“圖形的認(rèn)識(shí)”核心知識(shí)

1、“圖形的認(rèn)識(shí)”核心知識(shí)的深層理解 在小學(xué)階段，“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)內(nèi)容主要是歐幾里得幾何，歐幾里得幾何學(xué)是現(xiàn)實(shí)世界最簡(jiǎn)單、最粗略、最直觀的近似刻畫(huà)，它把空間分解為最基本的元素點(diǎn)、線、面，用公理來(lái)規(guī)定點(diǎn)、線、面、體之間的關(guān)系，再用形式邏輯規(guī)則來(lái)推證一系列的性質(zhì)。歐氏幾何學(xué)所使用的工具很簡(jiǎn)單，所以只研究涉及直線、平面、直方體等“平直性”的變化。研究對(duì)象是抽象出來(lái)的那些平直的概念，比方：點(diǎn)、線、面、體、角。在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)當(dāng)注意的是，這些概念涉及的線都是直的，涉及的面都是平的。一、“圖形的認(rèn)識(shí)”內(nèi)容結(jié)構(gòu)關(guān)于圖形的認(rèn)識(shí)，小學(xué)階段主要是歐式幾何空間中的點(diǎn)、線、面、體、角，描述平面圖形與立體圖形的

2、特征與性質(zhì)。小學(xué)數(shù)學(xué)中“圖形的認(rèn)識(shí)”只要涉及平面圖形和立體圖形，具體包括：點(diǎn)；線：直線、射線、線段；角：直角、銳角、鈍角、平角；平面圖形：三角形、四邊形長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、梯形、圓；立體圖形：長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、圓錐、球。二、“圖形的認(rèn)識(shí)”深層理解2011年版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在數(shù)學(xué)課程的總體目標(biāo)中明確提出四基的觀念，具體包括基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。那么，在學(xué)習(xí)“圖形的認(rèn)識(shí)”的過(guò)程中，除了要把握?qǐng)D形的特征與性質(zhì)以外，在基本思想與基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)方面，有怎樣的教育功能和價(jià)值？是需要教師深層次認(rèn)識(shí)和理解的。從數(shù)學(xué)的視角來(lái)看，教學(xué)圖形的認(rèn)識(shí)，其核心要把握5個(gè)方面：圖形的抽象、圖形

3、的分類(lèi)、圖形的定義、圖形的性質(zhì)、圖形的轉(zhuǎn)化。一圖形的抽象圖形是人類(lèi)通過(guò)對(duì)客觀物體的長(zhǎng)期觀察逐漸抽象出來(lái)的。抽象的核心是把物體的外部形象用線條描繪在二維平面上。這種抽象不僅舍去了物體的顏色、構(gòu)成材料等物體的本質(zhì)要素，還忽略了所占空間。例如：點(diǎn)是位置的抽象，在幾何中用“點(diǎn)”來(lái)標(biāo)記一個(gè)物體的位置生活中的樓房、公園；地圖上的城市；天空中的天體，不管多大的物體都可以根據(jù)實(shí)際描述的需要用點(diǎn)來(lái)表示；線是路徑的抽象，我們把“從一個(gè)地方到另一個(gè)地方”抽象為線段、折線段或曲線段。生活中長(zhǎng)短、寬窄和高矮不同的物體，都占據(jù)一定的空間，這些反映到我們的腦子里就有了形狀的概念，就抽象成了幾何圖形?！伴L(zhǎng)方形”不是某個(gè)具體的

4、物體，而是抽象了的圖形，是一種理念上的存在。在歐氏幾何里，點(diǎn)只有位置，不分大??；線段只有長(zhǎng)度，不分寬窄；面只有長(zhǎng)度和寬度，不分薄厚。二圖形的分類(lèi)分類(lèi)是一種十分重要的科學(xué)思想方法。在分類(lèi)的過(guò)程中，既要關(guān)注圖形的共性也要關(guān)注圖形的差異，而共性和差異都是抽象的結(jié)果，是抽象的具體表達(dá)。所以圖形分類(lèi)能夠培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力。在認(rèn)識(shí)圖形的過(guò)程中，不僅僅要讓學(xué)生學(xué)會(huì)區(qū)別圖形，知道哪一種圖形叫什么名字，更重要的是讓學(xué)生通過(guò)認(rèn)識(shí)圖形學(xué)會(huì)分類(lèi)。只有讓學(xué)生感悟到了圖形的分類(lèi)，教學(xué)才具有一般意義。通過(guò)分類(lèi)的過(guò)程要讓學(xué)生感悟到：如何合理地制訂分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)；如何遵循標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行合理的分類(lèi)。因?yàn)樵谌粘Ｉ詈蜕a(chǎn)實(shí)踐中，制定標(biāo)準(zhǔn)和遵循

5、標(biāo)準(zhǔn)都是不可或缺的，因此，有效地實(shí)施這樣的教育過(guò)程，特別是讓學(xué)生在分類(lèi)過(guò)程中感悟標(biāo)準(zhǔn)是如何制訂的，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是非常重要的。經(jīng)驗(yàn)告訴我們，對(duì)于差異大的東西分類(lèi)比較容易，能夠很容易看出分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)。對(duì)于差異小的東西分類(lèi)則比較困難，標(biāo)準(zhǔn)不容易發(fā)現(xiàn)。比方，要分辨三角形和四邊形就比較容易，因?yàn)橹恍璺直鎴D形多邊形邊數(shù)的多少即可。因此可以根據(jù)邊數(shù)制訂分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)：邊數(shù)不同的圖形多邊形為不同的圖形。而分辨長(zhǎng)方形和正方形就比較困難，因?yàn)殚L(zhǎng)方形和正方形存在包含關(guān)系，或者說(shuō)正方形是長(zhǎng)方形的特例。此外，對(duì)銳角三角形和鈍角三角形也比較難分辨，很難直接找出不同的地方。事實(shí)上，在分辨銳角三角形和鈍角三角形的過(guò)程中有一個(gè)

6、重要的分水嶺，那就是直角三角形。在分類(lèi)的過(guò)程中，制定標(biāo)準(zhǔn)的核心就是找到分水嶺。因此在教學(xué)過(guò)程中，可以給出下面的圖，其中的直角三角形就是分水嶺，在借助圖分辨銳角三角形和鈍角三角形的過(guò)程中，讓學(xué)生感悟分水嶺的作用，為學(xué)生學(xué)會(huì)自己建立分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)提供幾何直觀。三圖形的定義在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，關(guān)于點(diǎn)、線、面這些數(shù)學(xué)概念都采取不定義的方式，用類(lèi)似的實(shí)物進(jìn)行描述。讓學(xué)生能夠體會(huì)、能夠識(shí)別、不會(huì)混淆、能夠運(yùn)用就可以了。比方，關(guān)于線段的概念，只能先畫(huà)出一條線段，然后定義說(shuō)：稱這樣的圖形為線段。在所有描述性定義的教學(xué)中，闡述圖形的性質(zhì)是格外重要的。比方：只有一組對(duì)邊平行的四邊形叫做梯形，這實(shí)際上是借助于梯形的特

7、點(diǎn)來(lái)定義的。再如：線段有兩個(gè)端點(diǎn)；線段的一邊無(wú)限延長(zhǎng)則稱為射線，射線有一個(gè)端點(diǎn)；線段的兩邊無(wú)限延長(zhǎng)則稱為直線，直線沒(méi)有端點(diǎn)等。顯然，這里所說(shuō)的線段是直線段，在教學(xué)過(guò)程中不能過(guò)分強(qiáng)調(diào)“直”，但又應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生感悟“直”，因?yàn)橥ㄟ^(guò)這樣的感悟可以得到直線段的一個(gè)根本性質(zhì)：兩點(diǎn)間的所有連線中直線段最短，這就為未來(lái)學(xué)習(xí)“距離”構(gòu)建了直觀。四圖形的性質(zhì)特征圖形的性質(zhì)是對(duì)圖形中各種元素之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)。在小學(xué)階段，不僅要引導(dǎo)學(xué)生能夠“識(shí)別”、“認(rèn)識(shí)”、“了解”、“知道”一些圖形及其“特征”，更要在教學(xué)中滲透研究圖形的方法，不斷提高學(xué)生研究幾何圖形性質(zhì)的能力，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力。在小學(xué)階段，圖形的性質(zhì)較為重點(diǎn)的

8、內(nèi)容涉及：1.三角形三角形的特征主要表達(dá)在兩個(gè)維度，分別是邊的維度和角的維度。邊的特點(diǎn)主要表達(dá)在兩個(gè)方面：圍成三角形的三條邊的長(zhǎng)度關(guān)系：“任意兩邊之和大于第三邊。”按照邊是否相等可以分為：等腰三角形、等邊三角形和不等邊三角形。角的特點(diǎn)也表達(dá)在兩個(gè)方面：三角形的內(nèi)角和是180度。按照三角形內(nèi)角的大小可以分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。2.四邊形四邊形的共同特點(diǎn)是都有四條邊、四個(gè)角，內(nèi)角和是360度。對(duì)于四邊形的性質(zhì)重點(diǎn)研究的也是邊和角的特征：如下表：從圖中可以看出，邊的特點(diǎn)主要集中在對(duì)邊是否平行、對(duì)邊是否相等方面，角的特征主要表達(dá)在對(duì)角是否相等、四個(gè)角是否相等方面，如下表：此外，基于生活

9、中應(yīng)用的角度來(lái)考慮，三角形還具有穩(wěn)定性，四邊形具有不穩(wěn)定性。3.圓圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合。所謂定點(diǎn)，就是指圓心；所謂定長(zhǎng)，就是指半徑，因此從圓心到圓上處處距離相等；也就是在同一圓內(nèi)，所有的半徑都相等，所有的直徑也都相等。圓是軸對(duì)稱圖形，有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸。4.立體圖形立體圖形總體上可以分成兩大類(lèi)，一類(lèi)是柱體，包括圓柱、長(zhǎng)方體和正方體；一類(lèi)是椎體，主要是圓錐。學(xué)生對(duì)于立體圖形的特征更多的是從立體圖形的面、棱、頂點(diǎn)等方面來(lái)把握的。1長(zhǎng)方體：有6個(gè)面，相對(duì)的兩個(gè)面完全相同，有12條棱、8個(gè)頂點(diǎn)。2正方體：有6個(gè)面，都是正方形，有12條棱，8個(gè)頂點(diǎn)。3圓柱：有三個(gè)面，一個(gè)側(cè)面和兩個(gè)圓形的底面，側(cè)面是一個(gè)曲面，展開(kāi)以后是長(zhǎng)方形或平行四邊形。兩個(gè)圓形的底面完全相同。4圓錐：有一個(gè)頂點(diǎn)，二個(gè)面：一個(gè)曲面和一個(gè)圓形的底面，曲面展開(kāi)以后是扇形。5.圖形的轉(zhuǎn)化“能由實(shí)物的形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實(shí)物的形狀，進(jìn)行幾何體與其他視圖、展開(kāi)圖之間的轉(zhuǎn)化”是發(fā)展空間觀念的重要表現(xiàn)。為了促進(jìn)學(xué)生對(duì)空間的理解與把握、發(fā)展空間觀念，標(biāo)準(zhǔn)安排了視圖與投影、展開(kāi)與折疊等內(nèi)容，為學(xué)生提供進(jìn)行二維圖形與三維圖形之間轉(zhuǎn)換的素材。如立體圖形的展開(kāi)與平面圖形的折疊；從正面、側(cè)面、上面等角度觀察立體圖形得到平面圖