中南大學(xué)線性代數(shù)試卷

1、考試試卷 1閉卷考試時(shí)間： 100 分鐘、填空題（本題15 分，每小題3 分）1、設(shè) A A,A 2 ,A3 ,A4 為四階方陣，其中Ai （ i 1,2,3,4 ） 為 A 的第 i 個(gè)列向量 ,令 B A A2,A2 A3, A3 A4, A4 A，則 B2、 設(shè) A 為三階方陣，A 為 A 的伴隨矩陣，且| A|3，則 |(A) 1|32111 1設(shè) A 3213 t ，且R(A) 2，則 t。、1t3524若n 階方陣 A 有特征值，則 f(A)Akk 1ak 1Aa° 必有、A a E特征值。52 222yz經(jīng)正交變換化為f y14y2，、若一次型 f2 x3y22xzz

2、2axy則 a0、選擇題（本題15 分，每題3 分）1、設(shè) A 是 n 階方陣，則 |A| 0的必要條件是（）。（A） A 中兩行（列）元素對(duì)應(yīng)成比例；（B） A 中有一行元素全為零；（C）任一行元素為其余行的線性組合；（D）必有一行元素為其余行的線性組2、設(shè) A 是 n 階對(duì)稱陣， B 是 n 階反對(duì)稱陣，則下列矩陣中反對(duì)稱矩陣是（） (A) BAB ;(B)ABA;(C)ABAB ;(D)BABA o3、設(shè)向量組 11,1, ，T,21,2,3 T,31, 3, t T, 當(dāng) t (）時(shí)，向量組 1 ,2 ,線性相關(guān)。(A) 5(B) 4(C) 3( D)24、設(shè) A為43 矩陣， 1,2

3、, 3 是非齊次線性方程組Ax b 的3 個(gè)線性無關(guān)的解向量 ,k1, k 2 為任意常數(shù) , 則非齊次線性方程組Ax b 的通解為（）。(A)3k1 ( 21) ；( B)2 2 3k 1 ( 2 1 )；2(C)31)；(D) 2232k1 ( 21) k 2(3k 1 ( 21 ) k 2 (331 )其中X 11E 為單位矩陣。為 X 的伴隨矩陣 ,五、（本題 14 分)設(shè)向量組 11,0,1 T ,20,1T,31, 3,5T 不能由向量組11,UT,21,2,3 T,33,4, kT 線性表示。（1）求向量組 1,2 ,3 的一個(gè)極大無關(guān)組 ;（3）將向量 1用 1 ,2,3線性表

4、示。5110設(shè)方陣 A1k0 是正定矩陣，則 必有（）、00k2。( A)k 0 ；( B) k1( C)k 2 ；( D) k1。；三（本8 分）計(jì)?算行列、題式a0a1a n 2a n 11 000x100其中a0,1,2, ,n 1 o,0,i0 0X10 00X12 分）設(shè) AXE A2X，且 A1 01四 （本0 20，求矩陣 X 及 X、 題1 01六、（本題14 分）X1X2 0，已知齊次線性方程組（n）設(shè)齊次線性方程組（ I ）為（2）求 k 的值 ;x2 x40的通解為 ki 0,1,1,0 T k2 1,2,2,1 T。（ 1 ）求方程組（ I）的基礎(chǔ)解系；（ 2）問方程組

5、（ I ）和（ n）是否有非零公共解？若有，則求出所有非零公共解，若沒有，則說明理由。（ 1）已知A的一個(gè)特征值為2, 求 x;00（ 2）求方陣P，使 AP TAP為對(duì)角陣。01七、（本題 14設(shè)矩陣 A1000分）八、（本題 8試證001X分）明 :1 bb00 b112 b 1bb的取大特征值為 a 1（ n 1 ） b ，其中 0 b 1 。n 階矩陣 Aa參考答案、填空題（本題15分，每題3分） 、2、4、 f（） ；5、 。1 0;1二、選擇題（本題15 分，每題3分） 1、D;2 、B;3 、A；4 、C；5、B.三、（本題 8 分）解：從第一行開始，每行乘x 后逐次往下一行加，

6、 再按最后一行展開得 :原式 =a0xn 1a1xn 2an 2X a n 1 。四、（本題 12 分） 解:AXA2X，得： （AE)XA20,(AE）可逆，故 X由于 X(X 1)1XX五、（本題14 分 )解：（ 1）3)，A0,R(A)3 線性無關(guān)，3 是向量組2,3 的一個(gè)極大無關(guān)組;（2）由于4 個(gè) 3 維向量1, 2,3,i( i1,2,3 ）線性相關(guān) ,若 1，2，3 線性無關(guān)，則i 可由 1，2，3 線性表示，與題設(shè)矛盾;于是 1,2，3 線性相關(guān)，從而I 1， 2，3 |113124k 50, k 5 。13k(3)令 B(1 0111002241, 2,3,1)013 1

7、0104 ，1123。1 1510011六、（本題110 00 0 0；，所以方程組（1）的14 分）解：（ 1） A0101基礎(chǔ)解系為 :1 0,0,1,0 T,1,1,0,1(2 ) 設(shè) k1 0,1,1,0 Tk21,2,2,1 T k3 1k4 2 ，即1k11k2k30,k4故上述方程組的解為k(1,1,1,1 ） T，于是方程所有非零公共解為 :組k( 1,1,1,1)T(k0 為任意常數(shù)）。七、（本14 分）解 :(1)題11X1) 211 12 代人上式，得（2 ）由（ 1），顯然A 為實(shí)對(duì)稱陣，而A T A令 ATAA2O，顯然 AT A 和 A2 也是實(shí)對(duì)稱A 2陣,由 E

8、 A20，得 A2的特征值1 對(duì)應(yīng)的特征向量為(1, 1) T，單位化 :A1 是單位陣 ,0,24 ，(、 2.2、T2 22 對(duì)應(yīng)的特征向量為(1,1) T單位化 :，0022 ，則有 APAPPT(A TA)P22丄,222G，)T，八、（本8 分）證明：由題2a2ba2 ba2ba2ba2a2 ba2b2b na2(1 n )a 2b 0aa2 aa2ba2 ba2ba2得 A 的特征值i a21 (n 1)b,23n a2(1 b) ,0 b 1,a 220,1故 A 的最大特征值是a21 (n 1)b 。考試試卷 2閉卷考試時(shí)間： 100 分鐘、填空題（本題15 分，每小題3 分）

9、1、若 n 階行列式零元素的個(gè)數(shù)超過n （n-1）個(gè)，則行列式為k1111k113、設(shè) A=k，且 R(A)=3，貝 U111111k1 1=( 1,2,3，設(shè) A=T ，則 An =5、設(shè) A 為 n 階方陣， A0, A 為 A 的伴隨矩陣， E 為 n 階單位陣 ,2、若 A 為 4 階矩陣，且A =丄，則 (3A) 1 2A= 。2,則（ A） 2E 必有特征值 _、選擇題（本題15 分，每題 3 分）1、設(shè) A，B,C 為 n 階方陣， E 為 n 階單位陣，且ABC=E則下列各式中（4、已知向量 ，=（1,2,3 ），（A） CAB=E（B）（ C） BCA=E（D）2、設(shè) A,B

10、 均為 n 階非零矩陣，且（A）必有一個(gè)等于零（ C） 一個(gè)小于 n, 個(gè)等于 n 3、下列命題中正確的是（A 有特征值）不成立。B1A1C1E）。C 1A 1 B 1 E（B）都小于 n（D）都等于 nAB=O則它們的秩滿足（A）在線性相關(guān)的向量組中，去掉若干個(gè)向量后所得向量組仍然線性相關(guān)（B ）在線性無關(guān)的向量組中，去掉每個(gè)向量的最后若干分量后仍然線性無關(guān)（C）任何 n+k 個(gè) n 維向量（ k 1）必然線性相關(guān)（ D）若只有 k,k2, k m 全為零時(shí)，等式k,k 1 1才成立，且m 線性無關(guān)，則m 線性無關(guān)4、設(shè) 1(1, 2,1) T ， 2 (1,1,1) T ,則 3=(）時(shí)，

11、有 1 ,2,3 為 R3 的基(A)(2,1,2) T ( B) (1,0,1) T( C) (0,1,0) T( D) (0,0,1) T11111、（ 10 分）計(jì)算 n 階行列式 Dn, 并求該行列式展開后的正項(xiàng)總11數(shù)。11112105、設(shè)二次型的矩陣為 A112，且此二次型的正慣性指數(shù)為3，則02k10 1四、（10 分）設(shè)AXE = A2 X ,且 A020，求矩陣 X 及(X 1)，其中1 0 1(A) k>8( B) k>7(C) k>6(D)k>5（ X 1）為 X 1 的伴隨矩陣， E 為單位矩陣。五、（本題14 分）設(shè)有向量組172530111_

12、， 2“， 3小，4214060312（ 1）求該向量組的秩 ;（ 2）求該向量組的一個(gè)最大無關(guān)組，并把其余向量分別用求得的最大無關(guān)組線性表出。六、（本題 14 分）設(shè)向量 （1, 1,1 ） ，（ 1）求 3 階方陣 A T 的特征值與特征向量 ;（ 2）求一正交矩陣 Q,使 Q T AQ 為對(duì)角矩陣。1 2a114 分）設(shè)矩陣 A 12b ，七、（本題1 、222 2c2（ 1 ）問 a,b,c 為何值時(shí) A 是正交矩陣（2 ）當(dāng) A 是正交矩陣時(shí)，求方程組AX1 的解。八、（本題8 分）證明： n 維列向量組1，2線性無關(guān)的充要條件是TTT11121nTTTD21222nTTTn1n2n

13、n其中 iT 表示向量 i 的轉(zhuǎn)置， i1,2, ,n 。參考答案、填空 :（每小題 3 分, 共計(jì) 15分）1、0 ；32 .-3 ；81n4、 A3二、選擇:（每小題 3共計(jì) 151、D 2分,、 C分）、（本題 10 分）（練習(xí)冊(cè)P117）C1C 20 .0 .解 :DnC3C12 .nc； C設(shè) Dn 展開式中正、負(fù)項(xiàng)總數(shù)分別為X1,X 2,貝 y X1 x2 n! , x1 x22n 1 ，于是正項(xiàng)總數(shù)為 x111 （2n 1n!） o2四、（本題 10 分）解：由 AXE A X，得：(AE)XA2E ,10, (A E) 可逆，故20 1X A E030;102由于X90,1 、

14、， 11XX 岡 X1 、，1201C30 .9-0。102五、(本題 14 分)解：將矩陣六、(本題 14 分)解：A= T11EA2(3)11,2 ,3,4 化為最簡形階梯形矩陣1725110110023011030101031321406001100133101200000000(1)R1,2,3,43；(2 ) 1, 2, 3 為所求的一個(gè)最大線性無關(guān)組，且41 1(1 )A 的特征值為0,0,3；由 AX=0得對(duì)應(yīng)的 0 的特征向量為k 1 l 0 ,k,l0 1為不全為零的任意常數(shù)，由 (3E A)X 0 得對(duì)應(yīng) 3 的特征向量為c為任意非零常數(shù)。11 1(2)將 10 正交化，得

15、112，再單位化，得01 0111單位化得1： 2 為所求正交陣。61使20QTAQ03七、（本題14 分）解：（ 1）若 A 是正交矩陣，則A 的列向量兩兩正交，故有2a 2 2 201 2b 202a 2 2b 2 2c 0解得 a1,c0 時(shí) A 是正交矩2，b陣。2(2)T1 11111211T111.2201XA1A111 、211 1.218八、（本題分）證：記矩陣 A(1，2，n ），則TTTTa11 11 2-1nTTTTT2 12 2-2 nA Aa21) 2,?TTTTnn 1n 2-n n由于ATAAT|A |A2D ，從而得1, 2， n 線性無關(guān)2A0A0D0。考試試

16、卷 3閉卷考試時(shí)間： 100 分鐘一、填空題 ( 本題 15 分，每小題 3 分)2 1 01、設(shè) f (x) x 23，矩陣 A，則 f (A)。432、 _設(shè) A,B 為 n 階矩陣，如果有 n 階可逆矩陣 P，使 _ 成立，貝 U稱 A 與 B相似。3、 n 元非齊次線性方程組Am n X b 有唯一解的充分必要條件是_ 。2 2 24、已知二次型f (X 1, X 2,X3) 5X1 5X 2 3X3 2X 1X2 6X1X3 6X 2X3，則二次型f 對(duì)應(yīng)的矩陣 A。5、設(shè) 4 階方陣 A 滿足： |A 0, 3E A 0, AA T 2E ，( 其中 E 是單位矩陣 ) ，則 A

17、的 伴隨矩陣 A*必有一個(gè)特征值為_ 。二、選擇題 ( 本題15 分，每題 3 分 )1、 已知 4 階方陣 A 的伴隨矩陣為A*，且 A 的行列式 | A|3，則 | A* () 。( A)81(B) 27(C) 12(D) 92、 設(shè) A、B 都是 n 階方陣，且A 與 B 有相同的特征值，并且A、B 都有 n 個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則 ()。(A)A與 B相似(B)AB(C)AB，但 AB0(D)A與B不一定相似，但AB3、 設(shè) n 階方陣 A 為正定矩陣，下面結(jié)論不正確的是 ()(A)A 可逆(B) A 1也是正定矩陣(C)(D) A 的所有元素全為正4、若 n 階實(shí)方陣 A A ,

18、E 為 n 階單位矩陣，則（(A)R(A)R(AE)(B) R(A) R(A E) n(C)R(A)R(AE)（D）無法比較R(A)R(AE） 與 n 的大小5、設(shè)其中 C1, C2, C3, C4為任意常數(shù) ,C1C2C3C4則下列向量組線性相關(guān)的為(A )1,2,3( B)(C)(D)三、（ 10 分）計(jì)算 n（n 2 ）階行列式 DDn 的主對(duì)角線上的元素都為x，其余位置元素都為a，且 x四、（ 10 分）設(shè) 3 階矩陣 A、B 滿足關(guān)系 :1ABA6A BA，且 A0求矩陣 B。五、 （10分） 設(shè)方陣 A 滿足 A2A 2E0 （其中 E 是單位矩陣），求A 1,（ A 2E) 1。

19、六、 （12分）已知向量組（ 1）求向量組A 的秩 ;（ 2）求向量組A 的一個(gè)最大線性無關(guān)組，并把不屬于該最大無關(guān)組的其它向量用該最大無關(guān)組線性表出。1 1000七、（ 14 分）設(shè)矩陣 A1與矩陣B010 相似,1 1002(1 )求(2) 求正交矩陣 P，使 P 1 AP B 。23X1a1x2a1 X3a123八、 ( 14 分) 設(shè)有線性方程組為X1a2x2a? X3a223X183X2a3 X3a3X184X22334 X3a4(1 ) 證明：若 a1, a2,a3, a4 兩兩不等，則此方程組無解;(2 ) 設(shè) a1a3k, a 2a4k(k 0) , 且已知1, 2 是該方程組

20、的兩個(gè)解，其中(1,1,1) T, 2(1,1,1)T ，寫出此方程組的通解。參考答案二、 填空： ( 每小題 3 分，共計(jì) 15 分)5132 0 11、； 2、 P 1AP B ； 3、R(A) R(A, b) n； 4 、A 1538 633345、 一 o3二、 選擇： ( 每小題 3 分，共計(jì) 15 分)1、B2 、A3 、D4 、C5 、C、 ( 本題 10 分)( 見教材 P44 習(xí)題第 5 題)解：后面n 1 列都加到第1 列，得X(n 1)aaLa1 aLaX(n 1)aXLa1 XLaDnLLLLx(n 1)aLLL LX(n 1)aaLX1 aLX1aLa0XaL0n 1X (n1)a LLLLx (n 1)a(xa)00Lx a四、（本題 10 分）12 00100解：B 6(A 1 E) 16 0 400100 070011006006 030020。006001五、（本題 10 分） （見練習(xí)冊(cè) P118 第五大題第1 小題