數(shù)學(xué)中的恒成立與有解問題

1、 數(shù)學(xué)中的恒成立與有解問題一、恒成立問題 若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上 若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價于在區(qū)間上 常用方法 1、分離變量法；2、數(shù)形結(jié)合法；3、利用函數(shù)的性質(zhì)；4、變更主元等；1、由二次函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)的取值范圍例題1.若關(guān)于的不等式在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.解題思路：結(jié)合二次函數(shù)的圖象求解解析：當(dāng)時,不等式解集不為,故不滿足題意;當(dāng)時,要使原不等式解集為,只需,解得 綜上,所求實數(shù)的取值范圍為2、轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值求參數(shù)的取值范圍例題2：已知二次函數(shù)滿足，而且，請解決下列問題（1） 求二次函數(shù)的解析式。（2） 若在區(qū)間上恒成立 ，求的取值范圍。解題思路：先分

2、離系數(shù),再由二次函數(shù)最值確定取值范圍.解析：(1)設(shè).由得,故. 即,所以,解得 (2)由(1)知在恒成立,即在恒成立.令,則在上單調(diào)遞減.所以在上的最小值為.所以的取值范圍是.規(guī)律總結(jié)：對一切恒成立,則;對一切恒成立,則；注意參數(shù)的端點值能否取到需檢驗。二、有解問題3、方程的有解問題例題3：題干與例題2相同（1） 同例題2.（2）若在區(qū)間上恒成立 ，求的取值范圍。解題思路：先分離系數(shù),再由二次函數(shù)值域確定取值范圍.解析：(1)解法同例題2(2)由(1)知在恒成立,即在恒成立.令,則在上單調(diào)遞減.所以在上的最大值為，最小值為，所以的取值范圍是。規(guī)律總結(jié)：若方程在某個區(qū)間上有解只需求出在區(qū)間上的

3、值域A使。4、不等式的有解問題例題4題干與例題2相同（1） 同例題2.（2） 若在區(qū)間上有解 ，求的取值范圍。解題思路：先分離系數(shù),再由二次函數(shù)最值確定取值范圍.解析：(1)解法同例題2(2)由(1)知在有解,即在有解令,則在上單調(diào)遞減.所以在上的最大值為.所以的取值范圍是。.規(guī)律總結(jié)：在區(qū)間內(nèi)有解,則;在區(qū)間內(nèi)有解,則；注意參數(shù)的端點值能否取到需檢驗。一、確定“主元”思想常量與變量是相對的，一般地，可把已知范圍的那個看作自變量，另一個看作常量例1.對于滿足0的一切實數(shù)，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，求x的取值范圍分析：習(xí)慣上把x當(dāng)作自變量，記函數(shù)y= x2+(p-4)x+3-p

4、,于是問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)p時y>0恒成立，求x的范圍解決這個問題需要應(yīng)用二次函數(shù)以及二次方程實根分布原理，這是相當(dāng)復(fù)雜的若把x與p兩個量互換一下角色，即p視為變量，x為常量，則上述問題可轉(zhuǎn)化為在0,4內(nèi)關(guān)于p的一次函數(shù)大于0恒成立的問題解：設(shè)f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，當(dāng)x=1時顯然不滿足題意由題設(shè)知當(dāng)0時f(p)>0恒成立，f(0)>0,f(4)>0即x2-4x+3>0且x2-1>0，解得x>3或x<-1x的取值范圍為x>3或x<-1二、分離變量對于一些含參數(shù)的不等式問題，如果能夠?qū)⒉坏仁竭M(jìn)行同解變形，將不等式中的變量和參數(shù)進(jìn)

5、行分離，即使變量和參數(shù)分別位于不等式的左、右兩邊，然后通過求函數(shù)的值域的方法將問題化歸為解關(guān)于參數(shù)的不等式的問題。三、數(shù)形結(jié)合對于含參數(shù)的不等式問題，當(dāng)不等式兩邊的函數(shù)圖象形狀明顯，我們可以作出它們的圖象，來達(dá)到解決問題的目的 例3設(shè)，若不等式恒成立，求a的取值范圍 分析與解：若設(shè)函數(shù)，則，其圖象為上半圓設(shè)函數(shù)，其圖象為直線在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)圖象如圖，依題意要使半圓恒在直線下方，只有圓心到直線的距離且時成立，即a的取值范圍為 例5、不等式(x-1)2<logax 在x(1,2)上恒成立，求a的取值范圍。xyo12y1=(x-1)2y2=logax分析：這種類型的不等式對高中學(xué)生來說直

6、接求解是很困難的，所以一般來說采用數(shù)形結(jié)合的方法。 解：設(shè)y1=(x-1)2,y2=logax,如右圖所示 要使對一切x(1,2),y1<y2恒成立，顯然須a>1, 且loga21。1<a2四、分類討論當(dāng)不等式中左、右兩邊的函數(shù)具有某些不確定因素時，應(yīng)用分類討論的方法來處理，分類討論可使原問題中的不確定因素變成確定因素，為問題的解決提供新的條件。例4當(dāng)時，不等式恒成立，求a的取值范圍解：（1）當(dāng)時，由題設(shè)知恒成立，即，而 解得（2）當(dāng)時，由題設(shè)知恒成立，即，而 解得a的取值范圍是已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍問題方法：轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題:即“若函數(shù)單調(diào)遞增,則;若函數(shù)單調(diào)遞

7、減,則 ”來求解.例：若函數(shù)在上單調(diào)遞減,求實數(shù)的取值范圍. 思路點撥: 先求出導(dǎo)函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系或轉(zhuǎn)化為恒成立問題求解. 解析：方法一：由在上單調(diào)遞減知，即在上恒成立, 即在上恒成立.故只需, 故. 綜上可知，的取值范圍是3,+). 方法二：當(dāng)時，,故在上單調(diào)遞增，與在 上單調(diào)遞減不符，舍去. 當(dāng)時，由得x0，即的單調(diào)遞減區(qū)間為，與 在上單調(diào)遞減不符，舍去. 當(dāng)時，由得0x，即的減區(qū)間為，由在 上單調(diào)遞減得,得a3. 綜上可知，的取值范圍是3,+).練習(xí)3(2012·許昌模擬)若不等式ax2bx20的解集為，則ab （ ）A28 B26 C28 D26解析x2，是方程

8、ax2bx20的兩根，a4，b7.ab28.答案C7. 若不等式的解集中的整數(shù)有且僅有1,2,3，則的取值范圍是 .8. 設(shè)函數(shù)，則的最小值是 3 ，若，則的取值范圍是 . 9.不等式對任意實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍為 （ B ）A. B. C. D.10不等式ax22ax10對一切xR恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為_解析當(dāng)a0時，不等式為10恒成立；當(dāng)a0時，須即0a1，綜上0a1.答案0,112. 已知關(guān)于的不等式0的解集是.則 .【解析】由不等式判斷可得a0且不等式等價于由解集特點可得答案：-214.已知不等式ax24xa12x2對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍審題視點 化為標(biāo)準(zhǔn)形

9、式ax2bxc0后分a0與a0討論當(dāng)a0時，有解原不等式等價于(a2)x24xa10對一切實數(shù)恒成立，顯然a2時，解集不是R，因此a2，從而有整理，得所以所以a2.故a的取值范圍是(2，) 不等式ax2bxc0的解是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是當(dāng)a0時，b0，c0；當(dāng)a0時，不等式ax2bxc0的解是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是當(dāng)a0時，b0，c0；當(dāng)a0時，【訓(xùn)練2】 當(dāng)x(1,2)時，不等式x2mx4<0恒成立，則m的取值范圍是_解析法一當(dāng)x(1,2)時，不等式x2mx4<0可化為：m<，又函數(shù)f(x)在(1,2)上遞增，則f(x)>5，則m5.法二設(shè)g(x)x2m

10、x4當(dāng)，即m3時，g(x)g(2)82m，當(dāng)，即m3時，g(x)g(1)5m由已知條件可得：或解得m5答案(，515.若a1,3時,不等式ax2+(a-2)x-2>0恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.15. 【解析】設(shè)f(a)=a(x2+x)-2x-2，則當(dāng)a1,3時f(a)>0恒成立.得x>2或x<-1.實數(shù)x的取值范圍是x>2或x<-1.1.（不等式選做題）若關(guān)于的不等式存在實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是 【分析】先確定的取值范圍，再使得能取到此范圍內(nèi)的值即可【解】當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；綜上可得，所以只要，解得或，即實數(shù)的取值范圍是【答案】.1不等式對一切R恒成

11、立，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：不等式對一切R恒成立, 即 對一切R恒成立若=0,顯然不成立若0，則 2.若不等式x2ax1³0對于一切xÎ（0，）成立，則a的取值范圍是（ ）A0 B 2 C- D-3解析：設(shè)f（x）x2ax1，則對稱軸為x,若³，即a£1時，則f（x）在0，上是減函數(shù)，應(yīng)有f（）³0Þ£x£1若£0，即a³0時，則f（x）在0，上是增函數(shù)，應(yīng)有f（0）1>0恒成立，故a³0若0££，即1£a£0，則應(yīng)有f（）恒成立，故1

12、£a£0 綜上，有£a,故選C 4、已知不等式在實數(shù)集上的解集不是空集，求實數(shù)的取值范圍_（答：）3、若不等式對滿足的所有都成立，則的取值范圍_（答：（,）；5、若不等式對的所有實數(shù)都成立，求的取值范圍.（答：）1已知yx3bx2(b2)x3是R上的單調(diào)增函數(shù)，則b的取值范圍是() Ab1或b2 Bb2或b2 C1b2 D1b2 解析D由題意，得yx22bxb20在R上恒成立，4b24(b2)0， 解得1b2.2函數(shù)f(x)x3(2a)x22ax5在區(qū)間1,1上不單調(diào)，則a的取值范圍是_ 解析f(x)x2(2a)x2a(x2)(xa)0的兩根為x12，x2a.若f

13、(x)在1,1 上不單調(diào)，則1<a<1. 3已知a>0，函數(shù)f(x)x3ax在1，)上是單調(diào)增函數(shù)，則a的最大值是_ 解析由題意知，f(x)3x2a在1，)上有3x2a0恒成立，a(3x2)min，而 (3x2)min3，a3.4已知f(x)exax1. 若f(x)在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍 解析 f(x)exax1， f(x)exa.f(x)在R上單調(diào)遞增， f(x)exa0恒成立，即aex，xR恒成立 xR時，ex(0，)，a0. 即a的取值范圍為(，0 5函數(shù)f(x)mx5在區(qū)間2，)上是增函數(shù)，則f(1)的取值范圍是_ 解析由題意知2，m16，f(1)9m2

14、5. 6.已知函數(shù)在R上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍 解由題意得f(x)3ax26x1.若f(x)在R上是減函數(shù)， 則(xR)恒成立， 解得a3. 故實數(shù)a的取值范圍是(，3 7.已知函數(shù)在(，1上是增函數(shù)，試求實數(shù)a的取值范圍 解析f(x)3x22ax1，由于函數(shù)f(x)在(，1上是增函數(shù)， 當(dāng)x(，1時，(在個別點f(x)可以為0)恒成立， 即3x22ax10在x1時恒成立令g(x)3x22ax1， 4a2120或， 即a23或 a23，即a. 故a的取值范圍是，1已知函數(shù)若在區(qū)間是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍。解： ，要使在區(qū)間是增函數(shù)，只需當(dāng)時，恒成立，即，則恒成立，故當(dāng)時，在區(qū)間是增函數(shù)。3.（