binomial approach期權(quán)定價模型

1、二叉樹模型Investment Analysis and Investment Analysis and Portfolio ManagementPortfolio Management整理ppt21 單步二叉樹模型假設(shè)一種股票當(dāng)前價格為$20 ，我們知道3個月后的價格將可能為$22 或$18 。 我們打算對3 個月后以$21 執(zhí)行價格買人股票的歐式看漲期權(quán)進(jìn)行估值。3 個月后期權(quán)價值是如下兩個值之一：若到時股票價格為$22 ，期權(quán)的價值將是$1; 若股票價格為$18 ，期權(quán)的價值將是0。整理ppt3考慮一種有價證券組合，該組合包含一個股股票多頭和一個股票看漲期權(quán)的空頭。我們將計算構(gòu)造無風(fēng)險組

2、合時的 值。如果股票價格從$20 上升到$22時，股票的價值為22 ，期權(quán)的價值為$1 ，所以該證券組合的總價值為22 -1;如果股票價格從$20 下降到$18 時，股票的價值為18 ，期權(quán)的價值為零，該證券組合的總價值為18 。如果選取某個 值，以使得該組合的終值對兩個股票價格都是相等的，則該組合就是無風(fēng)險的。這意味著:在無套利機(jī)會的情況下，無風(fēng)險證券組合的收益必定為無風(fēng)險利率。假設(shè)在這種情況下，無風(fēng)險利率為每年12%。因此我們知道今天該組合的價值一定是$4.5 的現(xiàn)值，即:今天的股票價格己知為$20。假設(shè)期權(quán)的價格由f來表示。因此今天該組合的價值為:20 x 0.25 - f = 5 f于

3、是5 - f= 4.367一般結(jié)論考慮一個價格為S0的股票，基于該股票的某期權(quán)的當(dāng)前價格為f， 在這樣的條件下，我們可將以上所得結(jié)論推廣到一般情形：假設(shè)期權(quán)在時刻T 到期，并且在期權(quán)有效期內(nèi)，股票價格或從S0 向上運(yùn)動到一個新的水平S0u (其中,u1) 或從S0 向下運(yùn)動到新的水平S0d（其中,d 1)當(dāng)股票價格向上運(yùn)動時，股票價格增長的比率為u-1當(dāng)股票價格向下運(yùn)動時，股票價格減少的比率為1-d。如果股票價格運(yùn)動到S0u ， 我們假設(shè)期權(quán)的損益為fu;如果股票價格運(yùn)動到S0d ， 我們假設(shè)期權(quán)的損益為fd想像一個證券組合由 股股票多頭和一個期權(quán)空頭來組成。我們計算了使得該組合為無風(fēng)險狀態(tài)時

4、的 值。如果股票價格上升，期權(quán)有效期末該組合的價值為:如果股票價格下降，組合的價值為:當(dāng)二者價值相等時: 即 (1)在這種情況下，該組合是無風(fēng)險的，收益一定是無風(fēng)險利率。公式(1 )說明，當(dāng)我們在T 時刻的兩個節(jié)點之間運(yùn)動時，是期權(quán)價格變化與股票價格變化之比。如果無風(fēng)險利率用r 來表示，該組合的現(xiàn)值一定是:而構(gòu)造該組合的成本是:因此 即將公式(1)中的 代入化簡得 (2)其中 (3)再考慮前面的數(shù)值例子, u = 1.1, d = 0.9 , r = 0.12, T = 0.25 ,fu= 1 和fd=0。從式(3)可得:從式(B) 可得:股票預(yù)期收益的無關(guān)性期權(quán)定價公式(2) 沒有用到股票上

5、升和下降的概率。例如，當(dāng)上升概率是0.5時，我們得到的歐式期權(quán)價格與上升概率為0.9 時得到的歐式期權(quán)價格相等。這一點令人驚訝且違備常理。人們很自然假設(shè)如果股票價格上升的概率增加，基于該股票的看漲期極價值也增加，基于該股票的看跌期權(quán)的價值則減少，其實情況并非如此。該問題的關(guān)鍵是:我們并不是按絕對價值為期權(quán)估值。我們只是根據(jù)標(biāo)的股票的價格估計期權(quán)的價值。未來上升和下降的概率已經(jīng)包含在股票的價格中。它說明:當(dāng)根據(jù)股票價格為期權(quán)估值時，我們不需要再考慮股票價格上升和下降的概率。2 風(fēng)險中性估值雖然我們不需要對股票價格上升和下 降的概率做任何假設(shè)，就推導(dǎo)出公式(2) 如果將公式(2) 中的變量p 解釋

6、為股票價格上升的概率，于是變量l-p 就是股票價格下降的概率。表達(dá)式:則是期權(quán)的預(yù)期收益。按照這種對p 的解釋，于是公式(2) 可以表述為:期權(quán)現(xiàn)價是其未來預(yù)期值按無風(fēng)險利率貼現(xiàn)的值。當(dāng)上升概率假設(shè)為p 時，T 時刻預(yù)期的股票價格E(ST) 由下式給出: 即將式(3)中的p 代人上式，化簡得: (4)該式說明，平均來說股票價格以無風(fēng)險利率增長。因此，假定上升概率等于p 就是等價于假設(shè)股票收益等于無風(fēng)險利率。我們把所有人對于風(fēng)險都是無差異的世界稱為風(fēng)險中性世界(Risk Neutral World)。在這樣的世界中，投資者對風(fēng)險不要求補(bǔ)償，所有證券的預(yù)期收益都是無風(fēng)險利率。公式(4 )說明:當(dāng)我

7、們假定上升概率為p 時，我們就在假設(shè)一個風(fēng)險中性世界。公式(2)說明:期權(quán)的價值是其預(yù)期收益在風(fēng)險中性世界中按無風(fēng)險利率貼現(xiàn)的值。期權(quán)估值中的所謂風(fēng)險中性估值原理是一個重要的一般原理，而以上的結(jié)果只是這個原理的一個例子。這說明我們可以完全放心地假設(shè):當(dāng)為期權(quán)估值時，世界是風(fēng)險中性的。我們得到的價格不僅僅在風(fēng)險中性世界中是正確的，在其它世界中也是正確的。風(fēng)險中性估值和無套利理論回顧前例： 股票現(xiàn)價為$20，3 個月末股票價格可能上漲到$22 或下降到$18。所考慮的期權(quán)是一份執(zhí)行價格為$21 、有效期為3 個月的歐式看漲期權(quán)。無風(fēng)險利率是12%。我們說過，在風(fēng)險中性世界中，股票價格上升變動的概率

8、是p 。在這樣的世界中，股票的預(yù)期收益率一定等于無風(fēng)險利率12%。這意味著p 一定滿足: 則p 一定為0.6523 。在3 個月末，看漲期權(quán)價值為$1的概率為0.6523 ，價值為零的概率為0.34770, 因此，看漲期權(quán)的期望值為: 0.6523 x 1 + 0.3477 x 0 = $0.6523風(fēng)險中性世界中用無風(fēng)險利率貼現(xiàn)。該期權(quán)今天的價值現(xiàn)實世界與風(fēng)險中性世界必須強(qiáng)調(diào)， p 是在一個風(fēng)險中性世界中股價上升的概率，而在現(xiàn)實世界中事實并不一定這樣。例子中p = 0.6523 ，當(dāng)價格上升的概率為0.6523的時候，股票和期權(quán)的預(yù)期收益率都等于無風(fēng)險利率12%。假設(shè)在現(xiàn)實世界中股票的預(yù)期收

9、益率為16% ， p*是股票價格上升的概率。則有因此，現(xiàn)實世界中期權(quán)的預(yù)期損益為不幸的是，現(xiàn)實世界中很難確定能適用于該預(yù)期收益的準(zhǔn)確貼現(xiàn)率。持有看漲期權(quán)頭寸比持有相應(yīng)股票的頭寸風(fēng)險更大，所以用來貼現(xiàn)看漲期權(quán)損益的貼現(xiàn)率應(yīng)該高于16% 。不知道期權(quán)價值的情況下，我們也不知道這個貼現(xiàn)率應(yīng)該比16%高多少。（因為該期權(quán)的準(zhǔn)確價值為0.633 ，我們可以推導(dǎo)出準(zhǔn)確的貼現(xiàn)率應(yīng)該是42.58% 。因為0.633 =0.7041e-0.4258*3/12)3 兩步二叉樹圖兩步樹圖的一般結(jié)論。初始股票價格為S0，在每個單步二叉樹中，股票價格或上升到初始值的u 倍，或下降到初始值的d 倍。期權(quán)價值的符號表示在樹

10、圖中(例如，在兩次上升運(yùn)動后，衍生證券的價值為fuu)。我們假設(shè)無風(fēng)險利率是r，每個單步二叉樹的時間長度是t年?，F(xiàn)在，時間單步的長度為t 而不是T，式(2) 和式(3 )變成: (10)(6)(5)(7)(8)(9)4 看跌期權(quán)的例子u = 1.2, d = 0,t = 1,r= 0.05 ，根據(jù)公式(5) ，風(fēng)險中性概率p 的值為:最后股票的可能價格為$72 、$48 和$32。在這種情況下，fuu= 0 ，fud= 4, fdd =20 ，利用公式(6) ，有:看跌期權(quán)的價值是$4.1 923 0 利用公式(1) 并從每個單步二叉樹倒推，也可以得到這個結(jié)果。下圖 表示了所計算的期權(quán)價格。5

11、 美式期權(quán)美式期權(quán)進(jìn)行估值。方法是從樹末端向起點倒推計算，在每個節(jié)點檢驗提前執(zhí)行是否最佳。在最后節(jié)點的美式期權(quán)價值與歐式期權(quán)在最后節(jié)點的期權(quán)價值相同。在較前的一些節(jié)點，期權(quán)的價值是取如下兩者之中較大者:1.由公式(5) 求出的值2. 提前執(zhí)行所得的收益上圖說明了，如果所考慮的期權(quán)是美式的而不是歐式的，會發(fā)生什么變化。當(dāng)然股票價格和它們的概率不會變化。在最后節(jié)點的期權(quán)價值也沒有變化。在節(jié)點B ，公式(5) 給出期權(quán)的價值為$1.4147 ，而提前執(zhí)行期權(quán)的損益為負(fù)值(-8) 。很清楚，在節(jié)點B 提前執(zhí)行不是明智的，在這個節(jié)點的期權(quán)價值為1.4147 。 在節(jié)點C ，公式(5) 給出期權(quán)的價值為$

12、9.4636 ，而提前執(zhí)行期權(quán)的損益為$12。在這種情況下提前執(zhí)行是最佳的因此期權(quán)的價值為$12 。在初始節(jié)點A ，公式(5) 給出的期權(quán)價值為:而提前執(zhí)行的價值為$2.0。在這種情況下，提前執(zhí)行是不明智的。因此期權(quán)的價值為$5.0894 06 Delta值股票期權(quán)的delta 是股票期權(quán)價格的變化與標(biāo)的股票價格的變化之比。delta 是一個數(shù)字，即為了構(gòu)造一個無風(fēng)險對沖，對每一個賣空的期權(quán)頭寸我們應(yīng)該持有的股票數(shù)量。它與前面引入的是相同的。構(gòu)造無風(fēng)險對沖有時就稱之為delta 對沖?？礉q期權(quán)的delta 是正值，而看跌期權(quán)的delta 是負(fù)值。7 用u 和d 計算波動率假定股票的預(yù)期收益(現(xiàn)

13、實世界中)為，而其波動率為(a) 給出了二叉樹圖中第一步股票價格的變動。該步的長度為t,，起始股票價格S0 上升到S0u 或下降到S0d，假定價格上升的概率(現(xiàn)實世界中)為p*第一個時間步結(jié)束之時的預(yù)期股票價格為 而樹圖中此時的預(yù)期股價為為了匹配樹圖參數(shù)表示的預(yù)期股票收益，下式應(yīng)當(dāng)成立:即 （11）整理ppt25整理ppt26股票價格的波動率 應(yīng)該使t等于較短時間長度t內(nèi)股票價格收益的標(biāo)準(zhǔn)方差。等價的條件是，收益的方差為 2t （作為結(jié)論接受）圖(a) 中的樹圖中，股價收益的方差為為了匹配樹圖參數(shù)表示的股價波動率，下式應(yīng)當(dāng)成立: （12）式(11)代人式(12) ，得一個解為Cox 、Ross

14、 和Robinstein (1 979) 提出的匹配波動率的u 、d 值（13）（14）整理ppt27利用前面的分析，我們可以將圖 (a) 中的樹圖替換成圖 (b)中的樹圖。新的樹圖中，上升的慨率為p ， 并假定是風(fēng)險中性世界。根據(jù)公式(6) 可以計算p 值如下:其中這是上升的風(fēng)險中性概率。在圖 (b) 中，時間步結(jié)束之時的預(yù)期股價為 如公式(4 )所示。股票價格收益的方差為代人式(13 )和式(14) 中的u 和d ， 并忽略t2及其高階項，可知上式等于2222(1)(1) ()r tr tpuu dpup deudude整理ppt28說明：當(dāng)我們從現(xiàn)實世界切換到風(fēng)險中性世界的時候，股票的預(yù)

15、期收益有變化，但是其波動率保持不變(至少在t 趨近于零的時候)。Girsanov 定理一個重要的一般結(jié)論。當(dāng)我們從具有某種風(fēng)險偏好集合的世界移到具有另外一種風(fēng)險偏好集合的世界的時候，變量的預(yù)期增長率會有變化，但其波動率保持不變。從一種風(fēng)險偏好的世界移到另外一種風(fēng)險偏好的世界，有時被稱為測度變換(change the measure) 。現(xiàn)實世界測度有時被稱為P 測度(P-measure) ，而風(fēng)險中性世界測度被稱為Q 測度( Q-measure) 。整理ppt29再次考慮美式看跌期權(quán)的例子，股價為$50 ，執(zhí)行價格為$52 ，無風(fēng)險利率為5% ，期權(quán)的有效期限為2 年，有兩個時間步。此時，t

16、=1假定波動率為30%。根據(jù)公式(13)-公式(16) ，可得:因此整理ppt308 增加樹圖中的步數(shù)實際應(yīng)用二叉樹圖方法時，通常將期權(quán)有效期分成30 或更多的時間步。在每一個時間步，就有一個單個二叉樹股票價格變動。30 個時間步意味著最后有31 個終端股票價格，并且230即大約有10 億個可能的股票價格路徑。不管有多少時間步，都可以使用公式(13)-公式(16) 決定相應(yīng)的二叉樹圖假定上圖中的例子中有5 個時間步而不是2 個。那么參數(shù)應(yīng)該是t = 2/5 = 0.4, r =0.05 且= 0.3。那么，我們可以計算出 =1.2089 , d=1/1.2089 =0.8272 ，a=e0.05*0.4 ，以及p=（1.0202-0.8272）/（1.2089-0.8272）=0.50560.30.4ue整理ppt31除了計算p 的公式變化之外，方法和股票期權(quán)的分析方法相同p支付連續(xù)紅利收益的股票的期權(quán)考慮支付己知紅利收益率q 的股票。在風(fēng)險中性世界，紅利與資本利潤帶來的總收益率為r。紅利收益率為q ， 所以資本收益率應(yīng)該為r-q。如果股票的起始價格為S0，那么一個長度為t 的時間步結(jié)束之時的股