù)的值域?yàn)椤？梢圆扇∪缦路椒ㄟM(jìn)一步確定原函數(shù)的值域。代入方程（1）解得：即當(dāng)時(shí)，原函數(shù)的值域?yàn)椋鹤ⅲ河膳袆e式法來判斷函數(shù)的值域時(shí)，若原函數(shù)的定義域不是實(shí)數(shù)集時(shí)，應(yīng)綜合函數(shù)的定義域，將擴(kuò)

5、大的部分剔除。 4. 反函數(shù)法直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域。 例6. 求函數(shù)值域。解：由原函數(shù)式可得：則其反函數(shù)為：，其定義域?yàn)椋汗仕蠛瘮?shù)的值域?yàn)椋?5. 函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，反客為主來確定函數(shù)的值域。 例7. 求函數(shù)的值域。解：由原函數(shù)式可得：解得：故所求函數(shù)的值域?yàn)?例8. 求函數(shù)的值域。解：由原函數(shù)式可得：，可化為：即即解得：故函數(shù)的值域?yàn)?6. 函數(shù)單調(diào)性法 例9. 求函數(shù)的值域。解：令則在2，10上都是增函數(shù)所以在2，10上是增函數(shù)當(dāng)x=2時(shí)，當(dāng)x=10時(shí)，故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?例10. 求函數(shù)的值

6、域。解：原函數(shù)可化為：令，顯然在上為無上界的增函數(shù)所以，在上也為無上界的增函數(shù)所以當(dāng)x=1時(shí)，有最小值，原函數(shù)有最大值顯然，故原函數(shù)的值域?yàn)?7. 換元法通過簡單的換元把一個(gè)函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，換元法是數(shù)學(xué)方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作用。 例11. 求函數(shù)的值域。解：令，則又，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故函數(shù)的值域?yàn)?例12. 求函數(shù)的值域。解：因即故可令故所求函數(shù)的值域?yàn)?例13. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可變形為：可令，則有當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，而此時(shí)有意義。故所求函數(shù)的值域?yàn)?例14. 求函數(shù)，的值域。解：令，則由且可得

7、：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故所求函數(shù)的值域?yàn)椤?例15. 求函數(shù)的值域。解：由，可得故可令當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?8. 數(shù)形結(jié)合法其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離公式直線斜率等等，這類題目若運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目。 例16. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可化簡得：上式可以看成數(shù)軸上點(diǎn)P（x）到定點(diǎn)A（2），間的距離之和。由上圖可知，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長線或反向延長線上時(shí)，故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?例17. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)可變形為：上式可看成x軸上的點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和，由圖可知當(dāng)點(diǎn)P為線段與x軸的交點(diǎn)時(shí)，故所求函數(shù)的值域

8、為 例18. 求函數(shù)的值域。解：將函數(shù)變形為：上式可看成定點(diǎn)A（3，2）到點(diǎn)P（x，0）的距離與定點(diǎn)到點(diǎn)的距離之差。即：由圖可知：（1）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上且不是直線AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，如點(diǎn)，則構(gòu)成，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有即：（2）當(dāng)點(diǎn)P恰好為直線AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，有綜上所述，可知函數(shù)的值域?yàn)椋鹤ⅲ河衫?7，18可知，求兩距離之和時(shí)，要將函數(shù)式變形，使A、B兩點(diǎn)在x軸的兩側(cè)，而求兩距離之差時(shí)，則要使A，B兩點(diǎn)在x軸的同側(cè)。如：例17的A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為：（3，2），在x軸的同側(cè)；例18的A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（3，2），在x軸的同側(cè)。 9. 不等式法利用基本不等式，求函數(shù)的最值，其題型特

9、征解析式是和式時(shí)要求積為定值，解析式是積時(shí)要求和為定值，不過有時(shí)需要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧。 例19. 求函數(shù)的值域。解：原函數(shù)變形為：當(dāng)且僅當(dāng)即當(dāng)時(shí)，等號成立故原函數(shù)的值域?yàn)椋?例20. 求函數(shù)的值域。解：當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號成立。由可得：故原函數(shù)的值域?yàn)椋?10. 一一映射法原理：因?yàn)樵诙x域上x與y是一一對應(yīng)的。故兩個(gè)變量中，若知道一個(gè)變量范圍，就可以求另一個(gè)變量范圍。 例21. 求函數(shù)的值域。解：定義域?yàn)橛傻霉驶蚪獾霉屎瘮?shù)的值域?yàn)?11. 多種方法綜合運(yùn)用 例22. 求函數(shù)的值域。解：令，則（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)t=1，即時(shí)取等號，所以（2）當(dāng)t=0時(shí)，y=0。綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)椋鹤ⅲ合葥Q元，后用不等式法 例